Démontrer qu’une fonction racine carrée est strictement croissante

Comment démontrer qu’une fonction racine carrée est strictement croissante sur son intervalle de définition ?
Bonjour à toi et bienvenu sur star en math TV j’espère que tu vas bien.
Dans cet exercice, nous avons une fonction f défini sur -3 (inclus), plus l’infini par racine de (3+x).
Et il va falloir montrer que f est strictement croissante sur son intervalle de définition donc -3, plus l’infini.
Donc nous allons voir deux façons de faire dans cet exercice pour démontrer que f est strictement croissante.

Une première façon de faire qui n’utilise pas la fonction dérivée.
C’est une façon de faire qu’on aborde maintenant en seconde.
Donc ça va être une façon de faire niveau plutôt seconde/1ère S
Et une deuxième façon de faire qui va utiliser la dérivée de cette fonction f que nous allons calculer et qui est plutôt niveau terminale S cette 2ème façon puisque nous allons utiliser la formule de la dérivée d’une fonction racine carrée qu’on voit plutôt en terminale S.

Donc c’est parti je vais t’expliquer comment on va démontrer que f est strictement croissante sur son intervalle de définition.
Juste avant ça, j’aimerais te rappeler que l’intervalle de définition de f, si on te demandait de le chercher, parce que là il t’est donné dans l’exercice, c’est [-3;+l’infini] mais tu pourrais avoir à le trouver toi-même, ça pourrait faire l’objet d’une question dans un exercice.
Et bien comment trouver l’intervalle de définition de f ?
Tu te souviens, il y a des règles pour trouver un intervalle de définition, il suffit juste que f(x) existe. C’est ça qu’il faut te poser comme question. Et est-ce que f(x) existe tout le temps ?
Et bien pas tout le temps, f(x) n’existe pas si 3+x, ce qu’il y a en dessous de la racine est négatif strictement. Tu sais que ce qu’il y a en dessous d’une racine, c’est ça l’unique règle que nous utilisons pour trouver l’ensemble de définition, il ne faut pas que 3+x soit strictement négatif.
Donc en fait, il ne faut pas que x soit strictement inférieur à -3, donc c’est pour ça que x doit être supérieur ou égal à -3.
Donc c’est pour ça qu’on a cet ensemble de définition-là pour f(x). Donc là je ne détaille pas trop mais rappelle-toi, on pourrait te demander cette question « trouvez l’ensemble de définition d’une fonction »;
J’ai fait d’autres vidéos là-dessus donc si tu te poses des questions là-dessus, n’hésite pas à aller voir les vidéos sur ce sujet.

Donc maintenant comment démontrer que f est strictement croissante sur [-3;plus l’infini] ?
Comme je te disais, c’est quelque chose qu’on aborde maintenant en 2nde, on aborde maintenant en seconde les définitions théoriques de la croissance et de la décroissance d’une fonction.
En fait on se pose la question : qu’est-ce que c’est qu’une fonction strictement croissante ?
Bon alors graphiquement, je pense que tu sais ce que ça veut dire, la courbe de cette fonction elle ne fait que monter. Et strictement ça veut dire qu’il n’y a jamais de plat;
Donc ça veut dire ça. Je trace la courbe de la fonction, en vert par exemple, et bien elle fera ça. Elle va monter. On ne sait pas trop comment elle monte mais en tout cas, elle va monter.
Ça marche ? Je peux faire apparaitre les deux axes si tu veux, pour y voir un peu plus claire, l’axe des y est l’axe des x.
Voilà donc là on a la courbe d’une fonction qui monte strictement, qui est strictement croissante. On ne dit pas « qui monte » en mathématiques, ça c’est pour l’explication.

Donc maintenant au niveau du calcul, qu’est-ce que ça veut dire ça ?
Ça c’est la courbe de f, je vais le faire apparaitre.
Et bien ça veut dire que si tu prends n’importe quels nombres de l’ensemble de définition de f, donc n’importe quels x pour lesquels f existe, donc un a et un b, on va les noter a et b, tu vas prendre a plus petit que b. tu vois a est à gauche de b donc il est plus petit, sur l’axe des x.
Et bien qu’est-ce que tu peux dire du f(a) par rapport au f(b) ? C’est là qu’est la clé de la définition de la croissance et de la décroissance d’une fonction en mathématique, et qu’on aborde en seconde comme je te disais.
Qu’est-ce que tu peux dire, je répète de f(a) par rapport à f(b) ?
Le f(a) on va le placer, tu le trouves sur l’axe des y. on monte, et hop, tu reportes horizontalement, et là tu arrives au nombre f(a). Je rappelle que f(a) c’est un nombre, ce n’est pas une fonction, c’est f la fonction et f(a) c’est le nombre, c’est l’image de a par f.
Et maintenant plaçons l’image de b par f, c’est-à-dire f(b). Donc on monte de la même façon et on va arriver, tu vois bien, au dessus de f(a). Donc ça veut dire quoi ?
Ça veut dire que le f(b) est strictement supérieur à f(a).

Donc ça veut dire quoi ? Ça veut dire qu’en partant de deux nombres a et b, sachant que a est plus petit que b :
Si a inférieur à b, alors que peut-on dire du f(a) par rapport au f(b) ? Et bien le f(a) est inférieur strictement à f(b).
Ça, ça veut dire que f est strictement croissante.
Tu vois c’est ça la définition en bleu au-dessus, de la croissance strict d’une fonction;
Normalement on précise toujours sur quel intervalle, donc là on va supposer, sur son ensemble de définition.

Donc l’important ici c’est cette chose là, cette définition un petit peu théorique au début, c’est pour ça que ce n’est pas évident à voir en seconde je trouve mais c’est ce qu’on fait maintenant dans le programme.
Donc voilà, ça c’est la définition de la stricte croissance d’une fonction.
Si la fonction était juste croissante et pas strictement croissante, tu aurais un inférieur ou égal ici. En fait ça veut dire que des fois, la courbe de la fonction elle peut être plate, ça c’est croissant mais ce n’est pas strictement croissant. C’est la petite distinction entre strictement croissant et croissant.
Et pour la décroissance, c’est pareil, tu pars toujours d’un a inférieur à b, sauf qu’au lieu d’avoir inférieur ici, tu auras supérieur.
Si la fonction est strictement décroissante tu auras f(a) strictement supérieur à f(b) et si elle est décroissante seulement tu auras f(a) supérieur ou égal à f(b).

Donc voilà pour les définitions théoriques pour la croissance ou la décroissance d’une fonction et c’est ce que nous allons utiliser ici pour démontrer que notre fonction est strictement croissante.
ON va utiliser exactement cette définition que j’ai encadrée en rouge;
Et ça, je répète, c’est vraiment une façon de faire qu’on aborde en seconde et que tu pourras voir aussi dans le chapitre sur les fonctions de référence en première S, mais après, par la suite, quand on a vu les fonctions dérivées, ce n’est plus ce qu’on utilise.
On utilise les fonctions dérivées donc tu n’as plus à savoir faire ça presque quand tu as vu les fonctions dérivées.
Mais je préfère quand même te le montrer parce que c’est quelque chose qu’on voit en seconde en en début de première S.

Démontrer qu’une fonction racine carrée est strictement croissante.
vidéo 2/3

Donc c’est parti, montrons que notre fonction f est strictement croissante sur [-3;plus l’infini[, sans utiliser la dérivée, c’est-à-dire en utilisant ce que j’ai encadré en rouge.
En fait c’est le principe même, c’est la définition de base de la croissance stricte d’une fonction.
Donc comment faire ?
Et bien en fait il faut partir d’ici, c’est-à-dire que tu vas te placer dans ces conditions-là, et à la fin tu dois démontrer que tu as f(a) strictement inférieur à f(b).
C’est ça le but de la démonstration.
Donc, en fait il faut prendre un a et un b, qui ne sont pas à fixer par toi-même, tu ne peux pas prendre par exemple dans l’intervalle, 0 et 2. Tu ne peux pas prendre des exemples.
En fait tu dois prendre un a et un b, des nombres quelconques, dans cet intervalle [-3;plus l’infini[.

Donc soit a et b appartenant à cet intervalle donc [-3;plus l’infini[.
Ils ne sont pas pris n’importe comment ces nombres, ils sont pris tels que a soit inférieur à b.
Tu vois on se met vraiment dans ces conditions. Donc on dit : tels que a strictement inférieur à b.
Et maintenant le but c’est quoi ? C’est de démontrer que f(a) est strictement inférieur à f(b).
Si à la fin tu arrives à démontrer ceci, c’est gagné. Tu auras démontré que f est strictement croissante sur [-3;plus l’infini[.

Donc, c’est un petit peu théorique mais c’est quelque chose qu’on voit en seconde maintenant.
Ce n’est pas facile à comprendre pour pas mal d’élèves je trouve, mais bon, j’essaie de te l’expliquer au mieux ici.

Donc qu’est-ce que c’est que f(a) dans notre cas particulier ici ?
Et bien le f(a), ce n’est pas f(a), en fait tu peux ne pas le garder comme ça parce vu que f(x) c’est racine de (3+x) et bien f(a) il suffit de remplacer x par a, tout simplement.
Donc f(a), c’est racine de (3+a) d’accord ?
Donc f(a), c’est bon on le connait, c’est racine de (3+a). Je peux le mettre ici, avec une flèche. Ça, c’est racine de (3+a).
Je pense que tu auras compris aussi que f(b), et bien sans sorcellerie particulière, c’est tout simplement racine de (3+b) aussi. On remplace juste x par b.

Alors maintenant, comment démontrer que racine de (3+a) est strictement plus petit que racine de (3+b).
Bon, c’est là que ça ne devient pas évident. En fait, pour démontrer ceci, et bien on va faire le calcul de racine de (3+a) moins racine de (3+b).
En fait, pour démontrer qu’un nombre est plus petit strictement qu’un autre, par exemple si tu veux démontrer que A est plus petit que B, et bien tu peux calculer A-B.
Si tu calcules A-B, que tu arrives un petit peu à avancer dans le calcul, et que tu trouves que ça, à la fin, c’est strictement négatif, et bien ça prouvera bien que A est inférieur à B.
Parce que cette inégalité-là, ça prouve bien, si tu passes le -B de l’autre côté, ici à droite, ça prouve bien que A est inférieur à B.

Donc là, c’est le principe qu’on va utiliser. On va calculer racine de (3+a) moins racine de (3+b) et, à la fin, on va démontrer que c’est négatif comme nombre.
Et vu qu’on aura démontré que c’est négatif, on aura bien démontré que racine de (3+a) est strictement inférieur à racine de (3+b).
C’est une technique pour comparer deux nombres qu’on utilise très fréquemment. C’est-à-dire calculer la différence entre les deux nombres et regarder le signe de cette différence à la fin.

Donc c’est parti, on calcule :
« Calcul mathématique »
Alors tu vas me dire, comment on va calculer cette chose-là ?
Bon ce n’est pas évident, c’est une technique qui n’est pas évidente ici. Parce qu’ici tu te dis, qu’est-ce que je peux faire avec ces racines carrées ? Qu’est-ce qu’on peut faire de plus ?
On ne peut pas avancer dans le calcul. Et bien en fait on peut avancer un petit peu, sachant que le but, je te le rappelle c’est juste de chercher le signe de cette différence.
Et le but c’est d’avoir un signe strictement négatif, un nombre négatif à la fin.

Et bien là, pour avancer là-dessus, il suffit de multiplier par ce qu’on appelle l’expression conjuguée de ceci.
L’expression conjuguée, c’est quelque chose que tu vas voir pendant tout le lycée, pas beaucoup, mais quelquefois, dans les chapitres notamment avec les racines carrée et aussi en terminale S, si tu es en terminale S, dans les nombres complexes.
C’est un petit peu différent dans les nombres complexes mais ça se ressemble. Le principe ressemble à celui-ci.
Donc là, on va multiplier par ce qu’on appelle l’expression conjuguée de cela. Et qu’est-ce que c’est l’expression conjuguée d’une expression avec des racines carrées comme ceci ?
Et bien c’est la même chose en fait mais avec un plus. Tu remplaces le moins par un plus.
Donc en fait on va multiplier ceci, haut et bas, par la même chose avec un plus.
Donc je sais que ça peut te paraitre un peu compliqué mais on a le droit de le faire, on a toujours le droit de multiplier un nombre, haut et bas, par un même nombre.
Si je prends un nombre grand A, et bien il n’y a pas de souci, c’est égal à A fois C/C, tu vois j’ai multiplié haut et bas, le A, par C. On a le droit de le faire puisque C/C c’est 1 en fait. Donc c’est autorisé.

Donc là c’est parti, j’écris le calcul, ça va donner :
« Calcul mathématique »
Et bien au numérateur on voit apparaitre une identité remarquable. C’est la fameuse identité remarquable (a-b)(a+b).
Et ça, ça vaut quoi ? Et bien ça vaut a carré – b carré. Et c’est ça qui va te permettre de faire disparaitre les racines carrées au moins au numérateur.
Donc ça va nous aider à avancer un petit peu dans le calcul puisqu’on va obtenir :
« Calcul mathématique »

Bon on s’arrête là, et maintenant on se pose la question : quel est le signe de ce que j’ai obtenu ?
Et bien tu sais que le signe d’une fraction, et bien il faut regarder le signe du numérateur, le signe du dénominateur, et si tu obtiens le signe du numérateur et le signe du dénominateur, tu peux obtenir le signe total.
Donc quel est le signe déjà du dénominateur ?
Là c’est assez simple puisque tu as une racine carrée, c’est toujours un nombre positif, le résultat d’une racine carrée. Donc ça, c’est supérieur ou égal à 0.
Ceci aussi. Donc la somme de deux nombres positifs : si j’ajoute par exemple 3 et 4, ça fait 7, c’est toujours positif. Si j’ajoute 1+8, c’est toujours positif, ça donne 9.
Donc ça, c’est toujours positif. En fait, ça ne peut pas être égal à 0. On ne va pas le démontrer ici mais en fait, c’est strictement supérieur à 0.
Tu te souviens qu’un dénominateur, c’est toujours différent de 0. IL faut que ce soit différent de 0.
Donc là, on ne va pas rentrer dans les détails et on va dire que ce dénominateur il est toujours strictement positif. On a démontré qu’il est positif.

Et maintenant, regardons le numérateur.
Le numérateur c’est a-b. Souviens-toi d’une chose, a est inférieur à b. C’est ce que nous avions dit au début. On est parti de ça, c’était la condition initiale.
Donc si a est inférieur à b, je peux aussi passer le b de l’autre côté.
Si je passe le b de l’autre côté, ça veut dire que a-b est inférieur à 0. Donc ça veut dire que a-b est strictement négatif, strictement inférieur à 0.
Voilà donc quel est le signe de la fraction totale ?
Un nombre strictement négatif sur un nombre strictement positif, et bien ça te donne un nombre strictement négatif.
Si je prends par exemple -1 sur 5, ça donne – 1 cinquième, c’est strictement négatif comme nombre.

Donc là, ça y est, on a démontré que tout ce nombre que j’encadre en rouge est strictement négatif.
Tout ce nombre, je rappelle bien ce que c’est, c’était f(a)-f(b).
On vient de démontrer ceci, je vais le réécrire : f(a)-f(b) strictement inférieur à 0. On vient de démontrer ça. On y est arrivés.
Donc qu’est-ce que ça veut dire ? Et bien si tu passes le f(b) de l’autre côté, ça veut dire que f(a) est inférieur à f(b).
Et voilà, c’était le but de la démonstration. C’était ça qu’il fallait démontrer en partant de a inférieur à b.
Tu vois, donc on est arrivés à ceci. Et donc on a bien ce que j’ai encadré en rouge au début, on a bien la définition de la stricte croissance d’une fonction f, de notre fonction f ici;

Voilà donc pour cette première façon de faire pour montrer que f est strictement croissante.
Ce n’est pas facile, moi je trouve que ce n’est pas facile. C’est quelque chose que l’on commence à voir en seconde et que tu verras peut-être en début de première S.
C’est la façon de démontrer qu’une fonction est croissante ou dans d’autres cas décroissante, quand tu n’as pas vu encore l’outil dérivée.
Mais quand tu as le chapitre sur les dérivées, qu’on voit en première S, tu n’utilises plus cette façon de faire.
C’est quelque chose quand même que je voulais te montrer puisqu’on le voit en seconde et en début de première S.

Donc voilà pour cette façon de faire, on est partis de a inférieur à b et à la fin on a montré que f(a) strictement inférieur à f(b), ce qui prouve bien que f est strictement croissante sur [-3;plus l’infini[.
Pour arriver à ça on a utilisé une technique de calcul particulière que tu pourras retrouver ailleurs, qui est la multiplication par une expression conjuguée. Ce qui s’est produit ici, tu vois, ce que j’entoure en noir.
Ici on a multiplié haut et bas par l’expression conjuguée de racine de (3+a) moins racine de (3+b).
C’est ça qui nous a permis de trouver le signe de f(a)-f(b).
Voilà pour cette première façon de faire.

Démontrer qu’une fonction racine carrée est strictement croissante
vidéo 3/3

Abordons maintenant une deuxième façon de faire pour montrer que notre fonction f est strictement croissante sur son intervalle de définition qui est ici [-3 ; plus l’infini[.
Donc cette deuxième façon de faire s’adresse plutôt aux élèves de terminale S puisque nous allons utiliser une formule de la dérivée, d’une fonction composée avec une racine carrée.
Ce n’est pas normalement une formule qu’on voit en première S, c’est quelque chose qu’on voit normalement en terminale S.
Donc peut-être que tu l’as vue en première S, ça dépend des professeurs, peut-être qu’on te l’a donnée.

Ce que nous allons utiliser, comme principe ici, et bien c’est qu’on va calculer la dérivée de notre fonction f, on va calculer f'(x).
Et tu te souviens, pour savoir si une fonction est croissante ou décroissante, on calcule sa dérivée, et on regarde le signe de cette dérivée.
Donc nous, nous allons regarder le signe de f'(x) sur [-3 ; plus l’infini[ et si on trouve que le signe de f'(x), c’est +, et bien on aura démontré que notre fonction f est strictement croissante.
On va voir ça tout de suite.

La formule qu’on va utiliser, je te la rappelle en noir : une formule du cours :
C’est que la dérivée d’une fonction composée, c’est à dire racine d’une autre fonction, racine de U(x), et bien la dérivée de ça, tu mets tout ceci entre parenthèses, ça te donne :
C’est une formule pas évidente à retenir mais qu’on utilise assez fréquemment, c’est : U’/(2racine de U).
Voilà, c’est ça la formule que nous allons utiliser. Donc en première S normalement on ne la voit pas tout à fait, on voit juste la dérivée de la racine carrée, c’est-à-dire racine carrée de x, que je peux rappeler ici rapidement mais qu’on n’utilise pas dans cet exercice :
La dérivée de racine de x, c’est 1 sur 2 racines de x. Voilà je voulais te la rappeler.
Donc si tu es en première S et que tu viens juste de voir le chapitre sur les dérivées je voulais aussi te rappeler cette formule mais ce n’est pas cette formule-là que nous allons utiliser puisque nous n’avons pas racine de x, nous avons racine de 3+x.
Donc c’est vraiment cette formule qu’il faut utiliser. C’est ce qu’on appelle en fait la dérivée d’une fonction composée, c’est-à-dire racine, une fonction, d’une autre fonction.
On appelle ça une fonction composée de deux fonctions.

Donc là, notre U c’est quoi ?
Et bien on va appliquer cette formule, ici, que je vais encadrer en rouge. On va appliquer rigoureusement cette formule. Tu vas voir que ça va être assez simple, pour calculer f'(x).
Donc là, on calcule f'(x). Notre U, je l’entoure ici en vert, c’est 3+x.
« Calculs mathématiques »
Et voilà, ça y est, on a notre fonction dérivée. Donc là, on ne peut pas vraiment la transformer, on n’a qu’à la garder comme ça.

Et qu’est-ce que c’est que le signe de notre fonction dérivée ? Tu te souviens que c’est le signe de la fonction dérivée qui nous intéresse, et à partir de ce signe on pourra dire si la fonction f est croissante ou décroissante.
C’est ça l’intérêt des fonctions dérivées, ça permet de savoir si la fonction est croissante ou décroissante.
Donc là, quel est le signe du numérateur ? Et bien c’est tout simplement positif, strictement.
Et quel est le signe de 2 ? C’est strictement positif aussi.
Quel est le signe maintenant de racine de (3+x) ? Et bien ça, c’est tout simplement strictement positif parce qu’une racine carrée c’est toujours supérieur ou égal à 0.
Attention ici, il faut absolument que x soit différent de -3 parce que tu te rends bien compte, si x=-3, on a 3-3 ici donc racine de 0, c’est 0 et 2 fois 0 ça fait 0.
Donc il ne faut absolument pas que x soit égal à -3 dans ceci. Donc en fait c’est pour x appartenant à ]-3; plus l’infini[.

Et bien là, la dérivée, tu vois on a un nombre positif au-dessus, et au-dessous aussi parce qu’on a 2 qui est strictement positif, fois un nombre strictement positif, ça donne plus en dessous.
Donc plus sur plus ça donne un nombre strictement positif.
Donc voilà, on vient de découvrir que notre fonction dérivée est strictement positive sur notre ensemble de définition, auquel on a enlevé -3.

Donc on peut faire un petit tableau de signe si tu veux pour bien clarifier les choses.
Donc là on va mettre la ligne des x : on met -3, on met plus l’infini. Il ne faut pas mettre bien sûr moins l’infini, plus l’infini ici puisqu’on étudie une fonction f sur son ensemble de définition.
On met ensuite le signe de la dérivée, donc f'(x). Tu pourrais mettre signe de f'(x) pour être plus clair.
Donc en fait on vient de voir que si tu remplaces x par -3, ça ne marche pas dans f’ puisque ça donne 0 au dénominateur. Donc en fait, -3 est une valeur interdite par pour f mais pour f’.
C’est là qu’est le petit détail difficile de cet exercice quand tu calcules la dérivée.
Donc là, c’est une valeur interdite donc tu mets une double barre, et ensuite, on a vu ensemble que c’est strictement positif, donc pour x strictement supérieur à -3, la dérivée est strictement positive.
Et ainsi, on conclut quoi de la fonction f sur sa variation ? Et bien on conclut que f, donc là tu pourrais mettre variations de f, et tu dirais tout simplement : strictement croissante.
Et attention, -3 n’est pas une valeur interdite pour f parce que si tu remplaces x par -3 ici, ça marche, ça va te donner racine de (3-3) donc racine de 0 ça va, ça existe. Donc là tu peux le mettre si tu veux, ça vaut tout simplement 0.

Et si tu es en terminale S, tu peux aussi calculer la limite quand x tend vers plus l’infini.
Quand x tend vers plus l’infini, ça te donnera tout simplement plus l’infini.
Voilà donc nous avons trouvé que f est strictement croissante sur [-3;plus l’infini[.
Je précise aussi qu’elle est bien strictement croissante parce que cette dérivée, elle est bien strictement positive sur ]-3;plus l’infini[.
Donc à partir du moment où la dérivée est strictement positive, la fonction est strictement croissante. Tu n’auras jamais de plat si tu veux.
Ta fonction f, si tu traces sa courbe, tu peux le faire d’ailleurs sur ta calculatrice, et bien il n’y aura jamais de plat.
Et quand il y a des plats et qu’elle monte quand même en général, on dit qu’elle est croissante. Mais là, il n’y aura pas de plat donc on dit qu’elle est strictement croissante.

Donc voilà pour cette deuxième façon de faire, en utilisant le calcul de la dérivée de f qui utilise cette formule que j’ai encadrée ici en rouge.
C’est la formule de la dérivée d’une fonction composée avec une racine carrée, donc racine de U.
Donc j’espère que tu as bien compris cette façon de faire, c’est juste en fait qu’on étudie le signe de f’ pour avoir ensuite directement les variations de f comme on fait d’habitude quand on calcule une dérivée.