Dériver une fonction avec une racine carrée et une division

Comment tu t’y prends, est-ce que tu as une idée pour « comment

on commence ça ? ».

Et bien moi déjà j’ai dit que c’était dérivable sur R* et que < calcul mathématique>. Alors, on va rentrer dans le détail juste après, mais est-ce qu’on te demande dans ton exercice sur quel intervalle ou  quel ensemble c’est dérivable d’abord.

Non je ne crois pas. Ils ne disent rien.

OK, et si on ne te le demande pas, il faut faire attention quand même, il faut déjà regarder, plutôt l’ensemble de dérivabilité, déjà l’ensemble de définitions de la fonction, avant même d’étudier sa dérivée ou de calculer sa dérivée, il

vaut mieux déjà regarder l’ensemble.

Quel est son ensemble de définition ?

Et c’est toujours ce que je recommande à tout le monde d’ailleurs de faire, c’est de regarder l’ensemble de définition de la fonction.

Est-ce que tu peux m’aider un petit peu ici ?

Comment on trouve l’ensemble de définition Ɛ(d) de cette fonction f ?

Eh bien moi comme je sais que c’est une fonction homographique, ou une fonction inverse, j’aurais dit que ce serait sur R*.

Oui, mais c’est un petit peu vague comme raisonnement, alors en fait il y a deux règles pour trouver un ensemble de définition, en tout cas en première S, en terminale vous en verrez une autre ou deux. Les règles sont toutes simples. En maths, quelles opérations on ne peut pas faire ton avis ?

Tu es là Mathilde ?

On ne peut pas diviser par zéro.

Oui exactement ! Et donc ici qu’est-ce que ça implique ?

Que x est différent de zéro. x≠0

Exactement ! Première chose.

Deuxième chose quelle opération on ne peut pas faire ?

Quelle autre opération ?

Et ça fait intervenir la racine carrée en fait.

Ce n’est pas la division, c’est la racine carrée.

Est-ce qu’on peut prendre la racine carrée de -2 ?

Ah non ! Oui. La racine carrée doit toujours être positive.

Alors attention à ce que tu dis, c’est un petit peu vague aussi. Parce que la racine carrée c’est toujours positif comme nombre oui, mais attention il ne faut pas confondre ce que ça donne comme nombre à la fin, et la racine carrée de quoi tu peux calculer. Tu ne peux pas calculer la racine carrée en fait, c’est ça que je veux dire, d’un nombre négatif. Donc, tu ne peux pas avoir racine carrée de A, avec A strictement négatif, A<0.

C’est ça la deuxième opération interdite. Tu vois ce que je veux dire ?

Oui.

Et donc, du coup, revenons à ta fonction f ici, qu’est-ce que ça implique ?

Qu’est-ce que ça implique, vu que tu as une racine carrée ici ?

Que x est plus grand que zéro.

Exactement. C’est bien, donc, ça, c’est la deuxième chose. x S’il est plus grand ou égal. Du coup tu avais ça aussi avant < calcul mathématique> et aussi tu as ça < calcul mathématique>, tu as le « et » entre les deux x valables. Tu vois tu as x qui ne peut pas être égal à zéro et x positif.

Du coup, x est strictement supérieur à zéro, x>0.

Tout à fait, et c’est ça l’ensemble de définition de ta fonction. Tu vois?

C’est comme ça qu’on trouve un ensemble de définitions, il n’y a pas d’autre façon. Il faut vraiment utiliser ces deux règles-là, ces deux opérations interdites.

Donc, l’ensemble de définition, finalement c’est quoi ?

C’est zéro à +∞.

Exactement, est-ce que je mets le zéro dedans, ou pas ?

Oui, le zéro je l’inclus.

Ah bon ? Regarde.

Alors, je ne l’inclus pas.

OK, pas de souci. Voilà ! Notre ensemble de définition se note aussi tout simplement < calcul mathématique>. Étoile ça veut dire qu’on enlève le zéro, et plus ça veut dire que ce sont les nombres positifs. C’est la même chose.

Ça, c’est l’ensemble de définition. Ça veut dire que cette fonction, elle ne peut pas être dérivable sur R*, puisqu’elle n’est déjà même pas définie sur R*, OK ?

OK

Donc ça c’est la première chose. Ensuite l’ensemble de dérivabilité, on ne va pas la justifier, mais en fait elle est dérivable sur le même ensemble. Elle est dérivable sur zéro exclu jusqu’à plus l’infini. Mais on ne va pas le justifier ici.

Généralement on ne vous demande pas trop ça, mais dites-le-moi si on vous le demande d’ailleurs dans les exercices, mais généralement non.

Du coup, comment on va dériver notre fonction f ?

Maintenant, c’est parti, on rentre dans le détail des calculs.

Comment va faire ?

Pour x strictement supérieur à zéro x>0, voilà, et donc on utilise les formules.

Quelle formule on va utiliser ?

Quelle forme elle a ta fonction f ?

Est-ce que c’est un produit, est-ce que c’est une somme, est-ce que c’est une composée ? C’est quoi en fait ?

C’est un quotient et c’est un produit en même temps, parce qu’on a 2 √x.

C’est vrai. Mais la première opération c’est quoi finalement ?

C’est 2 √x, le produit.

Oui. Alors, c’est vrai, mais ce que je voulais t’entendre dire, ce n’est pas tout à fait ça la première opération. L’opération la plus grande en fait entre guillemets qu’on fait ici, c’est le quotient. Et donc, tu utilises quelle formule ?

J’utilise < calcul mathématique>.

C’est bien ça. Et ça, tout simplement : je le note < calcul mathématique>, c’est la dérivée du quotient u/v.

Alors, quand vous utilisez la formule que j’ai notée en noir ici, comme ça, il faut toujours noter dans votre marge, donc la Mathilde, tu vas noter dans ta marge, ce que c’est ton u et ce que c’est ton v. Tu vois ?

Oui.

Donc ton u, ton u(x), ensuite ton v(x)

< Calcul mathématique>

Très bien, super. Alors, ce que je vous encourage à faire aussi, c’est à noter ensuite quel est u'(x) qu’on va utiliser la formule, et quel est v'(x).

Donc, eh bien écoute, si tu peux me les dire.

Je t’interromps juste, et si on est encore dans un calcul de dérivée finalement, on est encore dans un sous problème de notre truc, mais on est encore dans la dérivée de u. Et du coup, quelle formule on va utiliser ? Quelle est l’opération la plus grande qu’on fait entre guillemets ? C’est toujours la même question.

Quelle est l’opération la plus grande qu’on fait ?

Ici c’est l’addition.

Oui c’est un « plus ». La somme.

Et donc la formule pour la somme, c’est la formule la plus simple qui est pour les dérivées.

C’est u’+v’

Exactement, tout à fait. Sachant que u et v ne sont pas les mêmes, bien sûr. Et donc, du coup, quelle est la dérivée de cette chose. La dérivée du premier terme, et ensuite plus la dérivée de ce deuxième terme.

Quelle est la dérivée de ça ?

C’est < calcul mathématique>

C’est très bien ! Est-ce que tu peux me dire pourquoi d’ailleurs ?

Parce qu’on sait que < calcul mathématique>, et on multiplie par deux.

Oui par la constante.

Oui, c’est bien ! Et donc du coup, ça nous donne quoi ça, est-ce que c’est fini d’ailleurs en fait ?

Non parce que, moi j’aurais supprimé le 2 en fait, mais je ne suis pas sûre.

Ah bon ? On a le droit, tout à fait. Tout simplement parce que tu as des « fois » ici < calcul mathématique>, donc 2, je les enlève. On simplifie haut et bas par 2. Et donc, il reste 1 sur la racine carrée de x. Tu as raison, il faut le faire ici.

Et si on va plus loin dans la dérivée de u’ est-ce qu’il y a quelque chose derrière ?

Non.

Non parce que la dérivée de trois, il faut le dire c’est zéro.

OK, la dérivée de v maintenant.

Et bien la dérivée de v, c’est 1.

Tout à fait, bon c’est déjà bien tout ça. Et donc comment va faire pour conclure, pour calculer notre f'(x).

Donc je t’écoute.

< Calcul mathématique>

OK, est-ce que je mets des parenthèses, je n’en mets pas ?

Là, oui on met des parenthèses. Il y a un – devant.

Tout à fait. C’est bien.

< Calcul mathématique>

Bon eh bien c’est pas mal tout ça. Donc du coup, est-ce qu’on peut aller plus loin, est-ce qu’on peut simplifier un peu tout ça ? Ou pas ? Ou pas trop ? Qu’est-ce que tu aurais fait toi ?

Je ne sais pas trop. Si on peut simplifier, je ne sais pas trop comment.

Alors en fait, ce que je te conseille de faire, c’est peut-être une bonne idée avec le x, mais on va voir. Mais le truc, c’est que tu as déjà un – devant tout ça. Moi je te conseille de développer en quelque sorte, d’enlever les parenthèses.

D’accord ? Donc ce qu’on va faire aussi, c’est qu’on va noter < calcul mathématique>.

En fait, on ne peut pas aller beaucoup plus loin, il y a encore une chose qu’on peut faire, et est-ce que tu sais ce que c’est ?

Moi j’aurais dit, on peut changer < calcul mathématique>, mais je ne sais pas comment on fait en fait.

C’est très bien. Alors c’est une bonne idée, qu’est-ce que c’est que x par rapport à la racine carrée de x ?

C’est < calcul mathématique>.

Comment transformer la racine carrée de x pour obtenir x ?

< Calcul mathématique>

Bon et bien, c’est bien ça. C’est fini là.

Oui, c’est fini.

Voilà.

Est-ce qu’il y a une phrase de conclusion avec ?

Non, pas vraiment. Non, vraiment, tu dis  » j’ai utilisé … »

Tu peux noter cette formule en noir si tu veux.

C’est vraiment bien fait de montrer le détail du calcul, donc tu pars de la formule en noir, tu as écrit tout ça <calcul mathématique>, et ensuite tu exprimes, tu mets toutes les étapes qu’on a mises sur le tableau. Et puis c’est tout.

Alors, souvent, je ne sais pas si tu l’as vu encore, mais je peux te le demander quand même ici. Quand on calcule la dérivée f’, c’est pour en connaître son signe, et est-ce que tu peux me dire le signe de f’ ici. Oui, je t’écoute.

Je dirais négatif, mais, je ne suis pas sûre.

Alors, pourquoi tu n’es pas sûre ? De quel signe tu es sûre ?

Déjà quand on utilise un quotient, il faut regarder le signe du numérateur, et aussi le signe du dénominateur.

Oui.

Et donc le signe du dénominateur, il est de combien ici ?

Là il est positif.

< Calcul mathématique> et au-dessus ?

Il est négatif.

Oui, pourquoi ?

Parce qu’il y a un – devant la racine carrée de x.

Oui.

Parce qu’il y a un moins devant 3x².

Je ne vois pas de 3x◊, mais…j’écris si mal que ça? Non, mais il faut me le dire. Je vais faire des efforts, je vais faire des lignes d’écriture.

Alors en fait, là il y a < calcul mathématique>, et là il y a une séparation. D’accord ?

Ah, d’accord, ok, je comprends mieux.

D’accord, du coup ça <cf calcul mathématique>. Merci de m’avoir dit ça. Ça permet de corriger le tir.

Maintenant je comprends très bien, ne t’inquiète pas.

D’accord, et donc du coup, le numérateur est négatif, parce qu’en fait la racine carrée de x et un nombre positif comme tu me l’avais dit au tout début, moins racine carrée de x est un nombre négatif, et tu ajoutes un nombre négatif, tu ajoutes -3, donc forcément, et bien c’est encore négatif. Tu vois ?

Donc en fait, tout ça, c’est <0. Et tu le verras peut-être par la suite que c’est énormément de connaître le signe de f’.

Donc voilà, mais là non, tu n’as rien d’autre à ajouter à ce calcul. Tu encadres tranquillement ta dérivée et tu passes à la suite.

D’accord.