Déterminer l’ensemble de définition d’une fonction avec un quotient et une racine carrée

Comment déterminer l’ensemble de définition d’une fonction avec une racine carrée et aussi un quotient ?
Bonjour à toi et bienvenu dans cette vidéo star en maths. J’espère que tu vas bien.
Dans cet exercice, nous allons faire ce qui fait souvent l’objet d’une première question dans un problème ou un exercice de mathématiques. C’est-à-dire qu’on va déterminer l’ensemble de définition, autrement dit le domaine de définition, ça peut aussi s’appeler comme ça, de la fonction f(x) égal racine carrée de (3×1), le tout sur (x-1).

Alors dans certains exercices ou problèmes, l’ensemble de définition te sera donné, mais des fois ça fait l’objet d’une première question. Il ne t’est pas donné et c’est à toi de le trouver.
Donc comment faire pour trouver un ensemble de définition d’une façon générale ?
En fait, c’est très simple. Il faut que dans ta tête ce soir clair, il y a quelques règles à utiliser. Pour trouver un ensemble de définition, il y a principalement trois règles. Il y en même deux si tu es en seconde ou en première, et une troisième qui vient s’ajouter si tu es en terminale.

Les trois règles pour déterminer un ensemble de définition, ce sont les suivantes :
1: En maths, on n’a pas le droit de diviser par 0. Tu aurais peut-être envie de le faire des fois mais il n’y a pas le droit. Pas le droit de diviser par 0.
2: Autre règle, la deuxième. C’est important, ce sont ces deux premiers points noirs qui vont nous permettre de trouver l’ensemble de définition. Pas le droit de prendre la racine carrée d’un nombre négatif (strictement).
3: Si tu es en terminale S, si tu es en seconde ou première tu ne tiens pas compte de cette autre règle-là : pas le droit de prendre le ln, le logarithme népérien d’un nombre négatif.
Cette troisième règle c’est si tu es en terminale S et si tu as une fonction qui comporte un ln. Le ln de 0 ça n’existe pas. Le ln de -1 non plus etc.
Pour la racine carrée, si tu es en seconde, racine carrée de -2 ça n’existe pas, de -1 ou de -10 non plus. Racine carrée de 0 ça existe par contre, ça vaut 0. Racine carrée de 1 aussi, de 1,5 aussi.
Et tu n’as pas le droit de diviser par 0. Par exemple 4/0 ça n’existe pas. Par contre, l’inverse, 0/4 ça existe, ça vaut 0. 0 divisé par quelque chose ça fait 0 d’une façon générale. 0/1000 ça fait 0 etc.

Donc voilà les petites règles que nous allons utiliser pour déterminer un ensemble de définition.
Je rappelle ce que c’est un ensemble de définition : c’est un ensemble de x, et non pas de f(x), tel que f(x) existe tout simplement.
Donc en fait, la question qu’on va se poser, c’est la question inverse. Quand est-ce que f(x) n’existe pas ? En fait, ça va te fournir non pas l’ensemble de définition mais les valeurs interdites. Et les valeurs interdites, c’est bien si tu les trouves parce que ça te permettra de trouver l’ensemble de définition. Ce sera tous les nombres qui ne sont pas des valeurs interdites.

Donc quand est-ce que f(x) n’existe pas ? Déjà, première chose, tu n’as pas le droit de diviser par 0. Donc il ne faut pas que x-1 soit égal à 0.
Donc quand est-ce que f(x) n’existe pas ? Quand x-1=0 : f(x) n’existera pas. Donc on utilise la première règle que je t’ai donnée pour trouver un ensemble de définition.
Donc on résout : x-1=0. C’est quelque chose qu’il ne faut pas qu’on ait. Ça va te donner une valeur interdite. On résout ça. C’est tout simple ça te fournit x=1.
C’est-à-dire que quand x vaut 1, tu peux le vérifier par toi même, ça te donne au dénominateur 1-1 donc 0. Donc il ne faut pas que x soit égal à 1. Donc ça, c’est une première valeur interdite. VI : valeur interdite.

Ensuite, on utilise la deuxième règle pour trouver un ensemble de définition. IL ne faut pas que ce qu’on ait à l’intérieur de la racine carrée soit strictement négatif.
Donc nous on va résoudre l’inverse. On va trouver les valeurs de x telles que 3x-1 est négatif.
Donc on résout 3x-1 strictement négatif. C’est strictement négatif parce qu’en fait ça peut être égal à 0 à l’intérieur d’une racine parce qu’en fait, c’est calculable si 3x-1 vaut 0. Je te disais que racine de 0 ça vaut 0. Ça existe.
Donc là, il faut que 3x-1 soit strictement inférieur à 0. Enfin il ne faut pas qu’on ait ça justement. Et là, on résout cette petite inéquation. Donc là, on est en face d’une petite inéquation très simple; Je pense que tu apprends à les résoudre dès la seconde.
Pour résoudre ce genre d’inéquation il suffit juste d’isoler le x tout seul d’un coté. Et donc tu commences par passer le -1 de l’autre côté en faisant +1 à gauche et à droite de l’inéquation. Le -1 va devenir +1.
Et comme on a ajouté +1 des deux cotés, tu te souviens, c’est une petite règle sur les inégalités, ça ne change pas le sens de l’inégalité. Tu te souviens de cette petite règle, c’est très important : quand on ajoute ou soustrait un même nombre des deux cotés d’une inégalité, ça ne change pas l’inégalité.
Quand on multiplie ou divise pas un nombre positif, par exemple si on multipliait par 4 le tout à gauche et le 0 à droite, ça ne changerait pas le inférieur strict. Par contre quand tu multiplies ou tu divises par un nombre négatif à gauche et à droite de l’inégalité, ça change. Mais ici on n’en a pas besoin tu vas voir.

Donc en faisant +1 à gauche et à droite, c’est ça qu’on fait comme opération pour passer le 1 à droite. Je t’encourage toujours à raisonner comme ça. On fait une opération des deux côtés pour passer un nombre d’un côté ou d’un autre. Je t’encourage toujours à raisonner à l’aide d’une opération qu’on fait des deux côtés. Ici c’est +1.
Donc ça nous donne 3x inférieur strictement à 1. Je garde le inférieur strict parce que je te disais justement que ça ne change pas le sens de l’inégalité d’ajouter +1 à gauche et à droite.
Et enfin, comment on fait pour se débarrasser du 3 ? Et bien c’est tout simple, il suffit de diviser par 3 des deux côtés. Et diviser par 3, vu que c’est un nombre positif, ça ne changera pas non plus le sens du inférieur strict.
Divisé par 3, divisé par 3, tu vois c’est la même opération des deux côtés, c’est ça qui nous permet de « passer le 3 de l’autre côté ». Donc les 3 s’annulent ici à gauche. Il ne nous reste plus que le x. C’était le but de la manœuvre. Et on obtient x inférieur à 1/3.
Donc toutes les valeurs entre moins l’infini et 1/3, 1/3 est exclu parce que x a le droit d’être égal à 1/3, sont des valeurs interdites. Voilà donc les autres valeurs interdites que nous avons trouvées.

Donc tu vois bien que toutes les autres valeurs maintenant, elles sont possibles. Toutes les autres valeurs, x a le droit de les prendre.
Par exemple si x vaut 2. C’est différent de 1 et x est aussi à l’extérieur de cet intervalle. Donc c’est possible, c’est une valeur possible. C’est l’inverse des valeurs interdites. Ce sont les valeurs qui sont dans l’intervalle de définition si tu veux. Les valeurs possibles de x.
Donc quelles sont-elles ? L’ensemble de définition on va le noter ED, c’est l’inverse de toutes ces valeurs interdites. Donc c’est quoi ? Et bien c’est [1/3;1[ le 1 il faut l’exclure puisque c’est une valeur interdite. ET après, tu peux reprendre à 1. Union ]1;+l’infini[
Voilà donc l’ensemble de définition de notre fonction. C’est une réunion d’intervalles, donc c’est un ensemble qui est un petit peu plus compliqué que d’habitude. Ce n’est pas juste un intervalle.

Si tu n’as pas bien compris comment on est passé des valeurs interdites à l’ensemble de définition, tu peux juste faire un axe. Tu fais un axe des x qui va de – l’infini jusqu’à + l’infini.
Et tu places dessus tes valeurs interdites. Donc nous on avait trouvé de -l’infini jusqu’à 1/3, mais le 1/3 il est exclu, c’est-à-dire qu’en fait ce n’est pas une valeur interdite. Donc tout ce que je vais hachurer ce sont des valeurs interdites.
Et il y a aussi 1 qui se trouve à droite de 1/3. 1 c’est aussi une valeur interdite.
Donc tout le reste, que je peux faire par exemple en vert, ce sont les valeurs possibles, les valeurs qui sont dans l’ensemble de définition. Donc celles-ci. Pas le 1, on reprend après le 1, donc 1,000001, on avance, jusqu’à +l’infini.
Et donc c’est bien notre ensemble de définition que j’ai noté ici en rouge, les valeurs vertes.
C’est 1/3 jusqu’à 1, 1 exclu, et on reprend à 1 jusqu’à +l’infini.

Voilà comment on détermine un ensemble de définition, alors souviens-toi bien de ça.
Dès que tu as un quotient, c’est-à-dire une division il faut faire attention à ce que le dénominateur ne soit pas égal à 0.
ET dès que tu as une racine carrée, il faut faire attention, il ne faut pas que ce qui est en dessous de la racine carrée soit négatif strictement.
Voilà pour cet exercice.