Déterminer le maximum ou le minimum d’un trinôme à l’aide de sa forme canonique

Comment déterminer le maximum ou le minimum d’un trinôme à l’aide de sa forme canonique ?
Bonjour à toi et bienvenu dans cette vidéo star en math. Ici Romain. J’espère que tu vas bien.
Alors dans cet exercice, et bien, à l’aide de la forme canonique d’un trinôme, nous allons déterminer son maximum ou son minimum.
Alors notre trinôme, c’est 4×2-2x+2, il faudra aussi dire en quel x ce maximum ou ce minimum sera atteint.

Alors déjà je tiens à faire quelques petits rappels :
C’est que un trinôme, qu’on appelle aussi polynôme du 2nd degré, c’est une fonction de la forme ax2+bx+c.
Dans les exercices bien sûr tu connais le a, le b et le c, c’est ce qu’on a ici : la a c’est 4, le b c’est -2 et le c c’est 2.
Et un trinôme, quand tu traces sa courbe dans un repère orthonormé ça donne ce qu’on appelle une parabole.
Une parabole, c’est une forme de courbe assez particulière qui est propre aux polynômes du 2nd degré.
En fait, c’est soit une cloche, une forme de montagne on va dire, avec deux branches qui continuent en moins l’infini, soit un bol, donc quelque chose comme ceci.
Donc même si ce n’est pas très beau je pense que tu comprends à quoi ça correspond.
Donc ce qu’on a la haut, ce serait le cas quand le a est négatif, tu vois c’est quand la parabole est tournée vers le bas, tu vois elle ouvre ses 2 bras vers le bas.
Et, le cas du dessous c’est quand le a est positif, tu vois la parabole est tournée vers le haut, tu vois la petite flèche vers le haut, elle ouvre ses 2 bras vers le haut.
Comme ça tu peux le retenir un petit peu.

Et donc tu vois bien qu’un trinôme ça a toujours un maximum ou un minimum.
Si le a est négatif, la parabole est tournée vers le bas et donc il y a un maximum, il n’y a pas un minimum mais il y a un maximum qui est ici, avec mon point rouge.
Et dans le cas où a est positif, c’est l’inverse, il n’y a pas de maximum mais il y a un minimum, c’est le fond du bol en fait.
Ça correspond à l’ordonnée en fait de ce point là, parce que maintenant on va préciser un petit peu les choses mais maximum ou minimum, en mathématiques, c’est un nombre.
C’est vraiment égal à un nombre. Ce n’est pas un point. Là je te l’ai montré comme un point mais en fait ce nombre, quand tu es dans un repère orthonormé correspond au y de ce point rouge.
Ce qui est assez logique parce que tu vois, ici le maximum, et bien imaginons qu’on arrive en y à 10 et bien voilà, le maximum de ton trinôme, c’est 10.
Et là le minimum de ce trinôme, tu vois, c’est pareil, tu prends l’ordonnée de ce point rouge, et ce serait, je ne sais pas, par exemple -4.
Donc -4 ce serait le minimum, c’est comme ça qu’il faut répondre à la question.
Et, en quel x il est atteint, qu’est-ce que ça veut dire cette partie de phrase là ? Et bien là le x, c’est le x du point rouge, tout simplement.
La en fait on te demande, dans la question en bleu, les coordonnées du sommet sachant qu’un sommet en math, je le répète bien, dans le cas d’un trinôme ça peut être un vrai sommet, comme ici, un vrai sommet de montagne, soit « un fond de bol ».
Donc là le x, je ne sais pas, ce serait peut-être 6.Donc là le maximum ou le minimum est atteint en x=6.
Voilà donc là c’était pour les rappels du contexte, comment ça marche un trinôme, quelle est sa courbe, pourquoi ça a un maximum ou un minimum, parce que toute fonction n’a pas forcement de minimum ou de maximum.

Donc là, on va s’aider de la forme canonique.
Alors, la forme canonique, on ne va pas le démontrer ici mais il y a quelque chose de bien dans la forme canonique, qu’on va rappeler.
Donc ça c’est la forme qu’on appelle développée d’un polynôme du 2nd degré.
Il y a aussi la forme factorisée, quand elle existe, ce n’est pas toujours le cas.
Et il y a aussi sa forme canonique, qui existe tout le temps et qui est celle ci :
a facteur de x moins alpha, le tout au carre plus beta. Donc ça je vais mettre que c’est la forme canonique, qui existe tout le temps, qu’on peut toujours obtenir.
Et il y a quelque chose de bien dans cette forme canonique, qu’on ne va pas démontrer ici, c’est que le alpha et le beta, et bien justement, qu’est ce que c’est ?
Ce sont justement les coordonnées du sommet. Soit du « fond du bol » soit du « vrai sommet ».
Ce sont les coordonnées du sommet de la parabole.

Ça c’est donc plutôt pas mal parce que si on détermine la forme canonique de notre polynôme orange ici, on va déterminer alpha et beta.
Et donc directement on aura, sans rien dessiner, on aura directement les coordonnées de notre sommet.
En fait le maximum ou minimum de notre trinôme.
D’ailleurs, tant qu’a faire on va tout de suite trancher, à ton avis ce sera un maximum ou un minimum pour notre trinôme ?
Dans notre trinôme tu vois bien que le a, qui est donc le coefficient devant x2 c’est 4.
4 c’est positif. Ça veut dire que la parabole elle est tournée vers le haut. On se place dans ce cas là. Donc ça va être une minimum tu vois, qu’on va chercher.
Donc nous, on va chercher et bien le beta, ce sera donc notre minimum et on va chercher en quel x il est atteint, ce sera le alpha.

Donc c’est parti, notre exercice ça va être simplement, la mise sous forme canonique de ce trinôme ici présent.
Alors, la mise sous forme canonique, j’ai déjà fait d’autres vidéos qui expliquent vraiment en détail comment on fait ça;
Je dirais qu’il y a principalement 2 ou 3 étapes, qui ne sont pas évidentes à mettre en place, surtout la 2ème.
Donc on va aller assez vite ici, donc ce qu’on va faire c’est qu’on va prendre notre trinôme et on va mettre =
On va essayer de le transformer pour l’avoir sous cette forme-là.
« Calcul mathématique »
La première étape pour mettre sous la forme canonique c’est toujours de factoriser par a c’est à dire par 4.
Donc on met 4 en facteur et derrière on met des parenthèses, qu’est-ce qu’on va mettre dedans ?
« Calcul mathématique »
Maintenant tu simplifies ce que tu as dans les parenthèses.
« calcul mathématique »

Et c’est là que ça se complique un petit peu, on passe à la 2ème étape de la mise sous forme canonique.
En fait on va essayer de reconnaître ici, le début d’une identité remarquable. Laquelle ?
Et bien a2-2ab+b2. tu vois ce serait ce début là qu’on veut; Et tu te souviens que tout ça ça vaut (a-b)2
Donc là, l’idée c’est que tu trouves le a et le b en noir. bon et bien le a en noir c’est pas très compliqué puisque tu vois bien que pour ça colle au x2 en bleu et bien il faut que le a soit égal a x tout simplement.
Et le b, c’est là que c’est difficile, mais sans l’être trop non plus, mais ce n’est pas évident au début, tu vois le a c’est x et le b il faut que tu prennes 1/4.
Pourquoi ? 1/4 en fait c’est la moitie de ce coefficient ici, de ce 1/2 si tu veux, qui est en facteur du x. Comme ça tu obtiendras :
« calcul mathématique »
Donc la il faut choisir : a=x et b=1/4 Donc du coup :
« calcul mathématique

Donc du coup, tu vas remplacer tout ce que je vais encadrer en rouge, c’est à dire ça, par cela parce que c’est égal, tu vois, c’est égal.
On va bien remplacer le a et le b par x et 1/4 respectivement et on aura bien une égalité entre les 2 donc on peut remplacer.
Donc regardons ce que ça va donner. On va obtenir, tout simplement on remplace :
« calcul mathématique »
Là tu remarques qu’on s’approche petit à petit de notre forme canonique puisqu’on obtient ici déjà le x-1/4, le tout au carre. C’est à dire un truc de la forme x moins alpha, le tout au carre.
En fait on voit déjà le alpha, le alpha c’est juste 1/4, ce qu’il y a derrière le moins puisque le moins est déjà dans la formule.
Et là, ce qu’on va faire, vu qu’on n’est pas tout à fait à la forme canonique, et bien on va développer avec le 4, juste après avoir développé ce coefficient ici. Ici on obtient :
« calcul mathématique »
Voilà, ça c’est notre coefficient beta. On va bien sûr le simplifier parce que tu vois que 28/16 ce n’est pas une fraction irréductible. Tu divises par 2 le numérateur et le dénominateur tu obtiens 14/8.
Tu peux encore diviser par 2, ça nous fait 7/4 tout simplement.

Donc là on va obtenir 7/4 comme beta.
On va mettre la forme finale, la forme canonique finale ça va donner :
« calcul mathématique »
Donc là tu obtiens le alpha. Le alpha attention c’est juste le 1/4. Et le beta, c’est 7/4.

Donc là on répond à notre question :
Le minimum pour notre trinôme, donc c’est un minimum, on l’a bien justifié avant. Pourquoi ? parce que le a, il faudrait le dire si on veut bien rédiger l’exercice.
Et bien c’est un minimum parce que la parabole, qui est la courbe de ce trinôme est tournée vers le haut du fait que a est positif. ça marche ?
Et donc là on obtient comme minimum 7/4, c’est le beta en fait, qui est atteint pour x = 1/4 et ça c’est le alpha.

Donc voilà comment on a résolu notre exercice.
C’est vraiment je dirais une caractéristique importante de la forme canonique, c’est qu’elle te permet d’obtenir directement les coordonnées du sommet de ta parabole.
Donc ce point rouge il a pour coordonnées alpha, beta
Donc évidemment c’est quelque chose qui est propre aux polynômes du 2nd degré donc pour une autre fonction ça ne marche pas évidemment.
Tout simplement parce qu’on parle d’une forme canonique uniquement pour un polynôme du 2nd degré en première.
Donc là, c’est quelque chose de très spécifique, mais bon c’est quelques chose, c’est une méthode que l’on vient de voir qui peut te permettre d’aller plus vite si par exemple tu as un trinôme dans un exercice qui apparaît.

Evidemment tu pourrais faire d’une autre façon.
Si tu as vu le chapitre sur les fonctions dérivées et bien tu peux très bien dériver ce trinôme, en faire le tableau de variations, voir effectivement que c’est un minimum et puis calculer l’image du x qui te fait atteindre le minimum.
Donc c’est une autre façon de faire, c’est la façon générale pour obtenir un maximum ou un minimum.
mais ce qu’on vient de faire dans cet exercice, ça permet d’aller plus vite à mon avis mais par contre c’est très spécifique aux polynômes du 2nd degré.
Voilà donc pour cet exercice.