2nde Développer et Réduire une expression 1/5

Quelles techniques te faut-il employer pour développer une expression factorisée sans risque de faire des erreurs ?
Bonjour à toi et bienvenue sur star-en-maths.tv. Ici Romain. Alors dans l’exercice d’aujourd’hui nous allons développer, réduire et ordonner le carré suivant.
Dans cette vidéo, je vais d’abord te rappeler dans un premier temps ce que veut dire « développer, réduire et ordonner », et ensuite, dans un second temps, on va appliquer ce que je t’aurai rappelé et vraiment faire ceci, c’est-à-dire faire cet exercice et développer ce carré, le réduire et l’ordonner.
Et dans ce deuxième temps, je vais te montrer quatre façons de faire ceci.

Donc dans un premier temps, petit rappel théorique sur ce que ça veut dire développer, et puis ensuite réduire et ordonner qui sont des plus petites opérations.
Donc, développer, c’est une opération mathématique qui consiste à prendre ton expression au départ, faire des petits calculs, dans le but d’enlever toutes les parenthèses. D’accord ? Donc quand tu développes une expression, ça veut dire qu’à la fin tu ne veux plus de crochets, plus de parenthèses.
Donc développer, ça veut dire faire les calculs, faire tous les petits calculs ou toutes les petites opérations successives, de façon à ne plus avoir de parenthèses à la fin.
Donc tu es d’accord que dans cette expression au départ, et bien justement il y a des parenthèses, ici et ici, et on va vouloir les enlever. Et à la fin du développement, c’est-à-dire quand tu auras terminé cette opération là de développement, tu n’auras plus de parenthèses. Tu auras ton expression développée, ça s’appelle comme ça.

Ensuite, qu’est-ce que ça veut dire que réduire ? Et bien réduire ça veut dire faire des calculs qui permettent de regrouper certains termes qui sont regroupables. Je te donne tout de suite un exemple : si tu as des constantes à la fin, par exemple tu as -2… Tu as d’autres termes ici (par exemple +2x-4x² etc.) et à la fin imaginons, tu as +7.
ET bien réduire, ça veut dire tout simplement, regrouper ces deux termes là, de telle façon à ce que tu puisses faire le calcul et obtenir ici -2+7, ça fait 5. Donc tu vas les regrouper et ça va te donner +5. Donc tu auras toujours ce qu’il y a ici, donc 2x, 4x² etc. +5. Donc là, tu as réduis, tu es passé de 2 termes à 1 seul terme.
Ça va être ça la réduction, ça va être de faire des petits calculs encore une fois, parce qu’en mathématiques souvent on fait des petits calculs, c’est quand même le principe. Et réduire ça va être justement de faire des petits calculs pour regrouper des termes qui sont regroupables, donc ici des constantes c’est regroupable ensemble.
Tu as aussi d’autres termes qui sont regroupables, par exemple si j’avais eu -3x + d’autres termes + à la fin disons 9x. Et bien des x comme ça, tu peux considérer ça comme des pommes. Donc tu as -3 pommes et à la fin tu as +9 pommes. Donc tu peux tout à fait ajouter des pommes ensemble. Donc -3 pommes +9 pommes, à la fin il te reste, si tu les regroupes, 6 pommes, donc 6x.
Ça c’est encore une opération de réduction. On a regroupé des termes. Réduction ça veut dire regrouper et faire le calcul. Ici c’est une somme : -3x+9x. Ou une différence si tu fais plutôt dans l’autre sens : 9x-3x. Et tu es encore passé de 2 termes à 1 terme. C’est pour ça qu’il y a une réduction. Donc ça va être ça la réduction.
Donc la réduction ça va être ceci : réduire, ça va consister à regrouper et calculer les termes qui peuvent être regroupés. Comme je te disais à l’instant, quand je parle des termes qui peuvent être regroupés, et bien ça veut dire les constantes, tu vas pouvoir les regrouper ensemble, et les ajouter ou les soustraire (ça dépend du signe qu’il y a entre elles). Donc c’est les constantes, les x aussi, et aussi les x² etc. Tu vas pouvoir regrouper une infinité de termes selon ce que tu vas trouver à la fin de ton développement.

Donc tu vas faire dans un premier temps un développement. C’est pour ça qu’ici, on a les opérations qu’il faut faire sur cette expression dans l’ordre : d’abord développer, ensuite, deuxième chose, réduire et ensuite, à la fin, il faut ordonner. Et qu’est-ce que j’entends par « ordonner » ?
Et bien ici, tu as des termes qui ne sont pas que des constantes parce que tu as une variable, une inconnue plutôt, une inconnue x dans ton expression. Et cette inconnue x, à la fin elle va te livrer des termes en x, des termes en x², peut-être des termes en x au cube, des termes en x puissance 4 et aussi des termes en x puissance 0.
Qu’est-ce que ça veut dire quand je parle de termes en x puissance 0? x puissance 0, ça vaut 1. Donc en fait quand je parle des termes en x puissance 0, et bien en fait je parle des constantes. Donc à la fin, tu vas avoir, à la fin de ta réduction, des constantes, des termes en x, et des termes en x².
Prenons un exemple tout de suite, tu vas par exemple avoir une constante, qui va être 7. Et ensuite tu vas avoir -3x. Et ensuite +14x². C’est juste un exemple, je ne sais pas pour l’instant du tout ce que va être notre expression. Et ordonner, en mathématiques, ça veut dire mettre plutôt les termes du plus fort degré avant. Et tu diminues comme ça les degrés de tes termes. Les degrés concernant la variable x.
Donc au début, il va falloir mettre le terme de plus haut degré, c’est-à-dire 14x². C’est comme ça qu’on va réordonner nos termes. Ensuite tu vas mettre les termes en puissance 1. Saches que x c’est aussi x puissance 1 puisqu’une puissance 1 ça ne change pas le nombre. Un nombre puissance 1, c’est le nombre. Un nombre au carré, c’est le nombre fois le nombre. Donc ensuite tu vas mettre les nombres en puissance 1. Donc -3x. Et ensuite tu vas mettre les constantes, donc tu vas mettre à la fin +7.
Ça va être ça l’opération qui va consister à réordonner tes termes. D’accord ? Ça veut dire mettre d’abord les puissances 4, puis les puissances 3, les puissances 2, les puissances 1. Si tu as des puissances 5 et bien tu les mets en tout premier, au début. Ordonner, ça va consister à ranger les termes suivant les puissances décroissantes de x.

Alors évidemment, si tu n’avais eu que des constantes dans ton expression, c’est-à-dire pas de x, et bien évidemment tu n’aurais pas eu à ordonner les termes.
On parle d’ordonner les termes uniquement quand tu as une variable, souvent notée x, et quand tu as des puissances de cette variable. D’accord ?
Donc voilà pour les trois opérations que nous allons appliquer successivement, dans cet ordre là, à notre expression