Différentes manières de résoudre un système de 3 équations linéaires à 3 inconnues

par Romain
dans 1ère S, 2nde, Equations et inéquations, Espace, Fonctions, Terminale S
sur 27 août 2013

1ère vidéo : Résolution du système d’équations par substitution

2ème vidéo : Résolution du système avec la méthode par combinaison de lignes

3ème vidéo : Résolution « freestyle » ; ) (mais rigoureuse ! )

Dans cet exercice de maths gratuit en vidéo, nous allons expliquer un exercice sur la résolution d’un système d’équations linéaires à 3 inconnues.

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Différentes manières de résoudre un système de 3 équations linéaires à 3 inconnues Vidéo 1/3 Résolution d’un système de 3 équations à 3 inconnues par combinaison de lignes. Quelles sont les multiples façons de résoudre un système d’équations avec plusieurs inconnues ? Bonjour à toi et bienvenu dans cette vidéo Star-en-maths. Ici Romain. Alors dans cet exercice nous allons résoudre le système suivant, constitué des trois équations mauves, de plusieurs façons. Donc en fait, je vais faire plusieurs vidéos et dans chaque vidéo, nous allons résoudre ce système d’une façon particulière, d’une façon qu’on aura choisie. En fait, je veux vraiment te montrer qu’il est possible de résoudre un système d’équations de plusieurs façons, qu’il soit de 2 inconnues, 3 inconnues ou plus. Généralement, dans les exercices que tu rencontreras, ça pourra être en mathématiques mais aussi en physique-chimie (parfois en physique chimie on rencontre de tels systèmes), et bien tu auras des systèmes à 2 inconnues et parfois 3 inconnues. Si tu es en terminale, tu pourras rencontrer ce genre de systèmes assez fréquemment en mathématiques parce que ça représente quelque chose concrètement. En géométrie dans l’espace on a ce genre de système qui apparait fréquemment. C’est un exemple, tu peux le rencontrer dans plein d’autres chapitres. Mais en géométrie dans l’espace, ce système à une signification puisque chaque équation pourrait être comprise comme une équation cartésienne de plan. Et donc résoudre ce système revient à trouver l’intersection entre 3 plans. Donc ça peut être l’objet d’une question d’un exercice en terminale S. Mais même en seconde ou première tu pourrais avoir ce type de système à résoudre. On peut rencontrer des systèmes dans n’importe quel sujet et c’est pour ça que c’est intéressant de savoir les résoudre. On va supposer aussi quelque chose dans ces vidéos : c’est que tu connais les deux méthodes pour résoudre de tels systèmes. Les deux méthodes qu’il faut connaitre c’est la méthode par substitution et la méthode par combinaison. Ce sont des méthodes que j’ai expliquées dans d’autres vidéos donc n’hésite pas à aller les voir, à aller trouver des méthodes avec la combinaison de lignes et la méthode par substitution pour résoudre des systèmes. C’est vraiment ce qu’on va essayer d’employer ici pour résoudre notre système. Donc je suppose que tu connais ces méthodes. Je tiens aussi à te dire que c’est vidéo vont être assez calculatoires. Je vais aller assez vite dans les calculs donc il faut que toi aussi tu sois à l’aise dans les calculs. Je t’invite vraiment à chercher ce système par toi-même avant de lancer ces vidéos, il va y en avoir plusieurs, donc mets vraiment la main à la pate. C’est vraiment quand on s’implique qu’on apprend. Il ne suffit pas de regarder la vidéo, essaie vraiment de chercher l’exercice avant et surtout pour la résolution de systèmes, il faut vraiment que tu fasses les calculs par toi-même. Donc c’est parti. Donc ce que je te propose c’est de lire d’abord les 3 équations : 3x+4y-z=23 ; x-y+2z=3 ; 2x+3y-4z=7 Tu as vu, petite astuce, que j’ai bien mis sous forme de colonnes un petit peu, j’ai fait apparaitre sous forme de colonnes les x, les y et les z. C’est ce que je t’encourage à faire, n’hésite pas à aligner verticalement les inconnues qui sont les mêmes, donc les x, les y et les z. ET les constantes à la fin. Ça permet d’y voir plus clair, tout simplement. Donc là, ce que je te propose, première façon de faire dans cette vidéo, et bien nous allons choisir une méthode par substitution. C’est vraiment, je trouve, ce qu’il y a de plus naturel au début pour résoudre des systèmes. Donc là, tu remarques par exemple dans la deuxième ligne que le x il est tout seul, il n’y a pas de coefficient devant. Donc pourquoi ne pas passer le -y et le +2z à droite. Comme ça on va obtenir x égal quelque chose. Et après on remplacera dans la première et la troisième ligne le x obtenu. Donc là, c’est ce qu’on va faire. Donc on va obtenir, je vais l’écrire à côté : « Calcul mathématique » Et on réécrit les deux autres lignes. C’est comme ça que je t’encourage à procéder pour résoudre un système. Il faut le transformer petit à petit donc réécrire beaucoup de choses. C’est vrai que c’est toujours un petit peu long les systèmes mais il ne faut pas hésiter à réécrire. Et il ne faut pas te tromper en réécrivant les choses, parce qu’il y a moyen de se tromper, c’est un moment très sensible, le moment de la « recopie » de calculs ou d’expressions. Donc là, j’espère que je ne me suis pas trompé. Donc maintenant on remplace le x ici, je mets une petite flèche, tu n’es pas obligé, mais moi c’est pour l’explication que je fais ça. Et donc là on va recopier nos deux lignes, celle-ci et celle-là en remplaçant le x par ce qu’on vient de trouver c’est-à-dire 3+y-2z ici. Comme ça on obtient un système qui ne comporte plus de x. C’est là qu’est l’intérêt de la méthode par substitution. Donc on a réduit le nombre d’inconnues de 3 à 2. Les deux inconnues qui vont nous rester c’est y et z. Donc : « Calcul mathématique » Donc voilà le nouveau système obtenu à deux inconnues seulement et donc ça, ça va être plus facile à résoudre qu’un système à trois inconnues. Tu vois on a réduit la complexité de notre problème. On est passé d’un système à trois inconnues à un système à deux inconnues. Pour nettoyer notre système, on va développer, on va enlever les parenthèses et on va obtenir : « Calcul mathématiques » Donc tu vois il faut vraiment que tu sois à l’aise au niveau des calculs. Voilà pour notre système de deux équations à deux inconnues. Donc on avance bien. Tu remarques pour la première ligne qu’il y a un 7 devant le y et devant le z. Donc pourquoi ne pas le factoriser par 7 en fait. Il faut toujours essayer de simplifier chaque équation. Là, plutôt que de le factoriser tu peux même remarquer directement qu’on peut diviser le tout par 7. Si je divise à gauche et à droite cette première équation par 7, et bien les 7 vont s’enlever à gauche. Et tu vas avoir 14/7 à droite, donc 2. Autrement dit, l’explication de ça, c’est que tu factorises par 7. Donc ça fait 7(y-z)=72. Tu vois, donc les 7 s’en vont si tu divises à gauche et à droite par 7. Donc il reste juste y-z=2. Donc je réécris la deuxième ligne juste en dessous : 5y-8z=1. Et là, qu’est-ce qu’on peut faire ? Et bien moi je te préconise de toujours utiliser la méthode par substitution. C’est-à-dire qu’on va écrire que y=2+z en passant le -z ici à droite. y=2+z. Une fois qu’on a ça, on remplace dans la deuxième ligne et ça fait : « Calcul mathématique » Et tu as vu, cette dernière équation, il n’y a plus que du z. Donc on s’est ramené à une équation à une seule inconnue. Tu vois que petit à petit on a réduit la complexité de notre problème : 3 inconnues ici, deux inconnues là, et une inconnue là. Donc on va pouvoir trouver le z avec cette équation à une inconnue. Il suffit juste de développer donc on va obtenir : « Calcul mathématique » z=3. Ça y est, on a trouvé notre z, z vaut 3. Donc ça, c’est plutôt bien. Bien sûr il nous manque les deux autres inconnues, x et y mais ça va être très simple maintenant. En fait dès que tu as trouvé une inconnue, on peut remonter le système très facilement, c’est-à-dire trouver les autres très facilement. Regarde, là il suffit juste de remplacer le z par 3 dans cette équation-là. IL suffit juste de choisir les bonnes équations qui te donne y et x en fonction des autres inconnues. Donc là, y est en fonction de z. Donc z on le remplace par 3, ça va donner : y=2+3=5. Et on remonte maintenant jusqu’à quelle équation à ton avis ? ET bien en fait, jusqu’à celle-ci, tu te souviens, qui te donnait x en fonction de y et de z. On remplace y par 5, z par 3. ON obtient 3+5-23=2. Donc on obtient x=2. Voilà pour cette première façon de faire pour résoudre ce système. On a procédé par substitution, donc on a remplacé x ici, partout, par 3+y-2z. On l’a remplacé dans la première et troisième ligne, ce qui nous a permis d’obtenir un système à deux inconnues : y et z, qu’on a pu résoudre ensuite facilement toujours en utilisant la méthode par substitution. Voilà pour cette première façon de faire. J’aimerais maintenant te montrer une deuxième façon de faire à l’aide d’une combinaison de lignes. Différentes manières de résoudre un système de 3 équations linéaires à 3 inconnues vidéo 2/3 Résolution d’un système de 3 équations à 3 inconnues par combinaison de lignes Dans cette vidéo nous allons présenter la résolution du système en mauve suivant, à trois inconnues, à l’aide de la méthode par combinaison de lignes. Donc je lis le système : 3x+4y-z=23 ; x-y+2z=3 ; 2x+3y-4z=7 Donc on appelle ça un système linéaire puisque tout est linéaire, il n’y a pas de carrés ou de fois entre les variables. Il n’y a pas de x fois y ou de x fois z etc. Donc on appelle ça un système linéaire de trois équations à trois inconnues. Là nous allons le résoudre, comme je te disais, à l’aide de la méthode par combinaison de lignes. Dans cette vidéo je suppose vraiment que tu connais le principe de cette méthode. Donc si tu ne connais pas le principe de la combinaison de lignes, je t’invite à aller voir d’autres vidéos que j’ai faites sur le sujet, où j’explique en détail cette méthode pour résoudre des systèmes. Donc là nous allons l’appliquer. Ce que je t’encourage à faire c’est vraiment à mettre sur pause la vidéo et à chercher comment tu pourrais résoudre par toi-même ce système, à l’aide de cette méthode, donc la combinaison de lignes. Je t’encourage à le faire parce que c’est important que tu fasses les petits calculs par toi-même. La résolution d’un système c’est avant tout calculatoire, c’est du calcul. Regarder la vidéo, c’est bien, ça te permet de savoir un petit peu comment faire mais il faut aussi que tu fasses les calculs. D’ailleurs, que tu sois en seconde, en première ou en terminale, je pense que c’est très bien de résoudre des systèmes comme ceci parce que ça te permet aussi de t’entrainer au niveau calcul. Donc ça, c’est plutôt un bon point. Alors là, ce que nous allons faire…il y a toujours plusieurs façon de faire, même en utilisant une méthode donnée (ici la méthode par combinaison de ligne. Donc là ce que je te propose de faire : tu vois on a 3x dans la première équation, on a x dans la deuxième : je te propose de multiplier la deuxième ligne par -3. On va multiplier toute cette deuxième ligne par -3 comme ça, ça va faire apparaitre du -3x ici. On va voir ce que ça va faire apparaitre sur le reste, mais ça, peu importe. EN tout cas on aura du -3x. Et l’intérêt d’avoir du -3x, c’est que quand tu ajouteras la première équation et la deuxième, membre à membre, et bien ça enlèvera les x. C’est ça le but de la méthode par substitution ou de la méthode de combinaison de lignes, c’est d’enlever une inconnue. C’est toujours le même principe en fait, quand on veut résoudre un système. On veut réduire le nombre d’inconnues petit à petit. Donc là on va passer de 3 à 2 et ensuite de 2 à 1 inconnue. Donc là, on multiplie notre deuxième équation par -3 partout, donc à gauche et à droite. Donc je réécris cette deuxième équation. Ça va donner : « Calcul mathématique » Je réécris la première ligne : 3x+4y-z=23. Tu vois je fais en sorte d’écrire les inconnues verticalement alignées. C’est ce que je t’encourage à faire aussi. Tu vois les x sont au-dessus des x, les y aussi et les z au-dessus des z. C’est ce que je t’encourage à faire, comme ça, surtout dans une combinaison de lignes, ça va être très simple de voir ce qui s’annule ou pas. Donc là, tu vois qu’on a pris la première et la deuxième ligne de notre système initial et on a obtenu ceci. Donc quand on ajoute maintenant membre à membre nos deux équations… on a toujours le droit de faire quand on a deux équations, on peut toujours les ajouter membre à membre, c’est-à-dire le membre de gauche avec le membre de gauche et le membre de droite avec le membre de droite. Donc là, ça va donner : « Calcul mathématique » Donc, les x s’en vont et voilà équation obtenue à partir de la combinaison des deux premières lignes, sachant qu’on a modifié la deuxième ligne, on l’a multipliée par -3. Et là tu vois, on a réduit notre nombre d’inconnues puisqu’on n’en a plus que 2. Et là, maintenant, ce qui serait bien, ce serait d’avoir une deuxième équation avec plus que du y et du z. Donc comment on pourrait faire ? Ce qu’on pourrait faire, c’est utiliser la troisième ligne, qu’on n’a pas encore utilisée dans notre système initial. Mais là, on a du x. Donc on va toujours utiliser une méthode par combinaison. On va réutiliser aussi notre deuxième ligne; Et comment enlever le x ? Comment l’annuler ? Et bien on ne va pas multiplier la deuxième ligne par -3, on va maintenant la multiplier par -2. Tu vois, on va la multiplier par -2, comme ça on va faire apparaitre un -2x. Et quand on ajoutera membre à membre notre deuxième ligne obtenue et notre troisième ligne, et bien le -2x et le 2x s’annuleront. En fait c’est le même principe que ce qu’on vient d’appliquer mais on va le faire pour les lignes 2 et 3 ici. Donc on va obtenir… Donc là on multiplie cette ligne là par -2. Donc on va obtenir : « Calcul mathématique » Tu as vu, c’est assez calculatoire tout ça. Ça demande de faire beaucoup de calculs. Alors déjà il faut que tu connaisses le principe des méthodes de substitution et de combinaison de lignes. Ici c’est la combinaison de lignes qu’on emploie. Donc là, on continue. On prend notre troisième ligne : 2x+3y-4z=7. Et là, c’est parti, on ajoute membre à membre comme nous avions fait précédemment. Donc là -2x avec le 2x, c’était le but de la manœuvre, tu te souviens, et bien les x, ils s’en vont. Il ne reste plus que les y et les z. On obtient : « Calcul mathématique » Donc là, nos deux équations avec du y et du z, je vais les réécrire. Donc celle-ci et celle-là. Comme ça, ça va nous donner un système de deux équations à deux inconnues. Donc 7y-7z=14. D’ailleurs celle-ci, je t’encourage à la simplifier quand même. Parce que tu vois tu as du 7 et du 7 devant le y et le -z. Donc on peut factoriser par 7 ce qui donne 7(y-z)=27. Donc tu peux simplifier à gauche et à droite par 7 en divisant par 7. Donc tu obtiens y-z=2. Donc c’est quelque chose de plus simple. Dès que tu peux simplifier une ligne, il ne faut pas hésiter à le faire si c’est dans ton intérêt. Donc y-z=2, ça c’est notre première équation. Et la deuxième c’est 5y-8z=1. Tu vois on aligne bien verticalement. Et donc maintenant nous sommes en face d’un système de deux équations à deux inconnues et on va continuer à le résoudre par combinaison de lignes. Donc ce que je te propose de faire, vu que tu as du y dans la première et du 5y dans la deuxième, et bien c’est de multiplier la première par -5 tout simplement. On pourrait aussi le faire par rapport aux z. par exemple multiplier la première ligne par -8. Comme ça, ça ferait apparaitre du +8z ici. On va choisir la première solution, c’est-à-dire qu’on va multiplier par -5. Mais c’est au choix. Tu vois qu’il y a toujours plusieurs voies à emprunter pour résoudre un système. Donc toute la première ligne fois -5. Donc là on va obtenir : « Calcul mathématique » Donc là, il ne faut pas se tromper au niveau des moins. On réécrit la deuxième ligne. On ne la change pas : 5y-8z=1. On aligne bien verticalement les inconnues y et z. Voilà notre nouveau système. Et maintenant on ajoute membre à membre. Ça va nous donner une équation avec plus que du z. Et donc là, ça va être bien parce qu’on aura plus qu’une inconnue. Et une équation avec une inconnue c’est très simple à résoudre. Donc là, les y vont s’annuler et on va avoir : « Calcul mathématique » Et donc il suffit plus que de diviser à gauche et à droite par -3 de façon à avoir z=-9/-3, ça donne 3. Voilà comment on a trouvé l’une de nos trois inconnues à l’aide de combinaison de lignes. Et maintenant on va pouvoir remonter le système pour trouver les inconnues restantes c’est-à-dire y et x. Donc quelle équation va-t-on utiliser pour trouver par exemple le y ? Et bien, on va remonter un petit peu, par exemple là, ce serait pas mal d’utiliser cette équation : y-z=2. Parce que tu vois, si tu passes le -z à droite, tu obtiens y=2+z. Je le réécris au-dessus. Mais vu que z=3, tu obtiens 2+3, donc y=5. Voilà comment on a remonté le système pour trouver une nouvelle inconnue, le y. ET là, c’est presque fini, il suffit juste de remonter au x, en trouvant une bonne équation, une équation qui va nous permettre de trouver le x assez facilement. ET là ça va être celle-ci probablement, même si on pourrait utiliser la première ou la troisième, on va utiliser celle-ci. Regarde, il suffit juste de passer le -y+2z à droite et on va obtenir x=3+y-2z. Et donc le y vaut 5 et le z vaut 3 et donc on obtient 3+5-23. Donc x=2. Voilà comment on a résolu notre système, à l’aide de combinaison de lignes. Tu vois qu’au début on avait 3 lignes et le but a été de repérer comment annuler l’une des inconnues. Donc en fait, là on s’est attelé à annuler le x dans les deux premières lignes mais on aurait pu s’atteler à enlever le y. On aurait pu garder la première ligne et multiplier la deuxième ligne par 4. Comme ça, ça aurait donné un -4y ici au milieu. Et en ajoutant on aurait enlevé non pas les x mais les y et on aurait obtenu une ligne avec du x et du z. Et ensuite pour annuler le y dans les deux dernières lignes, et bien on aurait multiplié la deuxième ligne par 3. Comme ça en ajoutant cette équation et celle-ci, les y se seraient annulés et on aurait obtenu une équation avec que du x et du z. Donc là on aurait obtenu, non pas un système avec du y et du z, mais un système avec du x et du z. Ça ne change pas grand chose au final. Le principe reste le même. Le chemin de résolution est un petit peu différent de ce qu’on vient de faire comme chemin ici mais tu tomberas bien sûr sur le même résultat. Donc là, souvent on écrit le résultat sous la forme d’un triplet. Tu as un triplet de solutions qui est unique. Un triplet ça s’écrit non pas entre accolades mais entre parenthèses. Le premier nombre ça correspond au x, le deuxième nombre ça va être y et le troisième nombre z : (2;5;3). Voilà ta solution ici. Voilà pour résoudre un système par combinaison de lignes. Si tu as bien compris comment on procédait ici, ce serait bien que tu prennes un nouveau système et que tu arrives à le résoudre par toi-même par combinaison de lignes et là, tu maitriseras bien cette méthode qu’on rencontre assez souvent en mathématiques. Différentes manières de résoudre un système de 3 équations linéaires à 3 inconnues Vidéo 3/3 Résolution d’un système de 3 équations à 3 inconnues par combinaison de lignes Pour te montrer qu’il y a vraiment plein de façons de faire pour résoudre un système d’équations, que ce soit à deux inconnues, trois inconnues ou plus, et bien je vais te montrer ici une façon de résoudre ce système un petit peu free style. C’est-à-dire qu’on va utiliser la méthode par combinaison de lignes et aussi la méthode par substitution. On va essayer d’utiliser un petit peu les deux, toujours de façon à converger vers les solutions de ce système. Dans les deux vidéos précédentes, je t’avais montré comment résoudre le système uniquement par substitution, ça c’était la première vidéo. Et dans la deuxième vidéo nous avions résolu le système uniquement par combinaison de lignes. Je t’encourage à aller les voir. N’hésite pas à aller les voir pour revoir un petit peu comment ça marche une substitution, comment ça marche une combinaison. Donc là, je suppose que tu sais comment faire une combinaison de lignes et à quoi ça sert, et aussi que tu sais comment ça marche la méthode par substitution. Je suppose que tu sais comment ça marche. Dans cette vidéo, je veux vraiment te montrer comment résoudre un système, quand tu es, toi, devant ta copie, que tu as envie d’aller vite, que tu sais comment ça marche, que tu sais faire des calculs simples. C’est aussi pour te montrer qu’il y a plein de façons de faire, qu’il y a plein de chemins que tu peux emprunter. Donc là, ce que je te propose, c’est de regarder un petit peu nos équations : 3x+4y-z=23 ; x-y+2z=3 ; 2x+3y-4z=7. Donc tu as vu qu’à chaque ligne on a du x, du y et du z. Donc ça ne rend pas très simple notre système mais bon, c’est faisable quand même, tu vas voir. Donc là on a du 3x du x et du 2x. Là on a des coefficients simples sur le z. On a du -1, du 2 et du -4, donc ça peut être pas mal vu que les coefficients sont simples et en plus on a du 2 et du 4, d’utiliser une première combinaison de ligne pour enlever les z. Par exemple on pourrait multiplier la première ligne par 2, comme ça on obtiendra -2z. Et la combinaison de lignes nous permettra d’enlever les z, en combinant la première et la deuxième équation, parce qu’on obtiendra -2z et 2z juste en-dessous. Donc là on multiplie par 2 cette première ligne. On obtient 6x+8y-2z=46. ON réécrit notre deuxième ligne. On aligne bien nos inconnues verticalement : les x en-dessous des x, les y en-dessous des y etc. x-y+2z=3. Ça c’est plutôt pas mal. Maintenant on effectue notre opération membre à membre. On ajoute, on combine… En fait c’est ça la combinaison, ça veut dire ajouter membre à membre des lignes, sachant que tu as peut-être modifié l’une des lignes en multipliant ici la première par 2, à gauche et à droite. Donc on les ajoute membre à membre et on va obtenir : « Calcul mathématique » Donc là, il y a quelque chose qu’on peut faire. Il faut toujours y penser : dès que tu as une ligne, une équation qui peut se simplifier, il ne faut pas hésiter à le faire si c’est dans ton intérêt. Parce que là tu as du 7 et du 7 et à droite tu as 49. 49 c’est 7 fois 7. Donc pourquoi ne pas factoriser ici par 7. Ou alors peut-être que tu vois tout de suite l’opération qu’on peut faire, on peut diviser à gauche et à droite, le tout par 7. L’explication de ça, c’est qu’on factorise ici par 7 : 7(x+y)=7*7 Si tu divises à gauche et à droite par 7, ça simplifie par 7. Donc les 7 s’annulent à gauche et à droite il va juste nous rester 7. Donc on obtient x+y=7. Ça c’est bien comme équation : on obtient une équation à 2 inconnues, il n’y a pas de coefficient devant le x et le y, enfin il y a juste 1 comme coefficient. Donc ça, c’est une équation simple. Maintenant, on va continuer notre combinaison de ligne pour enlever le z mais maintenant on va utiliser la troisième ligne, donc en utilisant les lignes 2 et 3 de ce premier système. Donc là on va multiplier juste notre deuxième ligne par 2. Donc dans quel but ? Et bien dans le but de faire apparaitre ici un 4z comme ça il s’annulera bien avec le -4z là. Donc c’est parti. Donc là on encadre cette petite équation qui va surement nous servir par la suite. Je multiplie bien cette deuxième équation par 2 partout. Ça fait : 2x-2y+4z=6. Ensuite on réécrit la troisième équation inchangée : 2x+3y-4z=13 Et maintenant c’est parti on ajoute membre à membre, comme on avait fait un petit peu là. Et on va obtenir : 4x+y=10. Les z s’en vont. C’était le but de l’opération. Voilà, et là on obtient une nouvelle équation à deux inconnues qui sont x et y. Donc c’est bien tu vois, on se ramène à deux équations avec 2 inconnues, un système de 2 équations à 2 inconnues et ça, c’est plus simple à résoudre qu’un système de 3 équations à 3 inconnues. Donc on va résoudre ce système. Et là, je te propose une petite substitution. On ne va pas vraiment utiliser une combinaison, même si on pourrait. Je te propose de faire par substitution. Tu vois qu’il y a plein de façons de faire. Il y a plein de voies qu’on peut emprunter. Donc la substitution on va faire juste x égal… avec cette première équation : x=7-y en passant le y à droite. ET on remplace, on substitue le x ici dans la deuxième équation. Donc ça va nous donner… On aurait même pu faire autrement, on aurait pu faire y=7-x et remplacer le y par ce qu’il vaut. Parce que là, il faut faire une multiplication par 4 tu vois. Donc bon, c’est un peu plus couteux en opération mais ce n’est pas très grave non plus. Donc ça fait : « Calcul mathématique » Maintenant on n’a plus qu’une équation à une inconnue. Ça c’est facile à résoudre : -3y=-15. On enlève les moins : 3y=15. Et donc on obtient y=5. Voilà, on a trouvé le y. On remonte maintenant dans notre système. Dès qu’on a trouvé une inconnue, tout s’effondre en fait un petit peu. C’est-à-dire que tu peux trouver toutes les inconnues assez facilement dès que tu en as une. Là, il suffit de remonter à cette équation : x=7-y. Mais y on vient de le trouver, il vaut 5. Donc 7-5 ça fait 2, donc x=2. Voilà pour notre deuxième inconnue. ET pour le z, et bien il faut essayer de choisir une équation qui va nous aider. Qu’est-ce qui pourrait nous aider pour trouver le z dans tout ce qu’on a ici ? Donc là, il faut remonter, à mon avis dans le système initial, donc probablement cette ligne-là ou même cette ligne-là plutôt. Là, en passant le -z à droite, tu auras +z et en passant le 23 à gauche, tu obtiendras -23 et comme ça tu obtiendras z= . Donc tu reprends cette ligne-là et on isole le z. Donc ça fait : z égal… Bon en fait, souvent ça peut prêter à confusion : tu vois j’ai mis le -z ici à droite, sachant que toi, peut-être que ce que tu aurais eu comme reflexe c’est de passer le 3x+4y à droite mais il te serait resté -z ici et ensuite tu aurais tout multiplié par -1. Mais c’est plus simple de faire comme je te propose : passer le -z à droite, comme ça c’est +z, et le 23 à gauche. Donc là j’écris le membre de gauche en fait : 3x+4y-23. Ben là on va faire notre petit calcul. Il y a un petit calcul à faire ici. Ça fait 6+20-23. Donc z=3. On a trouvé nos inconnues. Donc notre système à pour solution le triplet suivant : la première solution c’est le x, deuxième le y et troisième le z : (2;5;3). On met bien entre parenthèses. C’est trois inconnues qu’on a. ça s’appelle un triplet. Et il n’y a qu’une solution à ton système, c’est ce triplet. Donc voilà comment on a résolut notre système ici. C’est en utilisant un petit peu toutes les méthodes qu’on connait : par combinaison, par substitution, toujours dans le but en fait de se débarrasser d’une inconnue, donc de passer de 3 inconnues à 2 inconnues ici : tu vois ce sont les deux équations que j’ai encadrées en rouge. Ça te donne un système de 2 équations à 2 inconnues. ET ensuite on s’est ramené à une inconnue, c’est-à-dire ici. C’était là. Donc tu vois une méthode un petit peu « free style ». Bien sûr on utilise rigoureusement les méthodes qu’on connait. C’est vraiment pour te montrer que devant un système il y a toujours matière à te débrouiller. Et pour trouver les solutions tu peux imaginer plusieurs façons de faire, en utilisant combinaison, substitution. Bref tu essaies d’arranger tes lignes, de simplifier tes lignes dès que tu peux. Tu vois c’est ce qu’on a fait ici, on a vraiment simplifié cette équation parce qu’on ne va pas trimbaler un 7 alors qu’on peut simplifier par 7 à gauche et à droite. Voilà comment on résout un système, comment tu peux te débrouiller tout seul, aisément, devant un système d’équations à plusieurs inconnues.

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Résolution d’un système de 3 équations à 3 inconnues par combinaison de lignes.

Quelles sont les multiples façons de résoudre un système d’équations avec plusieurs inconnues ?
Bonjour à toi et bienvenu dans cette vidéo Star-en-maths. Ici Romain. Alors dans cet exercice nous allons résoudre le système suivant, constitué des trois équations mauves, de plusieurs façons.

Donc en fait, je vais faire plusieurs vidéos et dans chaque vidéo, nous allons résoudre ce système d’une façon particulière, d’une façon qu’on aura choisie.
En fait, je veux vraiment te montrer qu’il est possible de résoudre un système d’équations de plusieurs façons, qu’il soit de 2 inconnues, 3 inconnues ou plus.
Généralement, dans les exercices que tu rencontreras, ça pourra être en mathématiques mais aussi en physique-chimie (parfois en physique chimie on rencontre de tels systèmes), et bien tu auras des systèmes à 2 inconnues et parfois 3 inconnues.
Si tu es en terminale, tu pourras rencontrer ce genre de systèmes assez fréquemment en mathématiques parce que ça représente quelque chose concrètement. En géométrie dans l’espace on a ce genre de système qui apparait fréquemment. C’est un exemple, tu peux le rencontrer dans plein d’autres chapitres.
Mais en géométrie dans l’espace, ce système à une signification puisque chaque équation pourrait être comprise comme une équation cartésienne de plan. Et donc résoudre ce système revient à trouver l’intersection entre 3 plans. Donc ça peut être l’objet d’une question d’un exercice en terminale S.
Mais même en seconde ou première tu pourrais avoir ce type de système à résoudre. On peut rencontrer des systèmes dans n’importe quel sujet et c’est pour ça que c’est intéressant de savoir les résoudre.

On va supposer aussi quelque chose dans ces vidéos : c’est que tu connais les deux méthodes pour résoudre de tels systèmes. Les deux méthodes qu’il faut connaitre c’est la méthode par substitution et la méthode par combinaison.
Ce sont des méthodes que j’ai expliquées dans d’autres vidéos donc n’hésite pas à aller les voir, à aller trouver des méthodes avec la combinaison de lignes et la méthode par substitution pour résoudre des systèmes. C’est vraiment ce qu’on va essayer d’employer ici pour résoudre notre système.
Donc je suppose que tu connais ces méthodes. Je tiens aussi à te dire que c’est vidéo vont être assez calculatoires. Je vais aller assez vite dans les calculs donc il faut que toi aussi tu sois à l’aise dans les calculs.
Je t’invite vraiment à chercher ce système par toi-même avant de lancer ces vidéos, il va y en avoir plusieurs, donc mets vraiment la main à la pate. C’est vraiment quand on s’implique qu’on apprend. Il ne suffit pas de regarder la vidéo, essaie vraiment de chercher l’exercice avant et surtout pour la résolution de systèmes, il faut vraiment que tu fasses les calculs par toi-même.

Donc c’est parti. Donc ce que je te propose c’est de lire d’abord les 3 équations : 3x+4y-z=23 ; x-y+2z=3 ; 2x+3y-4z=7
Tu as vu, petite astuce, que j’ai bien mis sous forme de colonnes un petit peu, j’ai fait apparaitre sous forme de colonnes les x, les y et les z. C’est ce que je t’encourage à faire, n’hésite pas à aligner verticalement les inconnues qui sont les mêmes, donc les x, les y et les z. ET les constantes à la fin. Ça permet d’y voir plus clair, tout simplement.
Donc là, ce que je te propose, première façon de faire dans cette vidéo, et bien nous allons choisir une méthode par substitution. C’est vraiment, je trouve, ce qu’il y a de plus naturel au début pour résoudre des systèmes.
Donc là, tu remarques par exemple dans la deuxième ligne que le x il est tout seul, il n’y a pas de coefficient devant. Donc pourquoi ne pas passer le -y et le +2z à droite. Comme ça on va obtenir x égal quelque chose. Et après on remplacera dans la première et la troisième ligne le x obtenu.

Donc là, c’est ce qu’on va faire. Donc on va obtenir, je vais l’écrire à côté :
« Calcul mathématique »
Et on réécrit les deux autres lignes. C’est comme ça que je t’encourage à procéder pour résoudre un système. Il faut le transformer petit à petit donc réécrire beaucoup de choses. C’est vrai que c’est toujours un petit peu long les systèmes mais il ne faut pas hésiter à réécrire.
Et il ne faut pas te tromper en réécrivant les choses, parce qu’il y a moyen de se tromper, c’est un moment très sensible, le moment de la « recopie » de calculs ou d’expressions. Donc là, j’espère que je ne me suis pas trompé.

Donc maintenant on remplace le x ici, je mets une petite flèche, tu n’es pas obligé, mais moi c’est pour l’explication que je fais ça.
Et donc là on va recopier nos deux lignes, celle-ci et celle-là en remplaçant le x par ce qu’on vient de trouver c’est-à-dire 3+y-2z ici.
Comme ça on obtient un système qui ne comporte plus de x. C’est là qu’est l’intérêt de la méthode par substitution. Donc on a réduit le nombre d’inconnues de 3 à 2. Les deux inconnues qui vont nous rester c’est y et z. Donc :
« Calcul mathématique »
Donc voilà le nouveau système obtenu à deux inconnues seulement et donc ça, ça va être plus facile à résoudre qu’un système à trois inconnues. Tu vois on a réduit la complexité de notre problème. On est passé d’un système à trois inconnues à un système à deux inconnues.

Pour nettoyer notre système, on va développer, on va enlever les parenthèses et on va obtenir :
« Calcul mathématiques »
Donc tu vois il faut vraiment que tu sois à l’aise au niveau des calculs.
Voilà pour notre système de deux équations à deux inconnues. Donc on avance bien. Tu remarques pour la première ligne qu’il y a un 7 devant le y et devant le z. Donc pourquoi ne pas le factoriser par 7 en fait. Il faut toujours essayer de simplifier chaque équation.
Là, plutôt que de le factoriser tu peux même remarquer directement qu’on peut diviser le tout par 7. Si je divise à gauche et à droite cette première équation par 7, et bien les 7 vont s’enlever à gauche. Et tu vas avoir 14/7 à droite, donc 2.
Autrement dit, l’explication de ça, c’est que tu factorises par 7. Donc ça fait 7(y-z)=7*2. Tu vois, donc les 7 s’en vont si tu divises à gauche et à droite par 7. Donc il reste juste y-z=2.

Donc je réécris la deuxième ligne juste en dessous : 5y-8z=1. Et là, qu’est-ce qu’on peut faire ? Et bien moi je te préconise de toujours utiliser la méthode par substitution. C’est-à-dire qu’on va écrire que y=2+z en passant le -z ici à droite.
y=2+z. Une fois qu’on a ça, on remplace dans la deuxième ligne et ça fait :
« Calcul mathématique »
Et tu as vu, cette dernière équation, il n’y a plus que du z. Donc on s’est ramené à une équation à une seule inconnue. Tu vois que petit à petit on a réduit la complexité de notre problème : 3 inconnues ici, deux inconnues là, et une inconnue là.

Donc on va pouvoir trouver le z avec cette équation à une inconnue. Il suffit juste de développer donc on va obtenir :
« Calcul mathématique »
z=3. Ça y est, on a trouvé notre z, z vaut 3. Donc ça, c’est plutôt bien. Bien sûr il nous manque les deux autres inconnues, x et y mais ça va être très simple maintenant.
En fait dès que tu as trouvé une inconnue, on peut remonter le système très facilement, c’est-à-dire trouver les autres très facilement.

Regarde, là il suffit juste de remplacer le z par 3 dans cette équation-là. IL suffit juste de choisir les bonnes équations qui te donne y et x en fonction des autres inconnues.
Donc là, y est en fonction de z. Donc z on le remplace par 3, ça va donner : y=2+3=5.
Et on remonte maintenant jusqu’à quelle équation à ton avis ? ET bien en fait, jusqu’à celle-ci, tu te souviens, qui te donnait x en fonction de y et de z. On remplace y par 5, z par 3.
ON obtient 3+5-2*3=2. Donc on obtient x=2.

Voilà pour cette première façon de faire pour résoudre ce système. On a procédé par substitution, donc on a remplacé x ici, partout, par 3+y-2z.
On l’a remplacé dans la première et troisième ligne, ce qui nous a permis d’obtenir un système à deux inconnues : y et z, qu’on a pu résoudre ensuite facilement toujours en utilisant la méthode par substitution.
Voilà pour cette première façon de faire. J’aimerais maintenant te montrer une deuxième façon de faire à l’aide d’une combinaison de lignes.

Différentes manières de résoudre un système de 3 équations linéaires à 3 inconnues
vidéo 2/3
Résolution d’un système de 3 équations à 3 inconnues par combinaison de lignes

Dans cette vidéo nous allons présenter la résolution du système en mauve suivant, à trois inconnues, à l’aide de la méthode par combinaison de lignes.
Donc je lis le système : 3x+4y-z=23 ; x-y+2z=3 ; 2x+3y-4z=7
Donc on appelle ça un système linéaire puisque tout est linéaire, il n’y a pas de carrés ou de fois entre les variables. Il n’y a pas de x fois y ou de x fois z etc.
Donc on appelle ça un système linéaire de trois équations à trois inconnues. Là nous allons le résoudre, comme je te disais, à l’aide de la méthode par combinaison de lignes.
Dans cette vidéo je suppose vraiment que tu connais le principe de cette méthode. Donc si tu ne connais pas le principe de la combinaison de lignes, je t’invite à aller voir d’autres vidéos que j’ai faites sur le sujet, où j’explique en détail cette méthode pour résoudre des systèmes.

Donc là nous allons l’appliquer. Ce que je t’encourage à faire c’est vraiment à mettre sur pause la vidéo et à chercher comment tu pourrais résoudre par toi-même ce système, à l’aide de cette méthode, donc la combinaison de lignes.
Je t’encourage à le faire parce que c’est important que tu fasses les petits calculs par toi-même. La résolution d’un système c’est avant tout calculatoire, c’est du calcul. Regarder la vidéo, c’est bien, ça te permet de savoir un petit peu comment faire mais il faut aussi que tu fasses les calculs.
D’ailleurs, que tu sois en seconde, en première ou en terminale, je pense que c’est très bien de résoudre des systèmes comme ceci parce que ça te permet aussi de t’entrainer au niveau calcul. Donc ça, c’est plutôt un bon point.

Alors là, ce que nous allons faire…il y a toujours plusieurs façon de faire, même en utilisant une méthode donnée (ici la méthode par combinaison de ligne. Donc là ce que je te propose de faire : tu vois on a 3x dans la première équation, on a x dans la deuxième : je te propose de multiplier la deuxième ligne par -3.
On va multiplier toute cette deuxième ligne par -3 comme ça, ça va faire apparaitre du -3x ici. On va voir ce que ça va faire apparaitre sur le reste, mais ça, peu importe. EN tout cas on aura du -3x. Et l’intérêt d’avoir du -3x, c’est que quand tu ajouteras la première équation et la deuxième, membre à membre, et bien ça enlèvera les x.
C’est ça le but de la méthode par substitution ou de la méthode de combinaison de lignes, c’est d’enlever une inconnue. C’est toujours le même principe en fait, quand on veut résoudre un système. On veut réduire le nombre d’inconnues petit à petit. Donc là on va passer de 3 à 2 et ensuite de 2 à 1 inconnue.
Donc là, on multiplie notre deuxième équation par -3 partout, donc à gauche et à droite. Donc je réécris cette deuxième équation. Ça va donner :
« Calcul mathématique »

Je réécris la première ligne : 3x+4y-z=23. Tu vois je fais en sorte d’écrire les inconnues verticalement alignées. C’est ce que je t’encourage à faire aussi. Tu vois les x sont au-dessus des x, les y aussi et les z au-dessus des z. C’est ce que je t’encourage à faire, comme ça, surtout dans une combinaison de lignes, ça va être très simple de voir ce qui s’annule ou pas.
Donc là, tu vois qu’on a pris la première et la deuxième ligne de notre système initial et on a obtenu ceci. Donc quand on ajoute maintenant membre à membre nos deux équations… on a toujours le droit de faire quand on a deux équations, on peut toujours les ajouter membre à membre, c’est-à-dire le membre de gauche avec le membre de gauche et le membre de droite avec le membre de droite.
Donc là, ça va donner : « Calcul mathématique »
Donc, les x s’en vont et voilà équation obtenue à partir de la combinaison des deux premières lignes, sachant qu’on a modifié la deuxième ligne, on l’a multipliée par -3. Et là tu vois, on a réduit notre nombre d’inconnues puisqu’on n’en a plus que 2.

Et là, maintenant, ce qui serait bien, ce serait d’avoir une deuxième équation avec plus que du y et du z. Donc comment on pourrait faire ?
Ce qu’on pourrait faire, c’est utiliser la troisième ligne, qu’on n’a pas encore utilisée dans notre système initial.
Mais là, on a du x. Donc on va toujours utiliser une méthode par combinaison. On va réutiliser aussi notre deuxième ligne; Et comment enlever le x ? Comment l’annuler ?
Et bien on ne va pas multiplier la deuxième ligne par -3, on va maintenant la multiplier par -2. Tu vois, on va la multiplier par -2, comme ça on va faire apparaitre un -2x.
Et quand on ajoutera membre à membre notre deuxième ligne obtenue et notre troisième ligne, et bien le -2x et le 2x s’annuleront. En fait c’est le même principe que ce qu’on vient d’appliquer mais on va le faire pour les lignes 2 et 3 ici.

Donc on va obtenir… Donc là on multiplie cette ligne là par -2. Donc on va obtenir :
« Calcul mathématique »
Tu as vu, c’est assez calculatoire tout ça. Ça demande de faire beaucoup de calculs. Alors déjà il faut que tu connaisses le principe des méthodes de substitution et de combinaison de lignes. Ici c’est la combinaison de lignes qu’on emploie.
Donc là, on continue. On prend notre troisième ligne : 2x+3y-4z=7. Et là, c’est parti, on ajoute membre à membre comme nous avions fait précédemment. Donc là -2x avec le 2x, c’était le but de la manœuvre, tu te souviens, et bien les x, ils s’en vont. Il ne reste plus que les y et les z. On obtient :
« Calcul mathématique »

Donc là, nos deux équations avec du y et du z, je vais les réécrire. Donc celle-ci et celle-là. Comme ça, ça va nous donner un système de deux équations à deux inconnues. Donc 7y-7z=14. D’ailleurs celle-ci, je t’encourage à la simplifier quand même. Parce que tu vois tu as du 7 et du 7 devant le y et le -z. Donc on peut factoriser par 7 ce qui donne 7(y-z)=2*7. Donc tu peux simplifier à gauche et à droite par 7 en divisant par 7.
Donc tu obtiens y-z=2. Donc c’est quelque chose de plus simple. Dès que tu peux simplifier une ligne, il ne faut pas hésiter à le faire si c’est dans ton intérêt. Donc y-z=2, ça c’est notre première équation. Et la deuxième c’est 5y-8z=1. Tu vois on aligne bien verticalement.
Et donc maintenant nous sommes en face d’un système de deux équations à deux inconnues et on va continuer à le résoudre par combinaison de lignes.
Donc ce que je te propose de faire, vu que tu as du y dans la première et du 5y dans la deuxième, et bien c’est de multiplier la première par -5 tout simplement. On pourrait aussi le faire par rapport aux z. par exemple multiplier la première ligne par -8. Comme ça, ça ferait apparaitre du +8z ici.
On va choisir la première solution, c’est-à-dire qu’on va multiplier par -5. Mais c’est au choix. Tu vois qu’il y a toujours plusieurs voies à emprunter pour résoudre un système.

Donc toute la première ligne fois -5. Donc là on va obtenir :
« Calcul mathématique »
Donc là, il ne faut pas se tromper au niveau des moins. On réécrit la deuxième ligne. On ne la change pas : 5y-8z=1. On aligne bien verticalement les inconnues y et z.
Voilà notre nouveau système. Et maintenant on ajoute membre à membre. Ça va nous donner une équation avec plus que du z. Et donc là, ça va être bien parce qu’on aura plus qu’une inconnue. Et une équation avec une inconnue c’est très simple à résoudre.
Donc là, les y vont s’annuler et on va avoir :
« Calcul mathématique »

Et donc il suffit plus que de diviser à gauche et à droite par -3 de façon à avoir z=-9/-3, ça donne 3.
Voilà comment on a trouvé l’une de nos trois inconnues à l’aide de combinaison de lignes. Et maintenant on va pouvoir remonter le système pour trouver les inconnues restantes c’est-à-dire y et x.
Donc quelle équation va-t-on utiliser pour trouver par exemple le y ? Et bien, on va remonter un petit peu, par exemple là, ce serait pas mal d’utiliser cette équation : y-z=2. Parce que tu vois, si tu passes le -z à droite, tu obtiens y=2+z. Je le réécris au-dessus. Mais vu que z=3, tu obtiens 2+3, donc y=5.
Voilà comment on a remonté le système pour trouver une nouvelle inconnue, le y.

ET là, c’est presque fini, il suffit juste de remonter au x, en trouvant une bonne équation, une équation qui va nous permettre de trouver le x assez facilement.
ET là ça va être celle-ci probablement, même si on pourrait utiliser la première ou la troisième, on va utiliser celle-ci. Regarde, il suffit juste de passer le -y+2z à droite et on va obtenir x=3+y-2z. Et donc le y vaut 5 et le z vaut 3 et donc on obtient 3+5-2*3. Donc x=2.
Voilà comment on a résolu notre système, à l’aide de combinaison de lignes. Tu vois qu’au début on avait 3 lignes et le but a été de repérer comment annuler l’une des inconnues.
Donc en fait, là on s’est attelé à annuler le x dans les deux premières lignes mais on aurait pu s’atteler à enlever le y. On aurait pu garder la première ligne et multiplier la deuxième ligne par 4. Comme ça, ça aurait donné un -4y ici au milieu. Et en ajoutant on aurait enlevé non pas les x mais les y et on aurait obtenu une ligne avec du x et du z.
Et ensuite pour annuler le y dans les deux dernières lignes, et bien on aurait multiplié la deuxième ligne par 3. Comme ça en ajoutant cette équation et celle-ci, les y se seraient annulés et on aurait obtenu une équation avec que du x et du z. Donc là on aurait obtenu, non pas un système avec du y et du z, mais un système avec du x et du z.
Ça ne change pas grand chose au final. Le principe reste le même. Le chemin de résolution est un petit peu différent de ce qu’on vient de faire comme chemin ici mais tu tomberas bien sûr sur le même résultat.

Donc là, souvent on écrit le résultat sous la forme d’un triplet. Tu as un triplet de solutions qui est unique. Un triplet ça s’écrit non pas entre accolades mais entre parenthèses. Le premier nombre ça correspond au x, le deuxième nombre ça va être y et le troisième nombre z : (2;5;3).
Voilà ta solution ici. Voilà pour résoudre un système par combinaison de lignes.
Si tu as bien compris comment on procédait ici, ce serait bien que tu prennes un nouveau système et que tu arrives à le résoudre par toi-même par combinaison de lignes et là, tu maitriseras bien cette méthode qu’on rencontre assez souvent en mathématiques.

Différentes manières de résoudre un système de 3 équations linéaires à 3 inconnues
Vidéo 3/3
Résolution d’un système de 3 équations à 3 inconnues par combinaison de lignes

Pour te montrer qu’il y a vraiment plein de façons de faire pour résoudre un système d’équations, que ce soit à deux inconnues, trois inconnues ou plus, et bien je vais te montrer ici une façon de résoudre ce système un petit peu free style.
C’est-à-dire qu’on va utiliser la méthode par combinaison de lignes et aussi la méthode par substitution. On va essayer d’utiliser un petit peu les deux, toujours de façon à converger vers les solutions de ce système.
Dans les deux vidéos précédentes, je t’avais montré comment résoudre le système uniquement par substitution, ça c’était la première vidéo. Et dans la deuxième vidéo nous avions résolu le système uniquement par combinaison de lignes.
Je t’encourage à aller les voir. N’hésite pas à aller les voir pour revoir un petit peu comment ça marche une substitution, comment ça marche une combinaison.
Donc là, je suppose que tu sais comment faire une combinaison de lignes et à quoi ça sert, et aussi que tu sais comment ça marche la méthode par substitution.
Je suppose que tu sais comment ça marche. Dans cette vidéo, je veux vraiment te montrer comment résoudre un système, quand tu es, toi, devant ta copie, que tu as envie d’aller vite, que tu sais comment ça marche, que tu sais faire des calculs simples.
C’est aussi pour te montrer qu’il y a plein de façons de faire, qu’il y a plein de chemins que tu peux emprunter.

Donc là, ce que je te propose, c’est de regarder un petit peu nos équations : 3x+4y-z=23 ; x-y+2z=3 ; 2x+3y-4z=7. Donc tu as vu qu’à chaque ligne on a du x, du y et du z. Donc ça ne rend pas très simple notre système mais bon, c’est faisable quand même, tu vas voir.
Donc là on a du 3x du x et du 2x. Là on a des coefficients simples sur le z. On a du -1, du 2 et du -4, donc ça peut être pas mal vu que les coefficients sont simples et en plus on a du 2 et du 4, d’utiliser une première combinaison de ligne pour enlever les z.
Par exemple on pourrait multiplier la première ligne par 2, comme ça on obtiendra -2z. Et la combinaison de lignes nous permettra d’enlever les z, en combinant la première et la deuxième équation, parce qu’on obtiendra -2z et 2z juste en-dessous.
Donc là on multiplie par 2 cette première ligne. On obtient 6x+8y-2z=46. ON réécrit notre deuxième ligne. On aligne bien nos inconnues verticalement : les x en-dessous des x, les y en-dessous des y etc. x-y+2z=3.

Ça c’est plutôt pas mal. Maintenant on effectue notre opération membre à membre. On ajoute, on combine… En fait c’est ça la combinaison, ça veut dire ajouter membre à membre des lignes, sachant que tu as peut-être modifié l’une des lignes en multipliant ici la première par 2, à gauche et à droite.
Donc on les ajoute membre à membre et on va obtenir :
« Calcul mathématique »
Donc là, il y a quelque chose qu’on peut faire. Il faut toujours y penser : dès que tu as une ligne, une équation qui peut se simplifier, il ne faut pas hésiter à le faire si c’est dans ton intérêt. Parce que là tu as du 7 et du 7 et à droite tu as 49. 49 c’est 7 fois 7.
Donc pourquoi ne pas factoriser ici par 7. Ou alors peut-être que tu vois tout de suite l’opération qu’on peut faire, on peut diviser à gauche et à droite, le tout par 7. L’explication de ça, c’est qu’on factorise ici par 7 : 7(x+y)=7*7
Si tu divises à gauche et à droite par 7, ça simplifie par 7. Donc les 7 s’annulent à gauche et à droite il va juste nous rester 7. Donc on obtient x+y=7. Ça c’est bien comme équation : on obtient une équation à 2 inconnues, il n’y a pas de coefficient devant le x et le y, enfin il y a juste 1 comme coefficient. Donc ça, c’est une équation simple.

Maintenant, on va continuer notre combinaison de ligne pour enlever le z mais maintenant on va utiliser la troisième ligne, donc en utilisant les lignes 2 et 3 de ce premier système.
Donc là on va multiplier juste notre deuxième ligne par 2. Donc dans quel but ? Et bien dans le but de faire apparaitre ici un 4z comme ça il s’annulera bien avec le -4z là. Donc c’est parti. Donc là on encadre cette petite équation qui va surement nous servir par la suite.
Je multiplie bien cette deuxième équation par 2 partout. Ça fait : 2x-2y+4z=6. Ensuite on réécrit la troisième équation inchangée : 2x+3y-4z=13
Et maintenant c’est parti on ajoute membre à membre, comme on avait fait un petit peu là. Et on va obtenir : 4x+y=10. Les z s’en vont. C’était le but de l’opération.
Voilà, et là on obtient une nouvelle équation à deux inconnues qui sont x et y. Donc c’est bien tu vois, on se ramène à deux équations avec 2 inconnues, un système de 2 équations à 2 inconnues et ça, c’est plus simple à résoudre qu’un système de 3 équations à 3 inconnues.

Donc on va résoudre ce système. Et là, je te propose une petite substitution. On ne va pas vraiment utiliser une combinaison, même si on pourrait.
Je te propose de faire par substitution. Tu vois qu’il y a plein de façons de faire. Il y a plein de voies qu’on peut emprunter. Donc la substitution on va faire juste x égal… avec cette première équation : x=7-y en passant le y à droite.
ET on remplace, on substitue le x ici dans la deuxième équation. Donc ça va nous donner… On aurait même pu faire autrement, on aurait pu faire y=7-x et remplacer le y par ce qu’il vaut. Parce que là, il faut faire une multiplication par 4 tu vois. Donc bon, c’est un peu plus couteux en opération mais ce n’est pas très grave non plus. Donc ça fait :
« Calcul mathématique »
Maintenant on n’a plus qu’une équation à une inconnue. Ça c’est facile à résoudre : -3y=-15. On enlève les moins : 3y=15. Et donc on obtient y=5. Voilà, on a trouvé le y.

On remonte maintenant dans notre système. Dès qu’on a trouvé une inconnue, tout s’effondre en fait un petit peu. C’est-à-dire que tu peux trouver toutes les inconnues assez facilement dès que tu en as une.
Là, il suffit de remonter à cette équation : x=7-y. Mais y on vient de le trouver, il vaut 5. Donc 7-5 ça fait 2, donc x=2. Voilà pour notre deuxième inconnue.
ET pour le z, et bien il faut essayer de choisir une équation qui va nous aider. Qu’est-ce qui pourrait nous aider pour trouver le z dans tout ce qu’on a ici ? Donc là, il faut remonter, à mon avis dans le système initial, donc probablement cette ligne-là ou même cette ligne-là plutôt.
Là, en passant le -z à droite, tu auras +z et en passant le 23 à gauche, tu obtiendras -23 et comme ça tu obtiendras z= . Donc tu reprends cette ligne-là et on isole le z. Donc ça fait :
z égal… Bon en fait, souvent ça peut prêter à confusion : tu vois j’ai mis le -z ici à droite, sachant que toi, peut-être que ce que tu aurais eu comme reflexe c’est de passer le 3x+4y à droite mais il te serait resté -z ici et ensuite tu aurais tout multiplié par -1. Mais c’est plus simple de faire comme je te propose : passer le -z à droite, comme ça c’est +z, et le 23 à gauche.
Donc là j’écris le membre de gauche en fait : 3x+4y-23. Ben là on va faire notre petit calcul. Il y a un petit calcul à faire ici. Ça fait 6+20-23. Donc z=3. On a trouvé nos inconnues. Donc notre système à pour solution le triplet suivant : la première solution c’est le x, deuxième le y et troisième le z : (2;5;3). On met bien entre parenthèses. C’est trois inconnues qu’on a. ça s’appelle un triplet.
Et il n’y a qu’une solution à ton système, c’est ce triplet.

Donc voilà comment on a résolut notre système ici. C’est en utilisant un petit peu toutes les méthodes qu’on connait : par combinaison, par substitution, toujours dans le but en fait de se débarrasser d’une inconnue, donc de passer de 3 inconnues à 2 inconnues ici : tu vois ce sont les deux équations que j’ai encadrées en rouge. Ça te donne un système de 2 équations à 2 inconnues.
ET ensuite on s’est ramené à une inconnue, c’est-à-dire ici. C’était là.
Donc tu vois une méthode un petit peu « free style ». Bien sûr on utilise rigoureusement les méthodes qu’on connait. C’est vraiment pour te montrer que devant un système il y a toujours matière à te débrouiller. Et pour trouver les solutions tu peux imaginer plusieurs façons de faire, en utilisant combinaison, substitution.
Bref tu essaies d’arranger tes lignes, de simplifier tes lignes dès que tu peux. Tu vois c’est ce qu’on a fait ici, on a vraiment simplifié cette équation parce qu’on ne va pas trimbaler un 7 alors qu’on peut simplifier par 7 à gauche et à droite.
Voilà comment on résout un système, comment tu peux te débrouiller tout seul, aisément, devant un système d’équations à plusieurs inconnues.

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Différentes manières de résoudre un système de 3 équations linéaires à 3 inconnues