Encadrer un nombre à l’aide d’une fonction de référence

Comment faire des encadrements de nombres grâce aux fonctions de référence ?
Bonjour à toi et bienvenu dans cette vidéo Star en maths. Ici Romain. J’espère que tu vas bien.
Alors dans cet exercice nous avons deux questions, deux questions qui traitent d’encadrements à faire.
La première, c’est si tu as x qui est compris entre -2 et 3, tu vois, ça se dit comme ça. Tu n’es pas obligé de dire : -2 inférieur à x et x inférieur à 3. Ça se dit plutôt x compris entre -2 exclu, parce qu’il n’y a pas de inférieur ou égal, et 3 exclu. Et bien il faut encadrer x au carré.
Et dans la deuxième question il faudra encadrer 1/z sachant que z est compris entre 1 et 4.
Voilà donc on va faire deux vidéos : une vidéo pour ce premier encadrement et la deuxième ensuite pour ce deuxième encadrement.

Alors, sachant que tu as un nombre au départ, ici x, qui est compris déjà entre deux nombres, et bien comment on encadre x au carré ?
Alors là, je t’encourage vraiment à connaître la fonction carrée justement, savoir exactement comment elle fonctionne, avoir en tête la courbe de cette fonction carrée.
Je t’encourage vraiment à la connaitre parce que c’est ce qu’on appelle une fonction de référence, c’est-à-dire une fonction « de base », et qu’on utilise tout le temps en mathématiques.
Donc on va dessiner très rapidement la courbe de cette fonction. C’est vraiment le graphique que nous allons utiliser pour déduire cet encadrement de x au carré.
Regarde, la fonction carrée elle se comporte comme ça : sa courbe c’est ce qu’on appelle une parabole parce que la fonction x au carré c’est un polynôme du second degré. C’est peut-être le polynôme du second degré le plus simple du monde.
Donc ici, on a l’axe des abscisses, ici, l’axe des y. je vais quand même indiquer qu’il s’agit de l’encadrement 1. Et la courbe de la fonction carrée ressemble à celle-ci, c’est ce bol. J’ai essayé de faire quelque chose de pas trop moche, sachant que les deux branches ici, continuent à l’infini.
Voilà donc ça, c’est la courbe de la fonction carrée, qui à x associe x au carré. ON a l’origine ici. On peut indiquer l’unité rapidement, même si ce n’est pas très précis mon schéma. L’unité on va l’indiquer là, et ici en y.

Maintenant, tu veux encadrer x au carré sachant que le x il appartient à l’intervalle ]-2;3[.
Donc le petit x tu vas regarder ça sur l’axe des abscisses. Donc entre -2 et 3 on va regarder à quel intervalle ça correspond. Donc là, on a 1, 2 et 3. Voilà. Et au niveau des nombres négatifs, on va avoir -1 ici et -2 là.
Donc l’intervalle des x qui correspond, vu que -2 et 3 ne sont pas inclus, tu vois le -2 est strictement inférieur à x donc x ne peut jamais être égal à -2 donc on l’exclut. Et le trois aussi.
Donc tous ces nombres dans cet intervalle, et bien il faut encadrer leurs carrés. Tu peux aussi traduire la question comme ça.

Alors leur carré, c’est là qu’on va se servir de la courbe mauve ici, où est-ce qu’il est sur notre schéma ?
Où est-ce que tu peux placer le carré d’un nombre lorsque tu as le nombre sur l’axe des x ? Imaginons que je note un x en bleu ici dans notre intervalle. Où est-ce qu’est le x au carré ?
ET bien il suffit juste de monter verticalement. On arrive sur la courbe mauve et ensuite on reporte ce point bleu sur l’axe des y et on va obtenir x au carré en bleu. Et ça c’est valable en général, c’est-à-dire que pour tous les nombres dans l’intervalle que j’ai hachuré en bleu, et bien on peut remonter sur la courbe et obtenir les carrés.
Par exemple, si je prends -1, et bien je remonte, je vais arriver là, et horizontalement je trouve le 1. Donc -1, le tout au carré, évidemment ça fait 1.
Ensuite si je fais ça pour -2, je vais le faire en rouge parce que ça, ça va être une valeur remarquable. Pour -2, on monte, on arrive à ce point rouge. On reporte horizontalement, et là, on arrive à combien à ton avis ? Quel est le carré de -2 ? Et bien ça fait -2 fois -2, c’est-à-dire 4. Donc ici on arrive à 4 sur l’axe des y.
Maintenant on va faire pareil pour 3. Donc là, on va remonter sur la courbe mauve à partir de ce x là, le 3. Et ici, on reporte horizontalement, une fois qu’on est arrivé à ce point rouge. On reporte horizontalement, et on arrive ici. Le carré de trois, ça va nous donner 9.
Tu vois qu’on arrive au dessus de 4, c’est logique puisque le carré de 3 est supérieur au carré de -2. 9 c’est supérieur à 4.

Voilà, et là tu pourrais me dire que tous les carrés de nos nombres bleus, compris entre -2 et 3, sont compris entre ces deux nombres, 9 et 4.
ET bien ce serait une erreur parce qu’en fait, ce n’est pas vrai. Regarde, on avait pris -1 tout à l’heure qui est bien un nombre bleu, et son carré il vaut 1. Donc tu vois bien qu’il n’est pas compris entre 4 et 9. Pareil pour 0 ici. 0 au carré, ça donne 0. La courbe elle passe par cette origine.
Tu vois bien que parmi les nombres bleus, il y en a certains dont les carrés ne sont pas compris entre 9 et 4. EN fait, ils sont compris entre quoi et quoi ? Ils sont compris entre 0, c’est le minimum qu’on peut trouver, c’est le carré de 0, et 9, le maximum.
Donc en fait, si tu as x qui est compris entre -2 et 3, je pense que tu seras d’accord avec moi grâce à ce petit dessin qu’on vient de faire que x au carré, il sera compris entre quel nombre et quel nombre ? Et bien il sera supérieur ou égal à 0. Il pourrait être égal à 0 parce que vu que 0 appartient bien à l’intervalle ]-2;3[,le carré de 0 il vaut 0. Donc le x au carré peut bien être égal à 0.
ET le x au carré sera inférieur à 9. Et il ne pourra pas être égal à 9 parce que ce 9 il n’est pas atteignable. Si x était égal à 3, oui, le x au carré serait 9 mais pour x qui est strictement inférieur à 3, le x au carré pourra titiller un peu le 9 mais il ne sera pas égal à 9. Tu comprends ?

Donc voilà comment on a déduit un encadrement de x au carré sachant que x était compris entre -2 et 3.
Bref ce que je t’encourage à faire, c’est vraiment à t’aider de la courbe de la fonction carrée qui est celle-ci, que nous avons faite en mauve, qui est une parabole tournée vers le haut.
Voilà, j’espère que tu as bien compris ça. Si par exemple on te demandait d’encadrer x au carré sachant que x est compris entre 2 et 3. Pas -2 mais 2 ici à gauche, et bien tu placerais le 2 et le 3 ici sur l’axe des x, tu remontes sur les y et tu regardes ensuite quel encadrement ça te donne.
Donc là, entre 2 et 3, l’encadrement de x au carré serait entre 4 et 9.

Voilà ce que je voulais te montrer un petit peu pour ce premier encadrement. L’erreur à ne pas faire en fait, c’est de te dire : bon alors j’ai mon x qui est compris entre -2 et 3, je ne fais même pas de dessin, tout de suite je vais encadrer x au carré, et bien je mets au carré.
Ça, ce serait une erreur parce que tu obtiendrais : je mets au carré : 4 inférieur strictement à x au carré, inferieur strictement à 9. Donc ce n’est pas bon puisque tu aurais x au carré qui serait compris entre 4 et 9. Et ce n’est pas ce qu’on a trouvé. Nous on a trouvé x au carré compris entre 0 et 9. Ça c’est la vraie réponse.
Ça, c’est vraiment ce que je t’encourage à ne pas faire, c’est-à-dire mettre directement au carré sans réfléchir. En fait il faut réfléchir justement pour ce genre d’encadrement, surtout que dans les exercices on essaiera de te tromper un petit peu là-dessus.
Mais c’est aussi dans un but d’apprentissage parce que dans beaucoup d’exercices que tu feras en première ou en terminale après, c’est vraiment important de bien maitriser ces encadrements avec ces fonctions de référence : x au carré ou la fonction inverse qu’on va voir juste après. Parce que ça sert très souvent pour résoudre après des problèmes plus complexes.

Je tenais aussi à te faire remarquer que si le x il est compris entre deux nombres positifs ici. Tu vois on se place dans la partie droite de l’axe des x, c’est-à-dire là, et bien là, tu peux mettre au carré directement. C’est ce que je te disais précédemment avec l’exemple si x est compris entre 2 et 3, et bien le x au carré sera effectivement compris entre 4 et 9. Parce que tu vois, la fonction carrée elle est strictement croissante sur cet intervalle 0, jusqu’à +l’infini.
Et donc, il n’y a pas de souci quand tu passes d’une inégalité au carré, sachant que les deux nombres au début, ou les trois nombres sont dans cet intervalle.
Tu vois si tu as 2 inférieur à x inférieur à 3, donc là c’est un autre cas que je te présente. C’est vraiment pour te montrer que si on se place sur l’intervalle sur lequel x au carré est strictement croissante, et bien là, il n’y a pas de souci, tu pourras passer au carré. Et ça te donnera 2 au carré inférieur à x au carré, inférieur à 3 au carré.
Et ceci, car la fonction carré est strictement croissante, c’est ça la raison, sur [0;+l’infini[, c’est-à-dire sur cet intervalle vert.

Mais tu vois que sur notre intervalle pour notre premier encadrement que nous avions à faire, les trois nombres n’appartenaient pas à [0;+l’infini[, il y avait le -2. Donc ils appartenaient à R on va dire mais surtout ils appartenaient à deux intervalles sur lesquels la fonction carrée n’a pas le même sens de variation.
Tu vois qu’ici, sur l’intervalle R-, c’est-à-dire ]-l’infini;0], et bien la fonction carrée est strictement décroissante, alors que sur R+ elle est strictement croissante.
Si ta fonction carrée change de variation, alors tu ne peux pas passer les trois nombres que tu as au début au carré. Ce n’est pas quelque chose que tu peux faire.
Par contre, si tu sais qu’il y a un sens de variation, qui est unique -ici c’était le cas sur R+- et bien tu peux le faire et tu peux le faire sans changer les inférieurs stricts qu’on avait au début. Tu les retrouves ici.
Et si, autre cas, tu te trouves dans l’intervalle R-, par exemple si au début tu as x compris entre -3 et -2, alors là, oui tu peux passer au carré mais, vu que la fonction est décroissante, il faut inverser le sens des inférieurs stricts. Il faut les mettre en supérieurs stricts.
Donc là, ça va te donner 9, supérieur à x au carré, supérieur à 4. Et là, la raison c’est : car la fonction carrée est strictement décroissante sur ]-l’infini;0]. Tu vois bien que tous ces nombres-là appartiennent à ]-l’infini;0]. Ça marche ?

Donc voilà pour ce premier encadrement et on va passer au deuxième.

Encadrer un nombre à l’aide d’une fonction de référence
vidéo 2/2 : 2ème encadrement

Dans cette deuxième vidéo nous allons faire le deuxième encadrement de cet exercice.
Si tu n’as pas vu la première vidéo, correspondant au premier encadrement, je t’encourage vraiment à aller la voir parce que je rappelle pas mal de choses sur comment encadrer, justement, un nombre.

Donc là, nous avons z au début, qui est compris entre 1 et 4. Donc il s’agit d’encadrer 1/z. C’est un exercice classique mais c’est aussi une base en mathématiques, les encadrements, qui servent à résoudre des problèmes plus complexes dans des études de fonctions par exemple, etc. ça peut servir vraiment dans pas mal de choses.
Donc, comment on va faire ça ? Ici on a z, on a bien compris, il est compris entre 1 et 4 et il faut encadrer le 1/z. 1/z, c’est ce qu’on appelle aussi la fonction inverse.
La fonction qui à x associe 1/x et bien c’est ce qu’on appelle la fonction inverse. Est-ce que tu te souviens sur quel intervalle cette fonction est définie ? Elle n’est pas définie sur R tout entier puisqu’il y a une valeur interdite. Il y a 0 comme valeur interdite puisque si x vaut 0 et bien tout ça, ça n’existera pas. Le 1/x n’existera pas.
Tu vois, j’ai noté x mais je pourrais très bien mettre z. le z ici, c’est juste une question de notation. C’est juste pour te montrer qu’on peut noter cette variable comme on veut.
Donc en fait, l’ensemble de définition de la fonction inverse, c’est tout simplement R*. Donc ici, R* qui correspond à l’intervalle ]-l’infini;0[ union ]0;+l’infini[. Bref c’est R privé de 0.

Et donc cette fonction inverse, elle va nous servir pour trouver notre encadrement. C’est donc une fonction de référence, la fonction inverse, qu’on étudie plutôt dès le début de la première S.
En fait on va se servir de sa courbe, à cette fonction inverse, pour bien montrer les choses. Donc comme pour le premier encadrement qu’on avait fait, on va dessiner, très rapidement l’allure de la courbe de la fonction inverse, qui est ce qu’on appelle aussi une hyperbole. Ça s’appelle comme ça.
Donc là, on a l’axe des y, ici on a notre axe des x. Donc c’est un tout petit repère orthonormé, ce n’est pas très joli mais c’est vraiment pour montrer comment ça fonctionne. Je pense que c’est le plus important. Donc là, on va la faire en mauve cette petite hyperbole.
Donc elle provient ici de l’infini et elle va faire quelque chose comme ça, jusqu’à « coller » à l’axe des abscisses en l’infini. Et aussi, pour x négatif, elle provient de là et elle descend en l’infini pour « coller » à l’axe des y. Bon voilà, ce n’est pas trop moche et là, on a la courbe de la fonction inverse : 1/x.
Tu remarques bien que quand x vaut 0, 1/x n’existe tout simplement pas. ON n’a pas d’image de 0 par la fonction inverse. Et tu remarques aussi que cette fonction inverse elle est strictement décroissante. Alors on ne dit pas strictement décroissante sur R* mais on dit strictement décroissante sur ]-l’infini;0[ et strictement décroissante sur ]0;+l’infini[.
Tu vois, on voit bien que la courbe descend sur chacun de ces intervalles mais on ne peut pas dire qu’elle est strictement décroissante sur R*. On ne le dit pas trop comme ça.

Et donc là, nous allons revenir à notre encadrement. Tu vois que notre nombre z, il est compris entre 1 et 4. Donc on va le faire figurer sur notre axe des abscisses, ici, tu vas voir que ça va être dans la partie positive. Donc le 1 on peut le mettre là, 2, 3 et 4. Voilà donc en fait notre z il se balade dans cet intervalle ici avec 1 et 4 exclus puisque le 1 est inférieur strictement à z et z inférieur strictement à 4.
Et donc le 1/z, je pense que tu seras d’accord avec moi, pour l’obtenir, vu qu’on a bien dessiner notre courbe de la fonction 1/z, la fonction inverse, et bien pour un z donné dans cet intervalle bleu, il faut monter sur la courbe, on arrive à un point donné de la courbe, et ensuite, tu reportes ça horizontalement sur l’axe des y pour obtenir ton inverse en fait, ton 1/z.
Et donc je pense que tu comprends que si les z se promènent dans l’intervalle ]1;4[ et bien le 1/z il se promènera sur quoi comme intervalle ? Et bien il va se promener sur : ici il suffit de monter avec le 1, et on va obtenir 1 puisque, je pense que tu seras d’accord, 1/1 ça vaut 1. L’inverse de 1 c’est 1. Et au minimum, quand z vaudra 3, 3,5, 3,9 etc. et bien ici, quand tu montes du 4 jusqu’à la courbe, tu reportes horizontalement, on va arriver à 1/4.
1/4 c’est l’inverse de 4 qui correspond au nombre décimal 0.25. Tu vois, c’est pour ça que c’est plus petit que 1, c’est normal. Voilà où vont varier nos 1/z. je pense que tu comprends qu’ils vont varier entre le « minimum » (on n’appelle pas ça vraiment un minimum) 1/4 et 1. Donc 1 sera le « maximum » et 1/4 le « minimum ».
Et donc le 1/4 à ton avis est-ce qu’il faut l’inclure ? Et bien non puisque si z se rapproche de 4, tu vois s’il vaut 3,9, 3,99 etc. et bien le 1/z, il se rapprochera de 1/4 mais il ne sera jamais égal à 1/4; IL vaudra 1/3,9 etc. qui est un nombre un petit peu plus grand que 0,25. Tu peux le vérifier sur ta calculatrice.
Ce sera donc strictement supérieur à 1/4 et strictement inférieur à 1. Parce que si z se balade dans cet intervalle bleu mais se rapproche de 1, s’il vaut 1,1 par exemple, et bien 1/1,1, et bien on se rapprochera de 0,9 ou 0,99. Tu vois, tous ces 1/z là, qui se rapprocheront de 1 mais sans jamais atteindre le 1. 1/z sera toujours strictement inférieur à 1.

Donc tu vois bien qu’on est parti au début de 1 inférieur strictement à z inférieur strictement à 4. Bref de z compris entre 1 et 4. ET on a trouvé que 1/z est compris entre 1/4 et 1. Et je pense que tu comprends que ça, ça provient du fait que la fonction inverse est strictement décroissante sur notre intervalle ]0;+l’infini[. Ici, tous ces nombres au début appartenaient bien à ]0;+l’infini[, tu vois cette partie-là de l’ensemble de définition de la fonction inverse, sur laquelle la fonction inverse est décroissante.
Donc en fait, dès qu’une fonction possède un sens de variation unique sur l’intervalle sur lequel tu l’étudies, ici ]0;+l’infini[ et même c’est l’intervalle plus précisément ]0;4[, et sur cet intervalle la courbe de la fonction est strictement décroissante et donc, quand tu passes à l’inverse tous les nombres, vue qu’elle est strictement décroissante, il te suffit d’inverser les sens des inégalités.
Donc tu obtiens 1/1 strictement supérieur à 1/z, strictement supérieur à 1/4. Autrement dit, je vais le mettre en-dessous, 1/1 c’est bien 1. 1/z, ça ne bouge pas, 1/4 ça ne bouge pas non plus mais bref, c’est ce que nous avons trouvé graphiquement. C’est ce qu’on avait trouvé ici, c’est la même chose. C’est pour ça que je voulais te le montrer. 1/z est bien compris entre 1/4 et 1.

Voilà, donc je répète bien les choses. Là on s’est aidé du graphique, de l’allure de la courbe de 1/z pour trouver notre encadrement, mais quand tu as un petit peu l’habitude, tu n’es pas obligé vraiment d’utiliser ce graphique. C’est-à-dire que là, vu que tu sais que ta fonction inverse elle est strictement décroissante sur ]0;+l’infini[, et bien si tes nombres ici appartiennent à cet intervalle, tu peux tous les passer à l’inverse mais par contre il faut changer le sens des inégalités, et ça c’est du à la stricte décroissance de ta fonction.
C’est dû au fait que si je prends deux nombres, dans ton intervalle, on va les faire en rose, hop, A et B, et bien je pense que tu seras d’accord avec moi que 1/A il sera très haut, il sera par là. Et 1/B il sera tout petit alors qu’au début tu avais B qui était supérieur à A. Et bien 1/B il est plus petit que 1/A.
Donc tu vois bien qu’à cause du fait que cette fonction inverse est décroissante sur cet intervalle, et bien il faut changer le sens des inégalités quand tu passes à l’inverse. C’est ce qu’on avait fait ici et j’ai bien voulu te montrer graphiquement comment ça marche.
Donc ça veut dire quoi ? Ça veut dire que si tu as un autre encadrement à faire avec la fonction inverse, par exemple l’encadrement dans les nombres négatifs. On va le faire par exemple en vert, imaginons que ton z soit compris entre -3 et -2, et bien tu le notes, tu n’es plus obligé d’utiliser le graphique. Tu notes z compris entre -3 et -2 et bien le 1/z il sera compris entre quel nombre et quel nombre ?
Et bien je t’avais dit que tu peux passer à l’inverse tout ça, chaque nombre de cette double inégalité, mais il faut changer le sens de tes inégalités parce que tous ces nombres appartiennent à l’intervalle ]-l’infini;0[. Donc on change le sens et ça va nous donner -1/3, donc ça c’est l’inverse de -3, strictement supérieur à 1/z strictement supérieur à -1/2.
Donc ton 1/z sera compris entre deux nombres que je peux faire figurer ici mais ça va être un peu petit, c’est-à-dire -1/3 et -1/2.

Voilà, c’était juste pour te montrer comment déduire des encadrements à partir de la fonction inverse.
Donc tu peux t’aider du graphique évidemment tout le temps, il n’y a pas de souci mais si tu es un petit peu à l’aise et si tu sais que tes nombres appartiennent soit à l’intervalle ]0;+l’infini[ soit à l’intervalle ]-l’infini;0[, alors tu peux passer une inégalité à l’inverse, en changeant le sens des inégalités car cette fonction est strictement décroissante sur chacun de ces deux intervalles : ]-l’infini;0[ ou ]0;+l’infini[.
Tu comprends ?