Equation de droite

Bonjour à toi et bienvenu dans ce cours Star en maths. Ici Romain. J’espère que tu vas bien.
Alors, dans ce cours nous allons parler de ce qu’est l’équation d’une droite. Il faut absolument que tu saches ce que c’est que l’équation d’une droite au lycée parce que c’est omniprésent, ça te poursuivra jusqu’en terminale et ce n’est pas compliqué.
Il faut comprendre parfaitement ce que c’est. Non seulement comprendre mais également savoir manipuler les équations de droite. Donc pour ça il faut parfaitement comprendre ce qu’elles veulent dire et pas juste la connaitre comme ça par cœur.
Donc tu sais surement qu’une équation de droite on la décrit généralement par l’équation suivante : y=mx+p ou ax+b, ça dépend des notations.

Tout d’abord, j’aimerais préciser une chose : qu’est-ce que c’est qu’une droite ? La droite, qu’on va tracer dans un repère orthonormé, et bien ça correspond à la courbe d’une fonction.
Et la droite, c’est la courbe de quel genre de fonction ? Et bien des fonctions qu’on appelle affines ou linéaires. Ça, c’est la fonction. Ce n’est pas graphique encore, ce n’est pas une courbe.
Ça, c’est vraiment une fonction. Une fonction et une courbe, ce sont deux objets mathématiques qui sont différents. Et une courbe, tu peux la tracer quand tu as la fonction : f(x) égal quelque chose.
Alors pour une fonction affine, c’est f(x)=mx+p. Donc ça, c’est vraiment une fonction affine. m, ça va s’appeler le coefficient directeur. Le coefficient directeur ça a une signification très graphique. Directeur ça veut dire « qui dirige », on va y revenir par la suite. Et p c’est l’ordonnée à l’origine.
ET dans le cas d’une fonction linéaire, ce sera f(x)=mx tout simplement. Pas de p. ET dans ces deux cas, les courbes correspondant à ces deux droites…
C’est un petit peu bizarre de parler de courbes pour toi, mais en fait, une droite, c’est une courbe. C’est une petit peu antinaturel on va dire parce que quand on parle dans la vie courante de ce qui est courbe, c’est quelque chose qui n’est justement pas droit. Mais bon, en mathématiques la signification c’est qu’une droite, c’est une courbe et c’est la courbe d’une fonction affine ou linéaire.
Donc là, la courbe, c’est une droite.

Donc je pense aussi que tu te souviens que le nombre f(x), ça s’appelle aussi l’image de x par la fonction f. Et les f(x) ce sont aussi des y. Souvent on dit que y=f(x). Je pense que tu as déjà dû voir ça.
Donc en fait, le y ça va correspondre à l’ordonnée d’un point. L’ordonnée ça va être sa coordonnée suivant l’axe des y justement. Et le x ça s’appelle l’abscisse.
ET donc ça veut dire que quand tu as une fonction, ça prend un nombre que tu as à la base, le x et ça le transforme en un nombre y=mx+p. Donc tu as deux nombres en fait : le nombre initial, qui est x et le nombre final : y.
Et à partir de ces deux nombres, tu peux dessiner un point parce dès que tu as deux nombres réels en mathématiques, tu peux placer un point dans ton repère orthonormé en deux dimensions. Tu comprends ?
Donc en fait, quand tu vas placer les points qui correspondent aux y et aux x de ces deux genres de fonction-là et bien tu vas tomber sur une droite et donc tu as directement l’équation d’une droite qui en découle. Et l’équation d’une droite qui en découle c’est y=mx+p.
C’est ça qu’on appelle équation de droite. Alors dans équation je te rappelle que nous avons le préfixe « équa » qui signifie égalité. On le retrouve par exemple dans le mot équilatéral qui correspond à un triangle qui a trois côtés de même longueur, de longueur égale. Donc encore le mot égalité.
Donc « equa », forcément il y a un égal dedans. C’est ça que tu peux retenir, dans une équation s’il n’y a pas de = c’est qu’il manque quelque chose.

Donc y=mx+p, c’est l’équation d’une droite que tu connais à mon avis depuis le collège. Alors m, comme je te disais, ça a un nom, ça s’appelle le coefficient directeur. Je vais le mettre par exemple en vert. m, c’est le coefficient directeur.
Directeur ça veut dire qui dirige la droite tout simplement. Et plus concrètement, si ton m est positif, ça veut dire que ta droite elle va monter. Pour toi, ça va être comme ça dans ton repère. Et si m est négatif, et bien elle va descendre la droite, tout simplement.
Ensuite p, ça s’appelle l’ordonnée à l’origine. Alors l’ordonnée en mathématiques, c’est ce qui correspond aux y. Alors le p, c’est un y. Effectivement quand tu remplaces x par 0, tu obtiens y = m *0 (donc 0) + p. Donc y=p ça prouve bien que p est un y. Donc p c’est une ordonnée. À l’origine parce que c’est quand x vaut 0. C’est tout simplement ça.
Et donc ces deux nombres là, le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine, tu peux vraiment les voir sur ton repère orthonormé, une fois que tu as tracé ta droite. Et même, je dirais, ce n’est pas une fois que tu as tracé ta droite, c’est même ces nombres là qui te permettent de tracer ta droite. On va y revenir dans un instant.

Ce que je voulais te montrer également, c’est la deuxième forme d’une équation de droite, que tu connais peut-être, qu’on t’a peut-être introduite, c’est l’équation cartésienne d’une droite. L’équation cartésienne d’une droite c’est plutôt quelque chose qu’on voit en terminale mais ce n’est vraiment pas beaucoup plus compliqué.
L’équation cartésienne d’une droite c’est ax+by+c=0. Tu vois que c’est toujours une équation puisqu’on a un égal et on a toujours les deux nombres x et y. par contre dans cette équation nous n’avons plus de coefficient directeur et d’ordonnée à l’origine.
Je te rappelle d’ailleurs que le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine, ces deux nombres là, on ne les voit que dans les équations de droite, ce sont deux termes qui n’apparaissent que dans les équations de droites, ça n’apparait nulle part ailleurs.
Donc quand tu as une autre fonction, par exemple une fonction polynôme du second degré ou ce genre de chose, tu n’as pas du tout de coefficient directeur; C’est juste pour une équation de droite.
Donc là, ce que je voulais marquer, c’est : équation cartésienne. C’est juste une forme un petit peu différente mais en fait tu peux toujours passer de l’une à l’autre. De l’équation cartésienne à celle-ci, celle que tu connais depuis le collège. Et tu peux passer de celle-ci à l’équation cartésienne sans problème.

Par exemple, si je prends l’équation de droite suivante : je vais te donner un exemple en vert : si je prends y=2x-1. C’est une équation de droite sous la forme que tu connais depuis toujours. 2 c’est le coefficient directeur et -1 c’est l’ordonnée à l’origine.
2, vu que c’est positif, tu sais que ta droite elle sera croissante etc. Donc de par tes connaissances du coefficient directeur et de l’ordonnée à l’origine, tu peux déduire des choses sur ta droite. Bref ce que je voulais te montrer, c’est qu’à partir d’une équation de droite comme celle-ci, tu peux passer à une équation cartésienne.
Ce qu’il suffit de faire, c’est passer le y de l’autre côté. Tu fais -y à gauche et à droite, regarde ce qui va se passer, ça va donner 0 (y-y) égal 2x moins y (je vais le mettre au milieu) moins 1. J’ai tout simplement passé le y à droite. Et donc là, tu as une belle équation cartésienne de droite.
L’équation cartésienne, je ne vais pas aller plus loin dans cette vidéo, mais c’est une équation qui a son utilité, parce que simplement tu peux repérer là-dedans un vecteur directeur de ta droite et puis ça permet aussi de faire d’autres choses.
C’est une équation de droite qu’on voit normalement un petit peu plus tard en lycée, généralement en terminale. De toute façon il n’y a aucun problème, tu peux toujours passer d’une forme à l’autre sans problème.

Donc maintenant, ce que j’aimerais voir avec toi, c’est qu’est-ce que ça représente exactement une équation de droite. J’ai commencé à le dire tout à l’heure. Que sont le x et le y dans une équation de droite mais j’aimerais le préciser un petit peu avec toi parce que c’est très important.
ET c’est ça qui va te permettre de bien comprendre ce que c’est et ensuite de bien manipuler les équations de droites.

2nde
Équation de droite
vidéo 2/2
A quoi sert-elle vraiment ? Que permet-elle de faire ?

Donc je te disais qu’une équation de droite, sa forme générale, c’est celle-ci, c’est celle qu’on apprend dans un premier temps : c’est y=mx+p.
Alors peut-être que tu as vu la notation ax+b. ça dépend, des fois, le coefficient directeur on le note a mais là, j’ai choisi de le noter m. Et l’ordonnée à l’origine, des fois on la note b, mais là, ce n’est pas grave, je l’ai notée p.
Alors cette forme de l’équation de droite, c’est la forme générale. Toi bien sûr, dans les exercices, tu verras des équations de droites sous leur forme particulière, par exemple en remplaçant m et p par des nombres, et non pas x et y, c’est juste m et p qui sont remplacés par des nombres réels.
Par exemple m il peut valoir 2. Donc là on va prendre un exemple. Et p il peut valoir par exemple -1. y=2x-1. Par contre, tu ne vas pas remplacer le x et le y. Le x et le y font toujours partie d’une équation de droite.

Alors maintenant, que représentent ton x et ton y ? Ça, c’est très important, je vais insister là-dessus plusieurs fois dans cette vidéo. Ton x et ton y ça représente les coordonnées d’un point.
Alors tu sais que les coordonnées d’un point, dans un repère orthonormé comme celui-ci à gauche, et bien ça représente tout simplement son x, son abscisse, et son y. A partir du moment où tu as le x et le y d’un point, tu peux placer le point dans un repère orthonormé.
Par exemple je peux placer le point A de coordonnées (2;3) dans le repère. Dès que tu as deux nombres, ici 2 et 3, donc l’abscisse et l’ordonnée, tu peux placer le point dans un repère orthonormé.
Ça je pense que tu le sais. Donc 2, c’est l’abscisse de notre point. Donc il va être sur la ligne verticale ici présente. Et plus précisément il va être à ce niveau-là pour une ordonnée de 3. Donc là, tu peux placer ton point A.
Et en fait, tous les points dont les coordonnées vérifient cette équation… c’est là que ça devient un petit peu compliqué, j’ai énormément d’élèves qui ne comprennent pas bien ça et jusqu’en terminal. Pourtant c’est très important et ça sert dans énormément d’exercices.
Donc je répète, tous les points de coordonnées x et y qui vérifient cette équation sont sur la droite. Et les points de coordonnées x et y qui ne vérifient pas l’équation ne sont pas sur la droite.

Alors, pour être un petit peu plus précis, ce qu’il faut savoir, c’est qu’un point, qu’on peut noter M qui est de coordonnées (xm;ym), il appartient à ta droite (on imagine que cette droite on la nomme delta) si et seulement si, donc en fait c’est équivalent au fait que ym=mxm+p.
Si jamais dans un exercice tu as un point dont tu connais les deux coordonnées, donc son x et son y, son abscisse et son ordonnée, et que ces deux coordonnées vérifient l’équation de la droite, c’est-à-dire que l’y du point est égal à m fois son x plus p, alors, le point est sur la droite. Donc il appartient à la droite. Ce qui peut vraiment te servir dans un exercice.
Si jamais, il n’y a pas d’égalité entre ces deux choses-là : ym est différent de mxm+p, et bien ton point il existe quand même, il est dans le plan mais il n’est pas sur ta droite. Tout simplement.
Si tu comprends ça, tu as tout compris sur ce que ça veut dire une équation de droite.

Donc là, revenons à notre exemple, y=2x-1. Je vais mettre que c’est un exemple d’ailleurs. Et nous avons notre point A (2;3). Est-ce que ce point A appartient à la droite?
Et bien tu te poses la question… Donc son x c’est 2 et son y c’est 3. Tu te poses la question, est-ce que son y est égal à 2 fois son x moins 1. C’est ça qu’il faut vérifier. S’il y a une égalité, alors, ton point A est sur cette droite-là, sur la droite, on va dire verte.
Et s’il n’y a pas d’égalité, entre son y et m fois son x plus p, et bien le point n’est pas sur la droite.
Donc si tu comprends ça, tu as vraiment tout compris sur les équations de droites. C’est vraiment ça que ça représente en fait une droite, c’est que le x et le y, ces deux nombres, représentent un point. Et en fait tous les x et les y qui vérifient cette équation te donnent tous les points de la droite. Voilà.
Donc là on va vérifier que A appartient à la droite. C’est assez simple ici puisque son y, tu le notes d’un côté, c’est 3. Et 2xa-1 ça vaut :
« Calcul mathématique »
Donc c’est bel et bien égal à ya puisque ya vaut 3. Donc là, à partir de cette égalité ici, tu as le fait que ton point A appartient à la droite verte. La droite verte qu’on va tracer dans un instant. Mais c’est ça que je voulais que tu comprennes, c’est que les x et y qui vérifient cette équation, ça correspond à tous les points de la droite.
Et quand il n’y a pas de satisfaction de l’égalité… Donc quand on dit « vérifient l’égalité » ou « vérifient l’équation » on peut dire aussi comme ça, « x et y satisfont l’équation », tu trouveras parfois cette formulation. Donc quand on dit ne pas satisfaire ou ne pas vérifier une égalité, ça veut dire que le y est différent du mx+p.

Donc maintenant que nous venons de donner des explications sur ce sujet, et bien nous allons tracer notre droite verte : y=2x-1. Nous savons que son coefficient directeur c’est 2 et son ordonnée à l’origine c’est -1.
Donc dès que tu connais l’ordonnée à l’origine de ta droite, -1, et bien tu peux placer un point de ta droite, c’est le suivant : l’ordonnée à l’origine ça va être un y et à l’origine ça veut dire « quand x vaut 0 ». Donc quand x vaut 0 on se place là, et le y vaut 0 donc en fait, tu vas te mettre ici. Et ce point vert, c’est un point de la droite.
A partir de ce moment là, une fois que tu as un point de la droite, il s’agit d’en avoir un deuxième, pour dessiner notre droite. Là on sait que le point A, on vient de le démontrer, appartient à notre droite. Donc ce que tu peux faire, c’est tout simplement relier ces deux points pour avoir ta droite.
Je vais essayer de le faire sans que ce soit trop moche. Ça va. Ce n’est pas mal, ma droite est assez rectiligne. Donc voilà, c’est une façon de tracer une droite, tout simplement obtenir deux points de cette droite.
Pour obtenir 2 points, et bien tu choisis 2 x, tu choisis un premier x, par exemple x=0, c’est ce qu’on a fait ici. Quand x vaut 0, ça fait 2*0-1=-1 donc y vaut -1 quand x vaut 0. Ça correspond à ce point vert là.
Après on choisit un deuxième x, là on l’avait directement, quand x vaut 2, le y vaut 3 et ça correspond au point A.

Voilà comment tu peux dessiner une droite. Tu peux aussi t’aider du coefficient directeur parfois. Le coefficient directeur ici, il valait 2. Pour représenter graphiquement le coefficient directeur…
C’est assez important, ça sert aussi dans les autres matières, notamment en physique et aussi en chimie pour avoir le coefficient directeur d’une droite. Ça peut servir pour la tracer mais ça peut aussi servir quand tu as déjà une équation de droite, pour trouver son coefficient directeur.
Et bien, il s’agit tout simplement de regarder : tu te places à un point de coordonnées entières sur la droite. Ce n’est pas toujours évident, il n’y en pas toujours forcément, mais tu essaies d’en trouver 1. Le point A, ça marche. Sinon il y en aurait un autre, peut-être ici, ce point-là. Et en fait, tu avances de 1 en x. On va choisir ce point là. Et ensuite, tu te demandes de combien il faut monter ou descendre pour retomber sur ta droite.
Et bien là, il faut juste monter de 2. Donc là, on est montés de 2. Et ce 2, c’est le coefficient directeur.
Donc ça, c’est une façon, soit de dessiner la droite quand tu as le coefficient directeur, soit de trouver le coefficient directeur quand tu as la droite. C’est-à-dire le problème inverse.
Voilà, donc là je suis allé assez rapidement pour te montrer ce que c’était le coefficient directeur. Donc il suffit d’avancer de 1 en x et de monter ou descendre, ça dépend si la droite est croissante ou décroissante. Ici elle est croissante. Quand tu descends, et bien le coefficient directeur sera négatif, ta droite est décroissante. Et puis voilà, comment repérer graphiquement ton coefficient directeur sur ton repère orthonormé.

Donc terminons cette vidéo en insistant sur cette information ici présente. Imaginons le point de coordonnées (5;5) : 5 en x et 5 en y. On va le noter B ce point. Est-ce que ce point B est sur la droite ?
Apparemment il n’a pas l’air d’être sur la droite, d’après ce que nous voyons sur notre repère orthonormé mais ce n’est pas une démonstration. Tu sais bien qu’en mathématiques, quand tu vois quelque chose sur une figure, ce n’est pas du tout une démonstration. Peut-être que ça te parait vrai, mais ce n’est pas justifié, ce n’est pas forcément vrai. Des fois on croit voir des choses et elles sont fausses. Il faut absolument démontrer les choses, je pense que tu es d’accord.
Pour démontrer que B n’est pas sur la droite, ce qu’il faut faire, c’est que tu prends yb, il vaut tout simplement 5. Et ensuite, tu calcules 2*xb-1. Tu vois, tu reprends le membre de droite de ton équation. ET ça vaut :
« Calcul mathématique »
Donc ça vaut 9. Et là, tu vois bien que c’est différent d’yb. Donc yb est différent de 2xb-1. Donc ça veut dire que le point B n’appartient pas à la droite verte.
C’est vraiment très important. Je voulais insister sur ce point-là.

Donc le principe d’appartenance ou non à une courbe, est valable également pour n’importe quelle fonction. Quand tu as y=f(x), f(x) ça peut être n’importe quel type de fonction. Si tu prends un point de ton repère orthonormé.
Si ses coordonnées ne vérifient pas y=f(x), alors il n’est pas sur la courbe. Si, à l’inverse, tu as y=f(x), alors le point est sur la courbe de f.
Si tu comprends ce principe, et bien tu as compris une grande notion, qu’on utilise énormément, dans beaucoup d’exercices. Donc j’ai vraiment voulu t’en parler, à partir des équations de droites, donc finalement c’est juste une bonne compréhension de ce qu’est l’équation d’une droite, et l’équation d’une courbe en général : c’est y=f(x)
Donc là, on va un petit peu plus loin, mais c’était juste pour terminer cette vidéo. Donc y=f(x) et bien sûr quand ta fonction est affine ou linéaire, c’est y=mx+p, tout simplement.

Donc j’espère que tu as bien compris ce qu’on a dit sur les équations de droite, donc y=mx+p, ce que c’est que le m, ce que c’est que le p, comment bien les reconnaitre sur ta figure, dans le repère orthonormé.
Et j’espère aussi que tu auras bien compris ce que représente une équation de droite et plus précisément ce que représentent ton x et ton y dans cette équation.
Donc voilà ce qui conclut cette vidéo. Il y a encore plein de choses à dire sur les équations de droite, c’était vraiment une introduction sur cette notion qui est utilisée partout dans les exercices et je pense que si tu as bien compris ça, ça pourra te faire gagner beaucoup de points.
Donc tu peux t’entrainer aussi sur le sujet grâce à plein de vidéos que tu peux trouver sur Star en maths TV. Il suffit d’aller sur mon blog, star-en-maths.tv, et dans le champ de recherche en haut à droite, tu tapes équation de droite, ou tu vas dans le menu des chapitres et tu te rends au bon chapitre pour trouver des vidéos d’exercices sur le sujet.
Je pense que tu pourras t’entrainer et en savoir plus et essayer de bien comprendre, de bien assimiler cette notion.
Voilà, je te dis à la prochaine dans une autre vidéo.