Équation d’une sphère tangente à un plan d’équation connue
Comment déterminer l’équation d’une sphère de centre O sachant qu’on connaît l’équation d’un plan tangent à cette sphère ?
Bonjour et bienvenue sur Starenmathstv. Aujourd’hui dans l’exercice de géométrie dans l’espace nous avons un plan d’équation z=3 qui est noté P et nous devons déterminer une équation de la sphère S de centre O telle qu’elle soit tangente au plan.
Alors je vais d’abord te montrer en 2 dimensions ce que donne la tangence non pas d’un plan sur une sphère mais d’une droite sur un cercle.
Alors je vais te faire un schéma.
Donc voici le schéma rapporté en 2 dimensions. Donc au lieu de la sphère j’ai considéré un cercle noté C de centre O et au lieu du plan P j’ai considéré une droite notée Delta ici en rouge. Et qu’est ce que c’est que la droite Delta tangente à ce cercle et bien c’est la droite qui effleure notre cercle en un seul point et ce point est celui ci. On peut le noter par exemple H et de telle sorte que le rayon ici au H qui est bien un rayon de notre cercle C. Et bien ce rayon il est perpendiculaire à la droite rouge.
Donc en 2 dimensions, la droite ici en rouge est tangente au cercle de telle façon à ce qu’elle touche le cercle en un seul point qui est H et le rayon au H, donc la droite au H aussi est perpendiculaire à notre droite Delta. Alors qu’est ce que ça donne en 3D.Voyons ça tout de suite. Je vais donc faire une figure en 3D représentant notre sphère S et notre plan d’équation z=3 et je vais mettre tout ça dans un repère orthonormé OIJK, I l’axe des abscisses, J étant l’unité de l’axe des ordonnées, et K le vecteur unitaire de l’axe z.
Quand je dessine une figure en 3D donc une figure en géométrie dans l’espace j’utilise toujours pour le repère orthonormé ce qu’on appelle le trièdre direct sachant que le pouce représentera l’axe x, l’index représentera l’axe y et ton majeur représentera l’axe z. Il faut toujours utiliser ta main droite et donc tu obtiens en mettant tes doigts comme ceci, un trièdre direct et c’est une façon de représenter toujours le même repère orthonormal.
Donc voici la figure ! Nous avons notre repère orthonormé xyz donc autrement dit oijk sachant que OJK sont des vecteurs unitaires suivant les 3 directions et j’ai tracé dans un premier temps le plan P qui est d’équation z=3.
Donc z=3 qu’est ce que c’est ? ça correspond ici suivant l’axe z à donc z=3
<Schéma mathématique>
Donc on arrive à un point qui est de coordonnée 0 suivant l’axe x, 0 suivant l’axe y et 3 suivant l’axe z. Donc voici les coordonnées de ce point là. Et ce point là correspond en fait à notre point H de tout à l’heure en 2D donc je vais le noter aussi H. pourquoi ? parce que en fait c’est le point de tangence entre notre point P que j’ai représenté ici avec les droites rouges pour que tu le visualises bien et notre sphère S qui est comme on l’a dit de centre O et qui doit être tangente à ce plan rouge P ici. Donc elle est tangente à ce point rouge « en le point H » et de telle sorte à ce que comme tout à l’heure en 2 dimensions le rayon de cette sphère OH ici et bien il est perpendiculaire à notre plan P.
Donc finalement nous on doit donner une équation de la sphère S ici et tu sais qu’une équation de sphère S en 3D (puisque c’est une sphère) et quand elle est centrée cette sphère et bien l’équation cartésienne de cette sphère est du type :
<calcul mathématique>
Donc quand tu connais cette forme générale d’équation cartésienne de sphère centrée en O donc l’origine du repère orthonormal considéré alors ici tu peux trouver complétement son équation donc en fait il suffit de déterminer l’inconnue restante à savoir R en sachant que R c’est OH.
<calcul mathématique>
Et quand tu as fait la figure en 3D du le vois tout de suite et c’est pour ça que je te recommande le plus souvent de faire une figure. Donc ici vu que R=OH et que tu connais OH. D’ailleurs ici je me suis trompée, OH il n’a pas pour coordonnée (0 ; 3 ; 3) mais il a pour coordonnée 0 suivant l’axe x, 0 suivant l’axe des ordonnées et 3 suivant l’axe des z. donc c’est très facile de connaître la distance entre 0 et H à savoir cette longueur OH.
O il a bien sûr pour coordonnée (0 ; 0 ; 0) puisque c’est l’origine de notre repère orthonormé. Et donc la distance entre ces 2 points c’est tout simplement la distance suivant l’axe z donc pas besoin d’appliquer la formule pour calculer la distance entre 2 points dans l’espace il suffit de voir que cette distance c’est juste ZH-ZO et ZH c’est 3 et ZO c’est 0 donc 3 donc le rayon ici R qui est égal à OH il vaut donc 3.
Et donc quand tu as fait une figure, quand tu as vu que H était le point de tangence et que OH correspondait au rayon de notre sphère et bien tu peux déterminer facilement l’équation de notre sphère en disant qu’elle est :
<calcul mathématique>
Donc ça veut dire que si tu as xyz étant les coordonnées d’un point M dans l’espace, n’ importe où dans ton espace mais que tu as ces coordonnées qui vérifient cette équation et bien ça veut dire que ton point M est sur ta sphère.
<Schéma mathématique>
La conclusion de cet exercice qui n’est pas vraiment un exercice compliqué c’est qu’il faut vraiment le plus souvent possible en géométrie dans l’espace faire une figure pour bien te représenter les choses, pour bien voir comment elles fonctionnent, pour bien voir ici comment les formes étaient agencées, c’est à dire comment la sphère était par rapport à notre plan P que l’on connaissait puisque l’on connaissait son équation.
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