Etude d’une suite numérique avec un « sigma »

Donc dans un premier temps on va essayer de comprendre ce que c’est ce symbole sigma.

Puis on allons expliquer comment calculer un terme particulier d’une telle suite. Tu te souviens qu’un terme c’est un terme particulier comme u3. u3 c’est un terme d’une suite un, u4 aussi serait un autre terme…
Donc dans un premier temps on va calculer un de ces termes là pour voir comment ça marche puis dans un troisième temps on va étudier le sens de variation d’une telle suite.

Donc dans certaines exercices avec des suites il arrive parfois qu’une suite soit définie avec un tel signe sigma. Il ne faut faut être effrayé de ce signe que veut juste dire « somme », « somme de quelque chose »..;Je vais l’expliquer dans cette vidéo et ce n’est pas très compliqué à comprendre.

Voilà une suite un peu particulière, c’est à dire , qu’un fait, c’est un somme de termes.
Je te rappelle que sigma ça se dit aussi en français « somme » et je t’encourage à le dire comme ça en français ‘somme de… »…La somme de 1 sur K, on va dire. C’est une somme ordonné…Pour l’écrire, tu commences toujours par le bas….Le premier terme est 1 sur n….et le dernier est 1 sur 2n

Elève: en fait c’était déjà écrit sur ma feuille

Romain: oui, mais la suite, c’est juste la façon concise d’écrire tout le développement. Tu changes le K par n, puis N+1….jusque 2n. et avant 2n il y a 2n-1.

Elève: c’est pour quoi le 2n en haut?

C’est juste pour dire qu’on s’arrête à 2n…Il faut bien qu’on s’arrête quelque part. C’est tout ce que ça veut dire ce notation. Tout le retrouves aussi dans la statistique et dans d’autre suites.

Elève: par exemple si l’on doit calculer …..X5

Romain: Tout simplement dans l’expression de Xn tu remplaces n par 5. Il faut faire les choses tranquillement. Alors, quand K est égal à n on a quoi?

Elève: 5

Romain: exact…et en haut…au lieu de 2n?

Elève: 10?

Romain: exacte… alors on a …1 sur 5 + 1 sur 6….jusque 1 sur 10

Tu comprends un peu le truc?
Voilà..c’est des notations avec des trois petits points. Je sais que dès qu’il y a trois petits points ça vous gêne un peu…c’est ne pas si dur que ça, c’est juste comme une suite des choses, des termes, et chaque terme suit cette expression. L’expression avance à partir de n et jusque 2n. Je pense que c’est assez logique comme notation et c’est pour ça que c’est adopté.

Elève: Par exemple et si on nous demande d’étudier la variation d’une suite? Est-ce que tu reprendrais la même technique d’e calculer Xn+1 moins Xn.

Romain: Tout à fait. En fait pour connaître le sens de variation d’une suite on calcule le signe de la différence Xn+1 moins Xn. Déjà tout calcule ça et après tu te demandes le signe. Si le signe est positif est que la suite est croissante et si c’est négatif et qu’elle est décroissante.

Donc déjà, c’est quoi Xn+1, c’est ça qu’il faut que tu arrives à exprimer.
Il n’y a qu’une chose à faire: utiliser la définition et remplacer n par n+1
Donc, je t’écoute la série va commencer de

k= n+1
Et en haut ..je técoute…
Elève: en haut ça va être….2 facteur de n + 1

Romain: voilà, on écrit directement, K ira jusque 2n+2 et va commencer à..

Elève: 2n

Romain: non, tu remplaces n par N+1 donc, n+1 tout simplement. C’est comme une fonction, au lieu de remplacer l’x on remplace le n

On va déjà exprimer 1 sur k puis – xn…On répète.. K dès n jusque 2n. Moi je n’écris à nouveau K en haut, on sais que c’est k. Et voilà, une fois ceci exprimé, pour avancer qu’est-ce que tu ferais?

Ca serait pas mal d’exprimer ces choses là de façon simple, avec trois petits points…non?
Elève: moi j’essaierai d’exprimer la première expression comme la somme que l’on a début…

Romain: comment ça?

Elève: alors, le premier terme c’est sûr que ne sera pas 1/n mais 1 sur N +1…

Romain: Voilà; c’est ça! On va le noter

1 sur n+1 plus 1 sur n + 2 …on pourrait noter le troisième terme…je t’encourage à noter toujours le premier terme, le deuxième et surtout l’avant dernier et le dernier. C’est quoi l’avant dernier ici?

Le dernier c’est 1 sur 2n plus 2 alors l’avant dernier est 1 sur 2n +1…Ca c’est ta somme, tout ça. Et Et ensuite on met un moins et on ajoute l’expression et tu vas voir qu’il y a des choses qui se simplifient.
Donc on met 1 sur n, deuxième terme 1 sur N+1, même le troisième 1 sur n plus 2 et là on mets trois petits points…On passe à l’avant dernier qui va être 1 sur 2n- 1 plus le dernier – je passe en dessous car je n’ai plus de place, 1 sur 2n)

Je t’encourage à développer directement sans la parenthèse et on l’enlève et on mets des moins partout.

Elève: il y a certaines choses qui vont rester

Romain: voilà, il y a des choses qui vont partir. Tu regardes 1 sur n +1…tu l’as là et puis là en moins. Donc ils s’en vont…ensuite.1 sur N+2…aussi avec 1/2N et 1 sur 2n-1…tu vois ils doivent e^tre avant le 1/2N+1….donc on peut barrer des choses qu’on n’a pas notées.

Alors, c’est qui nous reste?

Elève: -1 sur n?

Oui, mais pas seulement, aussi 1 sur 2N+1 plus 1 sur 2n+2 – 1 sur n car on a traité tout le reste et ils n’ont pas été annulés..Donc ces deux restent plus – 1 sur n.
Alors, pour étudier le signe de ceci, comment va faire?

Elève: on peut mettre tout ça avec le même dénominateur

Romain: ça peut paraître un peu fastidieux mais
ça devrait le faire quand même. Déjà les deux premières choses…Comment faire? Quel dénominateur?

Alors la première tout la multiplie par 2n+2 et la deuxième par 2n+1

Tu mets tout ça sur le même dénominateur (2n+2) (2n+1) – 1/N

Ensuite

En haut 1 (2n+2) (2n+1) et en bas N fois (2n+2) (2n+1)

Tu auras déjà compris que le dénominateur est positif.

N’oublions pas multiplier la première fraction par n en haut et en bas

Ensuite il faut qu’on développé les calculs, on va essayer de ne pas se tromper

On passe là,
4n plus 3 dans la parenthèse rouge…si tu multiplies par n donne quoi?

Elève: 4n2 + 3 n

Voilà, alors en haut on a 4n carré + 3n ….. Ensuite faut développer ce numérateur là

Attention, c’est moins, 4n2 plus 4n plus 2n plus 2

Tu as toujours le même « démo »

On s’en fiche car c’est positif et pour savoir le signe c’est que je veux savoir c’est le signe du numérateur/…

Alors, on développe et on a
4n2 + 3n – 4n2 – 6n – 2…

Qu’est ci que se passe?

Les 4n2 s’en vont et on a:

– 3n – 2

Et c’est quel signe -3n- 2 si n est positif?

Elève= négatif

Romain: voilà, c’est négatif. -3 un truc négatif est négatif et si on enlève 2 c’est négatif.

Et la suite est donc décroissante

Tu as vu? Tu avais le bon principe.
Dès que vous avez le sens de variation d’une suite, vous prenez Xn et enlevez Xn-1. Vous calculez cette différence-là Le but est d’avoir le signe de cette chose-là.
Si le signe est négatif la suite est décroissante, si c’est positif elle est croissante.
Et parfois ça peut changer de signe, et dans ce cas là la suite n’est ni croissante ni décroissante, ça existe aussi, c’est comme pour les fonctions.