Etudier l’intersection entre une courbe de fonction et la droite d’équation y = x

Voilà, donc comme je te suggérais à l’instant, ce qu’on va faire, c’est qu’on va maintenant étudier l’intersection.

Si on te demande ça par exemple dans ton exercice.

Voilà, tu as cette fonction, on te demande, étudier l’intersection de Cf, c’est-à-dire la courbe de la fonction f, avec disons, la droite d’équation y=x. Comment tu fais ?

J’égalise f(x) et la droite y=x en fait.

Et bien c’est tout à fait ça. C’est tout à fait ça qu’on fait quand on veut étudier l’intersection des courbes des deux fonctions.

En fait, on prend l’image de x pour la première fonction, c’est-à-dire le f(x) et on l’égalise avec l’image de x de l’autre fonction et ici c’est une fonction assez simple, c’est une fonction affine qui est représentée par une droite et qui est y=x. Donc, ici on égalise avec x. Tout à fait.

Une fois que tu as compris ça en fait, après le reste n’est que du calcul. Donc, c’est parti si tu veux. Moi je suis ton crayon, tu me dis ce qu’on écrit. Est-ce qu’on écrit un signe équivalent ?

Oui.

D’accord, je vais l’écrire. Donc, signe équivalent, ensuite…

Donc <Calcul mathématique>. On le met au même dénominateur donc haut et bas, le x par x/x.

Alors, on met au même dénominateur, et tu m’as dit, qu’est-ce que je fais ?

Haut et bas par x divisé par x.

Donc là, je fais x²/x ici ?

Oui.

Alors, est-ce que tu n’aurais pas une façon un peu plus rapide, plutôt que de mettre au même dénominateur? C’est vrai que c’est une bonne idée. Qu’est-ce qui t’embête en fait ici à gauche ? Voilà c’est le dénominateur, comment l’enlever très rapidement dans cette équation ?

On passe le x de l’autre côté.

Voilà, et qu’est-ce que ça veut dire, on passe le x de l’autre côté ? Qu’est-ce que ça veut dire mathématiquement parlant ?

Soustraire x des deux côtés ?

Non. On ne va pas soustraire, on va plutôt que soustraire, si tu avais un +x, oui, mais là tu as un divisé par x.

Ah ok.

Donc, on va faire quoi ? Ce n’est pas soustraire par x, mais diviser par x. Pardon, multiplier par x. Tu vois ?

Si je multiplie par x, tout ceci, voilà à gauche, et aussi par x ici, et bien je ne change pas mon équation, j’ai toujours un égal, tu es d’accord ? Parce que j’ai le droit, j’ai tout à fait le droit de multiplier les deux membres de mon équation, donc ici, tout ça et à droite tout ça, par le même nombre, ici mon nombre en vert, c’est-à-dire x. ça ne change pas mon équation. Et l’avantage de faire ça, et bien c’est que ça me permet justement de supprimer le dénominateur ici, tu vois ? Ça se simplifie si tu veux. Avec le x que j’ai noté ici. Tu es d’accord ?

Et donc quand on dit « je passe le x de l’autre côté », ça veut dire quoi en maths ? Et bien ici en l’occurrence, ça veut dire qu’on multiplie à gauche et à droite par x parce qu’effectivement, là –x il est passé de l’autre côté, mais c’est parce que j’ai multiplié à gauche et à droite par x.

Tu comprends ?

Oui.

Voilà. L’autre type d’opération, imaginons. Si tu as A-x = 5 ; comment je passe le x de l’autre côté, qu’est-ce que ça veut dire dans ce cas-là cette chose en rouge ?

Ajouter x des deux côtés.

Voilà. Ici j’ajoute x à gauche et j’ajoute x à droite. Donc, à gauche qu’est-ce qui se passe ? Ça c’est une opération toute bête qu’on rencontre constamment en mathématiques. Donc ici, -x il s’en va. Et je l’ai effectivement passé de l’autre côté parce qu’il n’y a plus que là. Voilà. Comme ça, c’était juste un petit rappel.

Donc tu vois, là on n’a pas eu besoin de faire la grosse opération, la mise sur le même dénominateur. D’accord ?

Oui.

Ensuite, je t’écoute.

Donc, <Calcul mathématique>. Le tout égal zéro, et c’est plus souvent commode d’avoir une équation, quelque chose égal à zéro. C’est souvent plus facile à résoudre. Donc ici, comment on va faire ? Ensuite ? <Calcul mathématique>. Voilà.

J’aurais factorisé mais je ne vois pas de racines évidentes.

Effectivement. En tout cas, peut-être qu’on ne va pas pouvoir finir cet exercice, parce que là, c’est vrai que, sur ma calculatrice en fait il y a effectivement une solution, tu vois, mais bon, là, en première de toute façon, dans un problème ou dans un exercice, on vous aiderait. C’est-à-dire qu’on te donnerait par exemple une racine, pas forcément évidente d’ailleurs, mais une racine que tu pourrais utiliser et avec laquelle tu pourrais factoriser ton polynôme comme on a fait tout à l’heure.

Donc comment tu résoudrais ce type d’équation ?

J’aurais factorisé.

Voilà. Donc c’est ça la méthode. Donc on factorise notre polynôme qui est ici à gauche, et ensuite, comment on fait ? C’est-à-dire que j’aurais obtenu, je ne sais pas moi, facteur 1 de x « fois » facteur 2 de x, le tout égal à zéro.

C’est ou celui-là, ou celui-là égal zéro. C’est une équation du second degré et on sait résoudre.

Tout à fait, et la première te livrerait une équation du second degré certainement, parce que c’est x moins ta racine. Donc c’est la racine forcément.

Ce genre de chose, c’est vraiment une règle de collège, pour les personnes qui ont oublié, quand un produit de facteur est nul, c’est équivalent à dire que l’un au moins des facteurs est nul.

Ça veut dire qu’ici, soit F1(x)=0, donc ici c’est un peu abstrait parce que F2(x) on ne sait pas ce que c’est, mais ça c’est la méthode générale, ou F2(x) =0, le deuxième facteur égal zéro. Voilà.

Donc ça, c’est la méthode qu’on utiliserait pour résoudre ce genre d’équation. Donc là, on ne peut pas aller plus loin effectivement, j’ai été un peu ambitieux, parce qu’on n’a pas trouvé de racines évidentes à ce polynôme. On ne peut pas le factoriser facilement.