Etudier la position relative entre deux courbes de fonctions

Etudier la position relative entre deux courbes de fonctions
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Comment étudier la position relative de deux courbes de fonctions ?
Bonjour à toi et bienvenu dans ce cours star en math, ici Romain j’espère que tu vas bien.
Alors dans l’exercice d’aujourd’hui nous allons étudier la position relative des courbes de deux fonctions.
Les deux fonctions suivantes sur R+ : première fonction qui à x associe x donc f(x)=x, plus simplement dit. Et la deuxième fonction : g(x)=racine carrée de x, bref la fonction racine carrée.
Dans cette première vidéo nous allons rappeler ce que signifie la position relative de deux courbes de fonctions et nous allons rappeler aussi comment étudier cette position relative.
Et dans une deuxième vidéo nous appliquerons tout ceci pour nos fonctions ici présentes.

Alors dans cette première vidéo on va rappeler déjà ce que ça veut dire la position relative de deux courbes.
On parle toujours de position relative pour plusieurs courbes. Pas pour une seule courbe, ça ne veut rien dire.
En fait position relative ça veut dire tout simplement qu’on cherche à savoir quelle est la courbe qui est au dessus de l’autre et sur quel intervalle de x ça se passe.

Par exemple, je prends un exemple tout simple. Imagine que je dessine une courbe, comme ceci. Et on va dire une deuxième courbe, comme cela.
Et bien regarde, là je vais dessiner un axe des y. Bon je viens vraiment d’inventer ces courbes. Et un axe des x. Imaginons que tu aies l’origine ici.
Alors quand tu cherches à étudier la position relative, c’est vraiment des mots clés, on peut les rencontrer en seconde, ça peut arriver, et tu verras ça dans les études de fonctions en 1ère S et aussi en terminale S.
Donc là, la courbe bleue est au-dessous de la courbe rouge sur cet intervalle-là. Parce que là tu as un point d’intersection.
Et sur cet intervalle ici, la courbe bleue est au-dessus de la rouge. Donc là il faut préciser le x, je vais l’inventer, disons que c’est 2.
Donc tu pourrais dire sur [0;2], la courbe de f est au dessus de la courbe de g.
Et sur l’intervalle [2;15], c’est l’inverse, la courbe de f est en dessous, on dit parfois au dessous, de la courbe de g.
Je pense que tu comprends ce que ça veut dire. Il s’agit juste de savoir quelle courbe est au-dessus de l’autre et sur quel intervalle de x.

Alors généralement, on n’étudie pas la position relative de deux fonctions graphiquement, parce que dans les exercices ou les problèmes, tu n’as pas directement les courbes des fonctions qui te sont données telles quelles.
Donc en fait, pour étudier la position relative, on le fait par le calcul et on utilise les expressions de nos fonctions.
Par exemple dans cet exercice c’est x et racine de x.

Donc en fait ce qu’on fait c’est qu’on calcule la différence de f(x) et de g(x). Donc on étudie f(x)-g(x) et plus précisément on étudie le signe de cette différence.
Alors pourquoi on fait ça ? À quoi ça sert ? Quel est le lien avec les positions relatives ? Pourquoi ça nous dirait que f(x) est au-dessus ou au-dessous de g(x) ?
En fait, c’est très simple, je vais te le montrer graphiquement, on va reprendre notre dessin ici et imagine, on prend un x.
On prend un x, je vais le faire en bleu clair, par exemple là, je place un x. Et maintenant, ou est le f(x) sur ton graphique ?
Je te rappelle que f(x) c’est l’image de x par f, c’est un nombre et sur le graphique il suffit juste de monter sur la courbe de f, la courbe bleue et tu mets un point et ensuite tu reportes ça sur l’axe des y.
Et on va arriver là à peu près. Donc là on a f(x). C’est un nombre positif puisqu’il est au dessus de 0.
Et ensuite, où est-ce qu’il est le g(x) ? Et bien tu fais pareil, tu montes mais maintenant sur la courbe rouge, et c’est pareil tu reportes ça horizontalement sur l’axe des y. On arrive là. Et là, tu as le g(x).

Et maintenant qu’est-ce que c’est que f(x)-g(x) ? Regarde f(x), je pense que tu seras d’accord avec moi, c’est un nombre qui est plus petit que g(x), puisque g(x) est au-dessus sur l’axe des y.
Sur un axe les nombres sont rangés dans l’ordre croissant donc là, le g(x) est plus grand que f(x).
Ça veut dire que f(x)-g(x) est tout simplement plus petit que 0. Je te rappelle que la différence entre deux nombres, sachant que le premier est plus petit que le deuxième, ça te donne un nombre négatif.
Si je prends par exemple 2-4 ça fait -2. Ou si je prends 3-5, 3 est plus petit 5 donc 3-5 ça fait -2, tu vois c’est négatif.
Et donc ça veut dire qu’au moment où cette expression f(x)-g(x) sera négative, ça voudra dire que la courbe de f sera en dessous de la courbe de g. Tu vois c’est bien ce qui se passe pour le x ici présent parce que la courbe bleue, pour ce x là, est bien en-dessous de la courbe rouge.
Et si par exemple tu te places pour un x qui est là, et bien ce sera l’inverse puisque le f(x) il sera au dessus du g(x) donc f(x)-g(x) te donnera un nombre positif. Ce sera + comme signe.

Donc là, c’est pour ça qu’on étudie le signe de cette différence.
Donc je répète bien, pour étudier la position relative de deux courbes de fonctions, c’est très simple : tu prends la première fonction, tu fais moins la deuxième et tu étudies le signe de cette expression, sachant que cette expression est souvent à transformer pour pouvoir en étudier le signe plus facilement.
Donc il faut essayer de factoriser ou faire des choses pour avoir le signe.
Donc à la fin tu dresses un tableau de signe et dès que tu as le tableau de signe, et bien sur les intervalles de x pour lesquels f(x)-g(x) est positif, ça voudra dire que la courbe de f est au-dessus de celle de g.
Donc là, je reprends notre petit dessin, l’intervalle pour lequel f(x)-g(x) sera positif, ce sera tout simplement [0;2], tu vois, la courbe de f(x), la courbe bleue au-dessus de celle de g.
Et f(x)-g(x) sera négatif sur [2;15]. Et on comprend que ce sera positif sur l’intervalle d’après, de 15 à… je n’ai pas continué les fonctions, mais peut-être de 15 jusqu’à plus l’infini.

Donc voilà le principe. Tu étudies le signe de ça et c’est ce que nous allons faire dans la deuxième vidéo sur nos 2 fonctions :
Donc f(x)=x qu’on appelle aussi la fonction identité, et la fonction racine carrée, la fonction g ici.

Etudier la position relative entre deux courbes de fonctions
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Dans la vidéo précédente, je t’ai expliqué comment, de façon théorique, on étudiait la position relative de deux courbes de fonctions.
Donc là, nous allons appliquer ce que je t’ai rappelé dans la vidéo précédente ici.
Donc si tu ne sais pas, si tu ne connais pas le principe pour étudier la position relative de deux fonctions ou plus, je t’encourage à aller voir la vidéo précédente.

Donc là on va directement appliquer ce que je t’ai rappelé, c’est-à-dire qu’on va étudier le signe de la différence f(x)-g(x).
Sachant que tu pourrais très bien étudier aussi le signe de la différence de l’opposé, de g(x)-f(x).
Peu importe en fait mais à la fin il faudra bien interpréter le résultat, c’est-à-dire que si tu commences par g, donc g(x)-f(x) et bien si c’est positif, ça voudra dire que la courbe de g est au-dessus de la courbe de f.
Et si g(x)-f(x) est négatif, et bien c’est l’inverse, la courbe de f est au-dessus de celle de g.
Et là, si on étudie cette différence, et c’est ce qu’on va faire, et bien si c’est positif, la courbe de f sera au-dessus de celle de g.
Et si c’est négatif, la courbe de f sera au-dessous de celle de g.

Je voudrais juste rappeler une chose, je ne l’ai pas dit, quand on étudie la position relative de deux fonctions sur R+, et bien ça veut dire qu’on veut étudier la position relative sur tout cet intervalle R+, je te rappelle que c’est [0; + l’infini], et on ne s’intéresse pas à l’intervalle R-, c’est-à-dire [-l’infini; 0].
Et pour cause ! Je te rappelle que la fonction racine carrée n’est pas définie, c’est-à-dire n’existe pas pour x négatif.
Donc quand tu traces la courbe de la fonction racine carrée, elle n’existe que pour la partie de droite de ton repère orthonormé, c’est à dire pour les x positif.
C’est pour ça que j’ai précisé qu’on étudiait la position relative sur R+.
Par contre la fonction qui à x associe x existe sur R, c’est une fonction affine donc il n’y a pas de valeur interdite. Tu pourrais tracer sa courbe, ça donne une droite, sur R.
Mais ici on est obligé d’étudier sur R+ à cause de la fonction racine carrée.

Donc on étudie f(x)-g(x). Ce que tu fais c’est que tu écris f(x)-g(x) et tu calcules ça.
On va remplacer : f(x) c’est x et g(x) c’est racine carrée de x. Et là, on est un petit peu bloqué.
Qu’est-ce qu’on fait quand on est en face de ça et qu’on veut en connaitre le signe ?
Je te rappelle que c’est ça le but. Il ne faut jamais oublier le but de ce que tu es en train de faire comme calcul en maths. Il faut vraiment savoir ce que tu veux faire.

Donc là, c’est bien joli d’avoir fait ça, mais rappelons-nous qu’on veut le signe et pour connaitre le signe d’une différence, ce n’est pas évident.
On ne peut pas connaitre le signe d’une différence parce que là, imaginons que x c’est positif, racine de x c’est positif mais un nombre positif moins un nombre positif, on ne sait absolument pas ce que ça donne.
Je prends un exemple : 5-3, c’est 2 donc c’est positif. Mais si je prends 2 et 4, les deux nombres sont positifs mais 2-4 ça donne un nombre négatif, ça donne -2.
Donc tu vois, une différence de deux nombre positif, ça ne nous renseigne en rien sur le signe du résultat de la différence.

Donc là, ce qu’il faut faire c’est absolument transformer ceci.
Et là, ce n’est pas évident, il faut avoir une idée, il faut avoir l’idée de transformer ceci en multipliant haut et bas par ce qu’on appelle l’expression conjuguée.
On parle de l’expression conjuguée d’une expression quand il y a une racine carrée.
Par exemple, l’expression conjuguée de a+racine de b ça donnera a-racine de b.
Ça existe pour les expressions avec des racines carrées ou, si tu es en terminale, peut-être que tu as vu ça aussi dans les nombres complexes, ça ressemble mais ce n’est pas tout à fait pareil non plus.

Donc là, on va multiplier par x+racine de x. Et on est obligé de le faire en haut et en bas parce que sinon tu changes le nombre.
Tu ne peux pas multiplier comme ça par x + racine de x. il faut le faire en haut et en bas donc tu es obligé de tirer un trait de fraction pour le mettre en bas, ce fameux nombre rouge.
Si tu le fais comme ça, ça ne change pas le nombre bleu puisque tu le multiplies en haut et en bas par un même nombre donc il se simplifie si tu veux, tu peux les annuler.
Donc c’est vraiment pour te dire que ça ne change pas ce nombre de multiplier en haut et en bas par ce même nombre rouge.

Donc là, à quoi ça va nous servir de faire ça ?
Je te rappelle que c’est une petite technique qu’on rencontre très souvent en mathématiques pour transformer des expressions.
Pas très souvent mais assez souvent, notamment dans le calcul des limites, si tu es en Terminale S ou aussi, et bien ici tu vois, quand tu veux étudier le signe d’une expression avec une racine carrée.
Donc tu peux te souvenir de cette technique. C’est une technique assez particulière, qu’on ne rencontre pas très souvent, il faut bien le dire, mais ça peut arriver.

Donc là, tu vas voir à quoi ça sert.
En fait ça fait apparaitre l’identité remarquable : (a-b)(a+b).
Je te rappelle que ça, ça donne a carré – b carré.
Donc en fait ça donne des carrés et c’est ça qui va nous permettre de nous débarrasser des racines carrées en haut.
Et donc ça va donner :
« Calcul mathématique »

Bon et là tu vas me dire est-ce qu’on est bien avancé ?
Bon on a obtenu une fraction un petit peu plus compliquée que ce qu’on avait au début. Est-ce que ça va nous aider à avoir le signe ?
Et bien oui, il faut juste avancer un petit peu :
« Calcul mathématique »

Mais tu vas voir que le dénominateur, on ne va pas trop s’en soucier parce que quel est son signe ?
Je te rappelle qu’on étudie la position relative des courbes sur R+ donc ça veut dire que les x, comme je te le disais au début de cette vidéo, ils sont positifs.
Donc les x sont positifs et une racine carrée a toujours pour résultat un nombre positif.
Et un nombre positif plus un nombre positif, là on le sait, ça donne un nombre qui est positif.
Donc le dénominateur il sera toujours positif.

D’ailleurs je précise une petite chose ici, il ne faut pas qu’il soit égal à 0 le dénominateur parce que tu sais qu’on n’a pas le droit d’avoir « divisé par 0 ».
Donc il ne faut absolument pas qu’on ait x=0 parce que si x=0, c’est le seul cas pour lequel ça arrive, on obtient 0 plus racine de 0, donc 0 au dénominateur.
Donc il ne faut pas que x soit égal à 0. Donc en fait on étudie cette différence pour x strictement positif.
C’est un petit détail mais il faut quand même le préciser.

Donc là, ce qui va nous intéresser, ce qu’on va devoir étudier surtout, c’est le signe du numérateur.
Donc là, comment étudier le signe du numérateur ? C’est assez simple, il suffit de factoriser.
C’est beaucoup plus simple d’étudier le signe de quelque chose de factoriser, c’est-à-dire de quelque chose qui est sous la forme de produit de facteurs, que de quelque chose qui est une somme ou une différence.
Donc là on factorise le haut. Et c’est assez simple de factoriser le haut parce qu’il y a un terme commun qui est le x. Donc on factorise par x au numérateur.
Ça va nous donner :
« Calcul mathématique »

Donc si tu n’es pas à l’aise avec la factorisation, il faut que tu ailles voir d’autres vidéos que j’ai faites sur le sujet.
J’ai fait pas mal de vidéos qui expliquent la base de la factorisation parce que c’est vraiment une opération importante en maths.
Donc là je suis allé un petit peu vite : on a factorisé par x.
Et si tu n’es pas sur de ta factorisation, tu peux toujours redévelopper pour voir si tu retombes sur ce qu’on a.
Tu vois ça fait :
« Calcul mathématique »

Donc voilà, là ce qu’on fait c’est un tableau de signes, on va aller assez vite pour ce tableau de signes parce que je suppose que tu sais faire le tableau de signes d’une expression comme celle-ci.
Donc là, c’est parti, on met la ligne des x : je te rappelle que c’est de 0 à plus l’infini.
Donc ensuite on met le x, le premier facteur du numérateur. On met le x-1, le deuxième facteur.
Et on ne va pas mettre le dessous parce que ce serait que +, on avait dit que c’est toujours positif le dénominateur.
Je peux le répéter, tout ça c’est positif. Donc ça ne sert à rien de le mettre dans le tableau de signes parce que c’est une information qui est inutile.
C’est toujours du même signe : +. Donc ça ne changera pas le signe du numérateur. Bref ce que je veux te dire c’est que f(x)-g(x) est du signe du numérateur.
Si tu n’es pas sûr tu peux le mettre. Tu peux mettre la ligne x plus racine de x et mettre un plus partout. Si tu veux, ça pourra te réconforter un petit peu.

Donc là on met le signe de x, le signe de x-1 et le signe de notre différence f(x)-g(x).
On va aller assez vite pour le signe de x et de x-1 parce que ce sont des fonctions affines.
J’ai fait d’autres vidéo, n’hésite pas à aller les voir pour avoir le signe d’une fonction affine, le tableau de signes d’une fonction affine. Tu peux essayer de les trouver avec ces mots clé là.

Donc le signe de x, c’est le plus simple à trouver, c’est négatif au début et positif après, donc là c’est toujours +.
Et pour x-1 et bien on étudie d’abord la valeur charnière donc tu résous d’abord x-1=0. Ça te donne x=1.
Donc là tu places ton 1 à droite de 0. Tu places le 0. Tu peux mettre le + là, le reporter pour la première ligne.
Et là, vu que x-1 c’est une fonction affine qui est croissante, et bien c’est le signe moins d’abord et ensuite plus.
Parce que x-1 ça donne une droite graphiquement, qui monte, qui est croissante et donc au début elle est en dessous de l’axe des abscisses : donc x-1 négatif.
Et ensuite elle passe au-dessus juste quand x vaut 1.

Voilà donc là on obtient – et ici + et le 0 ici.
Quand x vaut 1, f(x)-g(x)=0 parce que le x-1 vaut 0. Parce que si ça vaut 0, tu es d’accord que quelque chose fois 0 ça donne 0.
Et un numérateur égal à 0, ça te donne 0 au niveau de la fraction.
Voilà c’est pour ça qu’on met un 0 ici.

Et donc ça y est, on obtient les positions relatives directement avec ce tableau de signes parce que là ça nous dit que sur ]0;1] la courbe de f sera en dessous de celle de g.
Et sur [1;+ l’infini[, ce sera l’inverse.
Donc là on va faire un petit dessin, je t’encourage à connaitre les courbes de ces fonctions-là parce que ce sont des fonctions de référence.
Donc là on va dessiner un petit repère orthonormé. On va vraiment tracer l’allure rapidement de ces courbes.
Donc là, l’axe des y, l’axe des x on va le faire là comme ça.
Tu vois je ne fais vraiment que le cadran supérieur droit d’un repère orthonormé parce qu’en fait la fonction x elle est positive sur cet intervalle et racine de x aussi.
Donc en fait on va les trouver ici les courbes de ces fonctions.

Donc f je vais la faire en bleu. C’est tout simplement la droite qui passe par l’origine, de coefficient directeur 1. Peut-être la droite la plus simple du monde.
Et ensuite, tu as la fonction racine de x. La fonction racine de x ça va donner quelque chose comme ça.
Là ce n’est pas trop moche, je suis assez satisfait de moi.
Et là, on a le point d’intersection. Donc là je vais mettre que c’est Cf et ici c’est Cg, la courbe de la fonction racine carrée.
Ici bien sûr on a l’origine. Et là on a le point d’intersection de coordonnées 1 et 1 en y aussi parce que si tu remplaces 1 dans ces deux fonctions ça te donnera comme image 1.

Et là tu vois bien que la courbe de g, elle est au dessus de celle de f sur ]0;1].
Et tu pourrais vraiment conclure l’exercice comme ça, en notant ces phrases-là :
La courbe de g est au-dessus de celle de f sur l’intervalle ]0;1] et la courbe de f est au-dessus de celle de g sur l’intervalle [1;+l’infini[.
Donc en fait, nous, notre différence f(x)-g(x), ça se traduit ici : f(x)-g(x), c’est ce nombre ici en fait.
Tu vois, ce nombre vertical, que je t’avais expliqué un petit peu plus dans la première vidéo, et nous on l’étudie en fonction de x.
Donc là si je le prends ici, c’est pour ce x là, et bien f(x)-g(x) est positif parce que le f(x) correspondant est supérieur au g(x).
Et ici par contre c’est l’inverse, la courbe de g est donc au dessus de la courbe de f sur cet intervalle.

Donc voilà, je t’encourage aussi à connaitre ces courbes-là puisque la courbe de la fonction racine carrée, elle sert.
C’est vraiment une courbe à connaitre. Tu vois elle est croissante la fonction racine carrée sur R+.
Elle croit pas mal au début, ce qui fait qu’elle passe au-dessus de cette droite identité. C’est-à-dire la fonction identité : y=x.
Et après, elle croit plus lentement. Elle continue de monter mais plus lentement donc elle repasse en dessous à ce niveau-là.

Voilà donc comment étudier la position relative de deux fonctions.