Exprimer une longueur en fonction de x dans une figure géométrique

Donc comment tu vas démontrer que PQM est rectangle en M ?

J’ai pris l’angle ABM.

ABM ? Oui, mais il est plat celui-là parce qu’ils sont alignés les points.

Oui, c’est parce qu’il fait 180 °.

Oui et bien d’accord. OK, alors, par contre ce n’est pas ABM. C’est AMB. Attention. Tu vois ? Ça c’est important de ne pas confondre les deux, parce que l’angle ABM c’est différent de l’angle ici AMB. Tout simplement parce que l’angle ABM, c’est comme si tu partais d’un truc, et tu cherches l’angle, et en fait c’est très petit, c’est là  < cf figure>. C’est zéro en fait. Ça (ABM) c’est zéro, alors que AMB, il y A, M, tu vas vers M et ensuite tu vas vers B. Donc là c’est bien tout ça : 180 °.

Tu me suis Charles? Donc après, je t’écoute.

Et après j’ai pris l’angle ABM, donc AMP je veux dire.

Donc, celui-là.

OK

Et l’angle QMP.

D’accord, celui-là.

Qu’est-ce que tu peux dire de ces angles ?

L’angle PMA est égal à l’angle QMP.

Oui, mais pourquoi ?

Parce que c’est un triangle isocèle.

Et donc du coup, ils sont égaux à combien ?

45 °

Voilà, c’est très bien, super !
Et qu’est-ce que ça te donne, comment tu continues ?

Eh bien, on fait AMB-(PMA+QMB)

< Calcul mathématique>
J’espère que vous suivez tous, on cherche juste la valeur que je vais mettre en orange ici <cf. figure>. Et donc, voilà, l’angle PMQ, que nous dit que ça vaut finalement ?

90 °

Voilà. C’est 180, l’angle plat -45, puisque ces deux angles-là, ils valent 45 ° chacun. Donc ça, c’est très bien. Donc, 180 – 45×2, ça fait 90. Et 90 °, rappel à tout le monde : c’est bien l’angle droit. Ce qui correspond à π/2 rad, quand on compte en radians.

Voilà, donc ça c’est démontré. Ensuite, je t’écoute, on continue.

En déduire que PQ²=x²-4x+8

Alors là je ne sais pas.

Alors là tu ne sais pas… Souvent en mathématiques, c’est même très très fréquent, on utilise les résultats des questions précédentes. Qu’est-ce que tu viens de démontrer ?

Eh bien, que le triangle PQM est rectangle en M.

Exactement. À quoi te fait penser ça ?

Est-ce que ça ne te fait pas penser à des formules ou des théorèmes ou des notions de ton cours ? Triangle rectangle.

Au théorème de Pythagore.

Exactement. Super ! Et donc comment l’applique dans ce cas ?

Je t’écoute.

PQ²=PM²+QM²

Déjà, qu’est-ce que tu veux exprimer dans la question.

On veut déduire que PQ²=x²-4x+8

Exactement, ce que tu veux exprimer, c’est ça : PQ².

Donc, comment exprimer tout ça en fonction de x finalement ?

Progressivement, je ne te demande pas tout de suite le résultat. Je te demande comment on pourrait faire. Sachant que tu as d’autres données sur ton schéma. PM² par exemple.

< Calcul mathématique>

Oui, c’est ça x²-PA². Tout à fait, tout simplement parce que là on vient de réappliquer le théorème de Pythagore. Tu mettras ça sur ta copie, tu dis : d’après le théorème de Pythagore dans le triangle PAM rectangle en P, on a l’hypoténuse, c’est-à-dire AM◊, mais AM² c’est x², est égal à PA² + PM².

Par contre, qu’est-ce qu’on a d’autres comme données là. PM² et PA², est-ce que tu ne pourrais pas dire quelque chose ?

Eh bien : PA=PM.

Oui, tout à fait.

Du coup, comment va faire ?

En fait ce que je te conseille de faire, tu es allé un peu vite en donnant cette relation. Elle est vraie, tu vois, mais je te conseille d’y aller progressivement. C’est-à-dire qu’on a x², l’hypoténuse au carré égal à PA²+PM².

Bon, et toi qu’est-ce que tu viens de me dire à l’instant ? PA=PM, tu te souviens? Et donc, ça veut dire tout simplement que PA²=PM². C’est comme si tu avais une vache plus une vache tout simplement, ça fait combien de vaches ?

Deux

Oui, deux. Donc ça fait 2PM². Tu vois?

OK, et donc ensuite combien vaut PM² ? En fonction de X parce qu’en fait ce qu’on cherche c’est exprimer PM² en fonction de X, et là on y est presque. Tu vois, en appliquant simplement le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle APM. Donc, je te laisse continuer, je t’écoute.

x²=2PM², Donc PM² ?

Tu divise à gauche ou à droite part deux, tu fais x1/2 de chaque côté. Et donc, là, ça t’enlève les deux.

Et là, tu as ½ x² donc x²/2. Voilà, déjà une première chose. D’accord, ensuite je te laisse continuer. Qu’est-ce qui nous reste à faire ?

QM²

Oui tout à fait, et QM² ? Comment se débrouiller avec ?

Alors, ce serait…

C’est la deuxième application du théorème de Pythagore.

< Calcul mathématique>

Là, tu t’étais trompé.

C’est quoi l’hypoténuse dans ce triangle ?

MP

Tu vois ce que je veux dire, QM²+QB² égal à l’hypoténuse au carré, c’est OK ça? Et donc l’hypoténuse à nouveau combien ?

4-x

Oui c’est cette longueur-là que je vais faire figurer en rose, il faut faire 4-x ou 4-x au carré?

(4-x)²

Voilà, 4-x, le tout au carré : (4-x)², c’est à ça que c’est égal. Et donc, du coup, comment on continue ? Dis- le Charles, Ça va marcher.

< Calcul mathématique>

Par contre qu’est-ce que tu as sur QM et QB ?

Eh bien, ce sont les mêmes.

Oui sont les mêmes !

2QM², voilà, deux vaches quoi ! C’est égal à 4-x le tout au carré. Quand on met 4 – x au carré, il vaut mieux dire le tout au carré, car ce n’est pas que le x qui est au carré.

< Calcul mathématique>

Très bien, est-ce que tu peux m’aider à simplifier un peu tout ça, je veux dire est-ce qu’on pourrait un peu développer ici.

Alors, je t’écoute.

< Calcul mathématique>

QM²=8x-16+x², voilà, il manque quelque chose dans la formule ?

Sur deux.

Oui, voilà. Eh bien c’est bien. Du coup, ça c’est notre deuxième objet exprimé comme tu l’as vu en fonction de x.

Et donc là, on va s’en sortir. Combien vaut PQ² du coup à la fin.

x²/2

Très bien, ensuite ?

(16-8x+x²)/2

C’est vrai, mais est-ce que je ne peux pas expliciter un petit peu ? Séparer chaque fraction ici.

Et bien si.

Il vaut mieux le faire en fait.

Ça donnerait :< calcul mathématique>

Ça fait combien 16/2 ?

8.

Voilà ! Je t’écoute

< Calcul mathématique>

Bon, regarde l’énoncé de l’exercice, qu’est-ce qu’on te demande ?

Est-ce qu’on est loin, ou pas loin ? Qu’est-ce qui nous manque ?

X²

Oui, et qu’est-ce qu’on ne l’a pas ? On l’a en fait. Tu vois ?

Je te laisse réfléchir, mais en gros tu as < calcul mathématique>, ça va ? Et ça ça fait x²/2. Donc les autres termes tu les as, et là c’est gagné en fait, tu as démontré ce que tu devais démontrer. Est-ce que tu as compris un petit peu le principe en fait, on a appliqué trois fois le théorème de Pythagore, une fois dans le triangle PMQ rectangle en M, une autre fois dans ce triangle PAM rectangle en P, et la dernière fois dans le triangle QMB. Tu comprends ?