Fonction Affine : Ensemble de définition, Tableau de Variation, Tableau de Signe

f(x) = 5x+3

Déterminer :

-l’ensemble de définitions de f

-son tableau de variation

-son tableau de signe

f(x) = 5x+3

Donc, très rapidement à l’oral, quel est le coefficient directeur, quelle est l’ordonnée à l’origine ?

Le coefficient directeur égal à cinq

Oui. Et l’ordonnée à l’origine c’est donc trois.

3, oui.

Alors, ta fonction, quel est son type de courbe ?

Elle est positive.

Non, quand je te demande le type de courbe, c’est quelle allure ça. Comment on appellerait ça, est-ce que c’est une cloche ? Je ne sais pas… Dans le repère orthonormé. C’est une droite, tout simplement : la courbe c’est une droite.

Quelle est l’équation de cette droite ?

L’équation d’une droite, souviens-toi, c’est toujours y=ax+b.

Oui, mais c’est quoi le a et le b ici ?

Donc y= 5x+3

Voilà, tout simplement. En fait, il ne faut pas tout à fait confondre ces deux choses-là. Même si ça ressemble exactement. En fait, ça< y=5x+3> c’est l’équation de la droite, ça, c’est la géométrie. D’accord ? Et ça < f(x) = 5x+3> c’est le calcul, en fait. C’est au niveau du calcul, c’est la fonction. Bon ! Alors du coup, tu m’as dit ta fonction, qu’est-ce qu’elle décroît, qu’est-ce qu’elle est croissante, voilà.

Quel est son sens de variation ?

Elle est croissante.

Croissante. Au fait, il y a une notion qu’on n’a pas vue aujourd’hui, quel est l’ensemble de définition de cette fonction f. L’ensemble de définitions, c’est tous les x pour lesquels tout ça, 5x+3, ça peut être calculé. D’accord ? Et à ton avis, est-ce que c’est tous les nombres x, ou est-ce que c’est certains nombres seulement ? Quand est-ce qu’on peut calculer f(x) ? Est-ce que quand je prends x=10.000 ça marche ? Est-ce que je peux calculer f(10.000) ?

Oui.

Oui, est-ce que je peux calculer f(-700) ?

Aussi, oui.

Aussi, en fait, tu vois bien que ça marche pour tous les nombres. Je remplace x par n’importe quel nombre et je peux calculer le f(x) correspondant. D’accord ?

Oui.

Donc ça veut dire ça que l’ensemble de définitions Ɛd c’est égal à tout simplement R, c’est-à-dire tous les nombres réels.

Tous les réels oui.

Et c’est aussi égal à ]-∞ ; +∞[

Maintenant, je voulais revenir à une notion importante, le tableau de variations dans un premier temps.

Comment tu le tracerais le tableau de variations de la fonction x? La première ligne dans le tableau de variation c’est quoi ?

Ce sont les x, exactement. Les x ici, ils se baladent de quoi à quoi.

De]-∞ ; +∞ [

Voilà. C’est ça, très bien. Et ensuite, le f(x), ou plutôt le f, pardon. C’est la deuxième ligne, on a dit qu’on faisait le tableau de variations. Donc la deuxième ligne ce sera justement les variations de f. qu’est-ce que je vais faire ici ? Tu m’as dit que la fonction était quoi ?

Était croissante.

Oui et pourquoi en fait ?

Parce que l’ordonnée à l’origine elle est positive.

Ah non ! Ce n’est pas l’ordonnée à l’origine.

Le coefficient directeur.

Ce n’est pas le 3, le 3 on s’en fiche en fait, c’est le 5. D’accord ? C’est ça, le coefficient directeur qui dirige la droite, il est positif donc la droite, elle est croissante. La fonction elle est croissante, donc je mets quoi ?

Une flèche qui part du bas vers le haut.

Voilà. Comme ça. Très bien ! Du coup, donc maintenant, à ton avis au niveau du signe de f(x), qu’est-ce que ça veut dire ? Au niveau du signe de 5x+3, si ça monte tout le temps. Par exemple, calculons : f(-2). Est-ce que tu peux me dire combien ça vaut f(-2), c’est un exemple.

f(-2) =-10+3 = -7

Voilà. Et quel est le signe de ça ? Quel est le signe de -7.

« Moins »

Moins, c’est-à-dire négatif. Ensuite, je vais calculer f(1) ou f(0) avant, un autre exemple. Ça vaut combien ?

f(0)= 3

3 donc 5×0+3 =3, et 3, quel est son signe ?

« Plus »

Plus, oui. Donc, tu vois bien qu’on est passé de négatif ici à positif. Oui, et à quel niveau, ça a changé en fait ? Est-ce que tu pourrais me dire, à quel niveau ça change de signe ? Pour quel x ?

Entre -2 et 0

Oui, pour un x qui est compris entre -2 et 0. Et pour -1, calculons f(-1). Ça vaut combien ?

Ça vaut -5+ 3=-2

-2. Ça, c’est négatif, OK. Ça veut dire qu’entre zéro et -1, c’est-à-dire entre -1 et zéro plutôt, < calcul mathématique> ça a changé de signe ta fonction. Par contre quel est le nombre X pour lequel ça a exactement changé de signe, c’est-à-dire, à ton avis, c’est où que ça a changé de signe ? Comment va faire pour le trouver ? Tu ne vois pas trop ?

Non pas vraiment.

Non ? En fait, ce qu’il faut faire, c’est calculer le X pour lequel f(x)=0, tu résous cette équation. Et quand tu résous cette équation, et bien tu vas trouver le x pour lequel ta droite elle coupe. Je vais le faire peut-être juste en haut là, très rapidement < graphe>

Et donc, où est-ce qu’elle est négative et positive, sur ce schéma ? Comment trouve ça ? Pour quel x et en fait, elle est négative par exemple ? On va prendre : par exemple p. Ou est-ce qu’elle est négative cette courbe bleue ? En fait négatif, c’est en dessous de l’axe des abscisses, parce que je rappelle, c’est la droite d’équation y=5x+3. Alors ?

Au point p.

Au point p, elle qu’elle est négative, elle est positive ?

Elle est nulle.

Oui, c’est-à-dire qu’elle coupe l’axe des abscisses, c’est tout ce qu’on peut dire. Et qu’est-ce que ça veut dire au niveau du f, du point p. Tu vois ? f(xp) là ? Imaginons xp, le point p, il a comme coordonnées xp et son ordonnée c’est quoi ? Vu qu’il est sur l’axe des abscisses ?

C’est zéro.

Oui. Exactement. Très bien. f(xp) ça vaut convient à ton avis ? N’oublions pas que c’est le y : f(xp). C’est le yp en fait. Il vaut combien ? Il vaut zéro en fait, Florent.

Oui.

Parce que tout simplement F(xp) c’est le yp qui vaut zéro. Alors maintenant, on en était plutôt au signe de f(x).

Quand est-ce que f(x) est négatif sur mon schéma. En fait, graphiquement ça veut dire, où est-ce que la droite bleue est en dessous de l’axe des abscisses ?

À peu près à -4

Là ? Oui, mais elle l’est là aussi. Elle est partout en fait. Tu vois ?

Oui.

Tu vois, là, c’est négatif. C’est ça que je voulais dire. Donc ça veut dire que f(x) est négatif. Et où est-ce qu’elle est positive ?

Au-dessus de p.

Au-dessus de xp, oui. Pour x plus grand que xp. Tu vois bien qu’il y a un endroit de changement de signe en fait. Et où est-ce qu’il est cet endroit de changement des signe.

Au niveau de p.

Voilà. C’est ça ! Et comment va le trouver ce p ? ce xp ? Tu vois ? Parce que quand on a xp on a le point p tout simplement. Comment va le trouver ce xp ? En résolvant cette équation en bas : f(x) = 0. Et comment on résout cette équation f(x)=0 ? Combien vaut f(x) en fait, c’est une égalité.

Le f(x) il vaut 0.

Oui, mais il vaut aussi ça. À droite.

Oui, il ne faut pas l’oublier ça. Effectivement, il vaut zéro, mais il vaut aussi 5X+3. Ça veut dire quoi ? Comment je continue pour résoudre cette équation ?

On fait f(x)=0=5x+3

Très bien, ou 5x+3= 0, en fait c’est la même chose. C’est bien, et donc comment je fais pour continuer ? Sachant qu’on cherche quoi ici ? On cherche l’inconnue x, c’est-à-dire que ça me donnera le xp. Je l’ai noté p, mais on pourrait le noter xo ou peu importe. Tu vois ? Comment va faire pour trouver le x à partir de ces équations ? Comme d’habitude !

Oui.

Tranquillement, étape par étape. Comment tu vas faire pour isoler le x petit à petit ?

On va le soustraire. Donc -3=5x

C’est bien. Je vais noter juste là -3=5x, et donc ton x il vaut

-3/5 = x

Voilà ! C’est gagné ! Tu as ton x de changement de signe. On peut l’appeler comme ça un petit peu. Est-ce que tu veux bien contexte très rapidement f(-3/5), très rapidement combien ça vaut ?

Comment fait, la méthode : on remplace X par-3/5

Donc-15/5, ça fait -3/1

-3/1, /1 tu peux l’enlever ?

Donc, -3+3 =0, ça correspond

Voilà, ça correspond, c’est ça que je voulais t’entendre dire. Et donc, comment je fais le tableau de signe maintenant.

Ça c’est la troisième ligne de mon tableau (fx) ou plutôt signe de f(x), qu’est-ce qui me manque dans mon tableau ?

Il faudrait quand même mettre x=-3/5 quelque part. Est-ce qu’on va le mettre entre -∞ et  -1, est-ce qu’on va le mettre entre -1 et 0, où il est après zéro ce -3/5 ?

Il est entre -1 et 0

Très bien. Je le mets là, au milieu. Et qu’est-ce que je mets dans mon tableau, à la troisième ligne. Une barre verticale, est-ce que tu as déjà vu ça ? Avec un zéro ?

Oui.

Oui, donc tu connais si tu as déjà vu ça.

Oui, le tableau de signe.

Oui, voilà, un tableau de signes. Donc, avant, qu’est-ce qu’on met comme signe, et qu’est-ce qu’on met comme signe après ?

Donc, avant moins, par ce que tout ce qui est en dessous de -3/5 est égal à zéro.

C’est égal à zéro ?

Le f(x) est inférieur à zéro.

C’est très bien, c’est bien ça.

Le f(x), pour tous les x qui sont là-dedans, je vais le faire figurer en orange comme sur le schéma, les x qui sont là, jusqu’à -3/5 à partir de -∞, le f(x) comme tu m’as dit, ils sont inférieurs ou égal à zéro, donc moins. Et ensuite ?

Plus, c’est positif.

Voilà ! Tout simplement, parce qu’à partir de -3/5, à partir de x≥-3/5, et bien, les  f(x) sont au dessus de 0. Si tu as compris ça, tu as tout compris sur les fonctions affines et linéaires. Voilà, tu vois, c’est tout aussi simple que ça. Donc, je pense que tu as compris la différence, c’est bien, c’est pas mal. À ton avis, si une fonction affine l’est, très rapidement, dernière question, une fonction affine a pour coefficient directeur un nombre négatif, à ton avis quel sera le signe, l’allure de signe de cette fonction ? Si le coefficient directeur est négatif, quelle sera déjà sa variation ?

Elle sera décroissante.

Très bien. Donc au niveau de son signe ?

Ce sera moins

Ce sera moins tout le temps ?

Non, d’abord plus.

Voilà.

Et puis moins

Voilà, tu as tout compris, c’est exactement ça.

Donc, comment tu trouves l’endroit où ça vaut zéro. Eh bien tu calcules f(x)=0 et c’est ça, tu vas trouver l’endroit, c’est le -3/5 ici. C’est x=-3/5. Tu vois, ça, c’est l’endroit du changement de signe. C’est en gros l’abscisse du point p. Voilà.