2nde
Fonction affine ou linéaire
Comment tu peux reconnaitre si tu as une fonction affine ou une fonction linéaire sous les yeux ?
Bonjour à toi et bienvenu sur le blog star en math TV, ici Romain.
Alors dans ce petit exercice, on a une petite question.
En fait on nous présente une fonction, ici en orange, la fonction petit f, qui à x associe (1-2x), le tout sur 3.
Et on nous demande de savoir si cette fonction est une fonction affine ou linéaire.
Alors, déjà, la question t’oriente un petit peu sur la réponse. C’est souvent ce qui se passe dans un exercice de mathématiques.
Il ne faut pas voir les questions mathématiques comme des questions terrifiantes pour lesquelles tu ne trouveras pas de réponses et qui vont te bloquer forcement.
Non en fait une question de mathématiques généralement, la réponse tu peux presque la lire dedans.
Donc il ne faut pas oublier qu’une question, dans un exercice de math, et bien souvent elles sont faites pour te guider, enfin elles peuvent te guider quand tu arrives à bien les lire.
Alors ici, qu’est ce que je voulais te dire finalement, c est que la fonction, on te demande de trancher entre affine ou linéaire, donc elle ne peut pas être une fonction polynôme ou une fraction rationnelle, ou d’autres types de fonction que tu connais, je ne sais pas, une fonction inverse, une fonction racine carré etc.
Non, ici c’est juste entre affine et linéaire.
Donc finalement, ce qu’il s’agit de savoir c’est ce que c’est une fonction affine et une fonction linéaire.
Alors je vais te faire des petits rappels ici en noir.
Une fonction affine c’est une fonction du type : qui à x associe…
Bon c’est une notation un petit peu compliqué, la notation qui à x associe. Bon c’est juste une fonction, au début tu as un nombre x et à la fin ça te donne, c’est l’image : ax+b pour une fonction affine;
Donc ça c’est une fonction affine.
Et en fait, les coefficients que tu vois, donc petit a et petit b, ça c’est vraiment la notation générale.
Quand tu as une fonction sous les yeux, petit a ça vaut un nombre précis et petit b aussi.
Petit a par exemple, il peut valoir 2 et petit b il peut valoir -1.
Donc la fonction ce sera 2x-1. Donc là c’est une fonction typiquement qui est affine.
Moi je t’encourage vraiment à te représenter dans ta tête ce que c’est qu’une fonction affine, à quoi ça correspond graphiquement.
Qu’est-ce que c’est que la courbe d’une fonction affine. Et ça, c’est vraiment à savoir, vraiment, c’est une droite, tout simplement.
C’est à dire qu’une fonction affine, sa courbe, c’est une droite.
Alors c’est un petit bizarre, dit comme ça en français, qu’une courbe est une droite.
Ben oui, parmi les courbes, il y a les droites, tout simplement. Donc là, ça va te donner une droite.
Alors en fait, tu peux la tracer cette droite, le petit a je pense que tu te rappelles comment ça s’appelle, et le petit b aussi.
Ça a des noms, ici dans el cas d’une fonction affine.
En fait, le petit a c’est ce qu’on appelle le coefficient directeur, c’est un coefficient, et le petit b c’est une ordonnée à l’origine.
Je te rappelle que ordonnée comme mot, ça veut dire y et l’abscisse ça correspond aux x.
Donc il faut vraiment te rappeler de ces deux noms là : coefficient directeur, c’est le coefficient qui dirige, celui qui est devant le x, qui dirige la droite.
Notamment, si le a est positif ça nous donnera une droite qui est croissante, donc comme ça je pense pour toi. D’accord ?
Et si le petit a est négatif, par exemple -2, et bien la fonction affine, peu importe le b en fait, sera décroissante et notre droite sera décroissante aussi donc comme ça pour toi.
D’accord ? Dans un repère orthonormé.
Et ensuite, qu’est-ce que c’est qu’une fonction linéaire ? Une fonction linéaire c’est encore plus simple, c’est une fonction pour laquelle il n’y a pas de b.
Donc en fait c’est une fonction qui à x associe par exemple 3x. Donc le cas général ax.
Voilà, donc ça c’est une fonction linéaire. Et qu’est-ce que ça veut dire ?
Et bien ça veut dire que sa courbe, et bien c’est toujours une droite, mais c’est une droite un petit peu particulière, c’est une droite qui passe par l’origine.
Donc, quand la droite passe par l’origine, derrière tu as une fonction linéaire qui se cache.
Alors toi maintenant, revenons un petit peu à l’exercice, il faut que tu saches si la fonction en orange est une fonction affine ou linéaire.
Bon alors là, quand tu la lis, tu regardes un petit peu ce que c’est f(x), on va le renoter d’ailleurs :
f(x), tu vois quand tu as f qui est défini de la sorte, qui à x associe, et bien ça veut dire que f(x) est égal à cela, à (1-2x), le tout sur 3.
Bon alors là, quand tu la lis comme ça, tu n’as pas du tout une forme qui soit ax+b ou ax. Alors il faut peut-être un petit peu la transformer cette expression de f(x).
Tu te souviens de la petite règle sur les fractions : quand tu as un nombre plus un autre, le tout sur un même nombre, et bien tu peux diviser cela en deux fractions.
Quand tu as un nombre – un autre nombre et bien tu peux tout à fait diviser ça en deux fractions.
Ici tu peux tout à fait dire que c’est égal à :
« Calcul mathématique »
C’est tout à fait la même chose de dire ça. Ça c’est une petite règle sur les fractions qu’il s’agit vraiment de connaitre.
La petite règle c’est celle-ci.
Si tu as un nombre par exemple u + v, le tout sur w, et bien ça, c’est égal à u sur w + v sur w.
Donc attention, ça marche juste quand tu as un plus ou un moins. Quand tu as un fois, c’est différent, il faut faire très attention et notamment c’est ce qu’on va voir ici, ici tu as un fois. Tu as 2 fois x sur 3.
Donc là, on ne va pas utiliser tout à fait la même règle, on va vouloir transformer ça.
Mais déjà on se rend compte, on arrive presque à quelque chose de la forme ax+b mais pas tout à fait puisque tu as 2x, le tout sur 3.
Tu vois on pourrait aussi l’écrire comme ça, en changeant l’ordre, c’est à dire, je vais garder le orange, tu vas mettre d’abord le -2x, le tout sur 3 + 1/3.
J’ai juste changé l’ordre : a+b c’est pareil que b+a. a-b, c’est pareil que -b +a. C’est exactement la même chose. C’est cette petite règle que j’utilise ici.
Maintenant, on se rend compte qu’on est presque arrivé à ça. C’est très important en mathématiques de reconnaitre les choses, de les faire coller à ce que tu connais.
Et normalement, ces deux choses là, ce sont des choses que tu connais grâce à ton cours.
Et ensuite, dans les exercices, il s’agit absolument de coller les choses que tu lis, les fonctions que tu lis à celle que tu connais dans ton cours;
Si tu ne la colles pas tout à fait, tu ne pourras pas dire : ça c’est une fonction affine ou une fonction linéaire. Il faut absolument que tu la reconnaisses et que tu puisses la coller à la formule du cours.
Tu vois c’est pour ça que j’utilise le mot coller.
Et là c’est ce qu’ on est en train de faire, on est en train de coller la fonction f en orange, à la fonction affine en noir, que tu connais dans ton cours, donc la forme générale ici, f(x) = ax+b
Donc là on y est presque puisque là tu as -2x, le tout sur 3, mais ça, tu peux le transformer, puisque -2x le tout sur 3, donc moi maintenant c’est une reflexe, mais pour toi aussi ça doit être un reflexe, c’est que le -2 fois x, le tout sur 3, et bien tu peux tout à fait dire que ça vaut ça.
C’est à dire que tu peux mettre, je vais utiliser le orange, que c’est -2/3 et plus loin, fois x, plus derrière le 1/3 qui ne bouge pas, qu’on n’a pas transformé.
Et là, cette chose là que je vais entourer en vert, avec le moins si on veut, sans le moins si tu veux, et bien c’est exactement la même chose que ça.
J’ai juste transformé le 2x sur 3 en 2 fois x et le trois je l’ai mis en dessous du 2.
Donc en fait, la petite règle que j’utilise derrière, c’est que quand tu as un produit au numérateur, par exemple a fois b, là je vais l’écrire là par exemple, a fois b, le tout sur c et bien tu peux tout à fait dire que c’est égal a a sur c fois b.
Tu peux aussi dire que c’est égal à a fois b sur c.
Tu peux « sortir » l’un des deux nombres au numérateur et le mettre devant la fraction qui reste.
Et donc c’est ce qu’on a fait, on a sorti le x et on l’a mis juste derrière la fraction qui reste c’est-à-dire -2/3.
Donc là, tu as vraiment mis ta fonction f(x) sous la forme ax+b. Et là, c’est gagné puisque là tu reconnais qu’il y a une fonction affine et pas une fonction linéaire puisque le b il n’est pas nul, il vaut 1/3.
Et le petit a tu peux reconnaitre c’est le coefficient directeur, il vaut combien ? Il vaut -2/3.
Donc maintenant tu peux déduire plein de choses puisque tu as trouvé que c’était une fonction affine et notamment tu as trouved le coefficient directeur qui vaut -2/3.
Et donc tu peux dire que ta fonction est décroissante, que la droite qui correspond elle est décroissante également, qu’elle ne passe pas par l’origine puisque la fonction est affine etc.
Tu vois à partir du moment où tu as collé la fonction que tu as sous les yeux, la fonction de ton exercice, à ta connaissance, c’est à dire le fait que c’est une fonction affine, à partir du moment en fait, où tu as reconnu que c’est une fonction affine, alors, tu peux commencer à déduire plusieurs choses, à déduire plusieurs autres informations intéressantes, qui te permettront surement de continuer l’exercice.
Donc ici, bien sûr, l’exercice s’arrête là, mais il pourrait continuer.
On pourrait te demander : est-ce que la fonction est croissante ? Est-ce qu’elle est positive ? Si oui sur quel intervalle etc.
Donc là, je vais conclure en écrivant la fonction f(x).Donc toujours en orange, poursuivons avec cette couleur.
On va l’écrire juste là, juste au dessus de la fonction affine, de sa notation générale.
C’est -2/3 de x, fois x si tu veux, quand on le dit comme ça en français on dit -2/3 de x mais tu peux dire fois x, le fois qui est implicite ici, on ne le met plus, plus 1/3.
Et là tu as tout à faire reconnu ton a. tu vois quand on le met juste au dessus comme ça, c’est ce que je t’encourage aussi à faire.
Quand tu veux coller par exemple une identité remarquable à une expression que tu as sous les yeux, et bien tu mets l’identité remarquable comme tu la connais avec le a et le b. a+b, le tout au carré, ça vaut a2+b2+2ab.
Et bien si tu veux utiliser une identité remarquable dans un exercice, essaie de mettre l’expression, par exemple 2x+1, le tout au carré, avec des parenthèses, et tu mets ton 2x+1 juste au dessus de ton a+b, sur ton brouillon.
Comme ça tu pourras identifier quel est ton a, quel est ton b.
Donc là, c’est ce qu’on a fait et tu vois directement, mon a, c’est -2/3 et mon b, c’est 1/3 et donc là j’ai reconnu, ma fonction f c’est une fonction affine.
Donc c’est super, je peux continuer mon exercice sans problème.
Voilà donc j’espère que tu as compris la différence entre les deux fonctions, fonction affine et fonction linéaire.
Et ces deux types de fonctions ont comme courbe des droites.
Si c’est affine ça ne passe pas par l’origine. Si c’est linéaire la droite passe par l’origine.
Et selon le signe de a, du coefficient directeur donc, tu peux savoir si ta fonction est décroissante ou croissante et si ta droite monte ou descend. En gros c’est ça que ça veut dire.
Voilà.
Une réponse
Comment t’explique trop bien, je suis en terminale (s) et j’ai tellement de grosse lacunes que j’ai du revenir à ce cours là ^^ merci beaucoup