Fonction dérivée

Alors, comme j’ai commencé à te l’expliquer dans la vidéo précédente, pour calculer une dérivée, donc f'(x), et bien tu utilises les formules.
On est d’accord il va falloir utiliser les formules que je viens de te donner et d’ailleurs on va en voir quelques applications tout de suite.
Mais en fait, je vais te donner ici un algorithme qui va te permettre de trouver f'(x) à chaque fois, à tous les coups.
En fait, quand tu commences à calculer une dérivée, j’ai commencé à te le montrer juste dans l’exemple dans la vidéo précédente, en fait il faut regarder de quoi est faite ta fonction.
Est-ce que c’est une somme ? Est-ce que c’est un produit ? Est-ce que c’est un quotient ? Est-ce que c’est une fonction composée ? En fait c’est cette question qu’il faut te poser et comme ceci, tu sauras quelle formule choisir dans un premier temps pour dériver ta fonction.
Donc déjà, la première question à se poser, ta fonction, donc f(x), quand tu l’observes, est-ce que c’est une somme, une différence, un produit ? Bref, avec quelle opération mathématique est faite ta fonction ?

Donc voici la première étape de l’algorithme que je te propose pour calculer f'(x) : quelle opération. En face de quelle opération tu es dans f(x).
Est-ce que c’est un +, un – ? Bon un plus ou un moins on va dire que c’est la même chose. Tu te rappelles que soustraire un nombre c’est ajouter l’opposé de ce nombre.
Donc est-ce que c’est un +, est-ce que c’est un « fois », est-ce que c’est un quotient ou est-ce que c’est une composée : f rond g ?
Donc si tu es dans l’une de ces quatre opérations, tu sauras réagir et du coup, ça c’est le deuxième temps, il te faudra choisir la bonne formule pour dériver ta fonction.

Donc finalement le deuxième temps, c’est déjà choisir la bonne formule de dérivation. Donc à l’instant je te disais que chaque formule fait intervenir f’ et g’.
Du coup, tu reviens à un problème de dérivation. C’est un sous-problème du problème initial. Le problème initial c’était dériver f'(x) mais maintenant tu dois dériver par exemple si f(x) c’est U1(x)+U2(x), et bien il va falloir dériver U1(x) puis U2(x). Tu vois ce que je veux dire ?
Donc en fait, ici, une fois que tu as choisi la bonne formule et que tu l’as appliquée, bien sûr il faut l’appliquer, et bien en fait il va falloir revenir au début, pour chaque sous-fonction qu’il faut dériver.

Je reprends un exemple : imaginons que tu aies f(x) qui soit égal à racine carrée de x fois sinus de 2x.
Et bien là, on applique notre algorithme. Première étape : quelle opération principale tu fais dans f(x) ? Et bien c’est un produit de deux facteurs. Premier facteur : racine carrée de x. Deuxième facteur : sinus de 2x.
Donc tu utilises la formule de la dérivée d’un produit de deux fonctions : (f*g)’ et c’est donc f’g+fg’. Ou si tu notes les fonctions U et V, peut être que c’est la formule dont tu as le plus l’habitude, ça donne U’V+UV’.
On est d’accord qu’en l’appliquant, ça c’est la deuxième étape, tu choisie la bonne formule et tu l’appliques, en l’appliquant, il faut dériver U. tu vois, quand tu appliques la formule U’V+UV’, ici, il faut dériver U.
Ici c’est ta fonction U et ça, c’est ta fonction V.

Donc U, ça va, ça tu connais, la dérivée de racine carrée puisque c’est une fonction de base. Et la dérivée de cette fonction c’est 1 sur 2 racine carrée de x.
Mais dans la formule, U’V+UV’, apparait aussi V’. Du coup il va falloir aussi dériver V. Et donc dériver V et bien c’est la même chose. Tu reviens à la première étape. En fait c’est un sous problème et tu te proposes maintenant de dériver V.
Et après, à la fin tu reviendras à la formule initiale pour insérer ton V’ à la bonne position.

En gros, là, tu sais qu’il faut utiliser la formule du produit donc U’V+UV’. Là-dedans apparaissent U’ et V’. U’, on a dit que c’était assez simple, il n’y a pas vraiment besoin de rentrer dans ton algorithme puisque c’est une fonction de base dont tu connais la dérivée.
Maintenant, vu qu’apparait V’, tu dois calculer aussi la dérivée de V. Donc tu reviens à la première étape, tu te poses la question : quelle est l’opération principale qu’on fait dans V(x) ?
Et bien en fait ici, c’est une composée de deux fonctions. Première fonction : sinus. Et la fonction à l’intérieur et bien c’est 2x. Donc tu utilises la fameuses formules que je vais renoter ici si tu veux : U rond V, le tout prime, sachant que U c’est sinus et V, la fonction à l’intérieur c’est 2x.
Tu vois en fait ça respecte l’ordre ici. Le U c’est la première fonction, c’est sinus et le V c’est la deuxième fonction, je dis souvent que c’est la fonction à l’intérieur en fait, c’est le 2x. A l’intérieur des parenthèses si tu veux.
Et donc, cette formule c’est tout simplement : U’ rond V fois V’. C’est une formule pas évidente à connaitre mais qu’en fait je te recommande vraiment de connaitre.
Donc là, tu vois qu’intervient la dérivée de sinus : U’ et la dérivée de 2x. Donc pareil, à chaque fois, quand tu vas appliquer cette formule, tu es à la deuxième étape, et bien il y a des sous-problèmes qui apparaissent et lors des sous-problèmes de dérivation de U et de V, il va te falloir revenir à chaque fois à la première étape de cet algorithme pour trouver U’ et V’.

Donc est-ce que tu comprends comment fonctionne cet algorithme ? J’espère que oui parce que c’est quelque chose qui revient très très souvent.
Donc à la fin, une fois que tu as f'(x), je te le rappelle parce que c’est très important, il faut essayer de mettre en forme f'(x) de façon à pouvoir trouver son signe très facilement;
Donc ça peut être tout simplement le nettoyer ce f'(x) ou parfois aussi le factoriser, par ce que tu peux, ou repérer les carrés ou les racines carrées qui sont des nombres positifs.
D’accord ?