Fonction, Inconnues et Tangente

Comment tu peux trouver, est-ce que tu as déjà des idées ? Comment tu t’y prendrais un peu pour chercher ?

Je ne sais pas trop là.

Tu ne sais pas trop, d’accord. Il faut utiliser les informations de l’énoncé. Alors déjà on n’oublie pas la question, c’est ça. Il faut trouver le a, le b et le c. Ensuite, quelle est la première information importante de l’énoncé ? D’après toi.

Le point par lequel ça passe.

Ça, c’est très très bien. C’est une information importante parce que la courbe ici, parce que là, je vous le rappelle c’est une équation qu’on peut dessiner en fait dans un repère orthonormé. Or ici, vu que c’est un peu compliqué, je ne pourrais pas vraiment le faire à la main, mais en gros c’est quelque chose, quand vous avez les valeurs de a, b, c, mais bon ici il faut les chercher, donc vous ne pouvez pas dessiner la courbe, mais c’est quelque chose en théorie qu’on peut dessiner. Et donc cette courbe correspondant à cette équation passe par le point A, et qu’est-ce que ça veut dire qu’une courbe dont tu as l’équation qui passe par un point. Dont tu as les coordonnées d’ailleurs. Qu’est-ce que ça veut dire ?

Que si on remplace x et y par ses coordonnées, son équation donne zéro.

Ah c’est dommage tu avais bien commencé, ce n’est pas que ça donne zéro, c’est juste que tu as l’égalité qui est vérifiée. C’est juste que tu peux écrire ça en remplaçant x par 3 et en remplaçant y par 2.

Et après on devrait trouver la même chose des deux côtés.

Oui quelque part, mais en fait, tu n’as même pas besoin de dire ça, tu peux juste dire que tu conserves, c’est ça que ça veut dire vérifier une équation, c’est que tu peux conserver le « égal » entre les deux, c’est ça que ça veut dire. Et tout est là. Un point appartient à une courbe lorsque ses coordonnées entre guillemets vérifient l’équation, ça veut dire qu’ici vérifier l’équation, je remplace y par 2, et c’est égal, j’ai le droit de le dire, tout est là, et bien je remplace x par 3 donc a x 3 c’est 3a plus b plus c, sur (je remplace x par 3 toujours) 3-1. D’accord Anne Laure ? Et c’est tout. Et donc du coup, et bien tu nettoies un peu cette formule, tu ne peux nettoyer qu’ici en fait, tu vois, tu vas obtenir 2. Je vais le noter là 2=3a+b+c/2

Tu comprends ?

Oui

Ok. Je comprends ta moue on va dire, tu dis Ok, on a fait ça c’est bien, mais en quoi ça va nous servir ? Et bien c’est intéressant d’avoir fait ça tout simplement parce qu’on a déjà traduit une information de l’énoncé, c’est-à-dire le premier point rouge. On l’a traduit en une formule ou une équation plus précisément. Ça c’est une équation, dont les inconnues sont a, b et c.

Alors à ton avis, est-ce qu’avec une équation, une seule équation, tu peux trouver trois inconnues ?

Non.

Effectivement non.

Une c’est juste une équation, deux c’est un système et trois je n’en sais rien.

Oui, et bien trois il faudrait trois équations à la limite. Tu vois ce que je veux dire ? Avec deux équations à deux inconnues, tu trouves les deux inconnues, avec trois équations à trois inconnues, tu trouves les trois. Avec quatre équations à quatre inconnues, on trouve les quatre, etc., etc. tu vois ? Donc en gros, là déjà on a une première information qui est très importante, c’est ça, ensuite, il te manque une autre information de l’énoncé qu’il faut traduire. Tu es d’accord qu’il faudrait essayer de traduire ça ?

Que au point a, le coefficient directeur de la tangente c’est 3.

Alors, ça, ce n’est pas loin d’être vrai, sauf que ce n’est pas au point a, c’est au point x=2. Tu es d’accord ?

Oui.

Et donc c’est très bien ça, et tu m’as dit au point x=2, de la courbe correspondant à cette équation, et bien le coefficient directeur de cette tangente, il vaut, tu m’as dit 3, et ça c’est très très bien, c’est une très bonne traduction, parce que effectivement, je rappelle à tout le monde que deux droites sont parallèles, ici on a (∆1), (∆2) qui sont par exemple dans un repère orthonormé, et bien vous avez les équations des deux droites (∆1) et (∆2) donc imaginons qu’on a y = a1x+b1, ça, c’est l’équation de (∆1), et l’équation de (∆2) c’est y=a2x+b2.  Et bien qu’est-ce que ça veut dire au niveau de ces équations de droite que les droites (∆1) et (∆2) sont parallèles ? Tu me l’as déjà dit, mais est-ce que tu pourrais me le redire ici ? Comment ça se traduit au niveau des équations ?

Les deux droites ont le même coefficient directeur

Très bien, et donc ça veut dire quoi ? Ici au niveau de a1, b1, a2, b2 ? Pas forcément b1, mais b2. Tu ne vois pas ? C’est quoi les coefficients directeurs de chaque droite ici ?

C’est a et b.

Voilà et donc tu m’as dit qu’ils sont égaux. Donc tu peux dire tout simplement (∆1) et (∆2), juste ce que je voulais t’entendre dire, c’est ça : a1= a2, c’est tout. Et ça, c’est une information intéressante. Alors ça, c’était juste un petit rappel. Retenez tous que deux droites dont vous avez les équations comme ceci, dont vous connaissez le coefficient directeur, ou enfin pas les vecteurs directeurs, mais dont vous avez les équations sous cette forme-là (pas les équations cartésiennes de la forme ax+by+c=0 d’ailleurs), dont vous avez vraiment les équations comme celle-ci, et bien ça veut dire deux droites parallèles, que leurs coefficients directeurs sont égaux, donc que a1=a2. On passe, c’était juste un petit rappel. Ensuite, comment utiliser cette connaissance dans notre exercice ?

Là on a aussi le même coefficient directeur pour 2y=3x+2 et notre équation de base qu’on vient de calculer, l’équation de la courbe.

Alors, ce n’est pas l’équation de la courbe, parce que l’équation de la courbe ici ce n’est pas une droite, ça ne peut pas avoir de coefficient directeur. Un coefficient directeur, attention, ça n’existe que pour une droite. Ici, ça veut dire tout simplement, tu avais bien commencé, que le coefficient directeur de la droite correspondant à ça, de cette droite en gros, qui est 3 et bien, il vaut le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f en 2.

Ok d’accord.

Voilà c’est ça et calculer la tangente, comment tu fais ?

Sachant que tu n’es pas obligée de connaître toute la tangente, tu peux juste connaître le nombre dérivé en 2.

Et bien c’est f’(2)

Voilà, c’est très bien. Je traduis ça : f’(2) = 3. Voilà.

Puisque c’est son coefficient directeur.

C’est parfait ! C’est très très bien Anne Laure, si tu as compris ça, et bien ton exercice est fini, parce qu’en fait, le reste c’est que du calcul. On va voir ce que ça donne, tu vas voir, ça va nous donner une autre équation. Voilà en gros comment on traduit un énoncé.

Premier point, on traduit que le point a appartient à la courbe, ça veut dire ça. Ça nous donne cette équation.

Deuxième point rouge, on traduit que la tangente à la courbe de f en x=2, c’est-à-dire juste ça, est parallèle à la droite d’équation y=3x+2. Et je viens de vous rappeler en rouge, en dessous, que deux droites sont parallèles si et seulement si leurs coefficients directeurs sont égaux. Et le coefficient directeur de cette droite, c’est tout simple, on l’a ; c’est 3. Donc ça veut dire que c’est égal au coefficient directeur de la tangente, je vous rappelle, pas n’importe laquelle, en x=2, à la courbe de f. Et cette tangente elle a pour coefficient directeur justement f’(2), c’est ça qu’on rappelle depuis le début, donc c’est très bien. Donc du coup, comment on calcule f’(2) d’une autre façon ? Comment on calcule f’(2) en fait ? Sachant que tu sais tout à fait dériver cette fonction parce que ça c’est une équation, mais ça correspond à une fonction. N’oublions pas que le y c’est f(x).

On dérive juste la fonction et on a le f’(x) général et après on remplace x par 2.

Et bien voilà. C’est parfait. Donc ça, c’est la première façon, la première information, deuxième point rouge. Maintenant on utilise notre fonction, c’est quelque part le troisième point rouge et là, on la dérive cette fonction, f’(x) d’une façon générale comme tu m’as dit c’est très bien. Et là, comment on fait pour dériver cette fonction ?

C’est égal à a (oui dérivé de ax)

Plus la dérivée d’une constante, plus la dérivée de tout ça. <Calcul mathématique>

Et comment on dérive tout ça ?

C’est bien, tu es sur la bonne voie en tout cas. Si si, tu y es presque, ne lâche pas l’affaire, regarde. Là tu dois dériver c/(x-1). Ce n’est pas très dur comme fonction, c’est une fonction par exemple du type 1/u, tu vois, ça ressemble à ça <Calcul mathématique>. Sinon, ça ressemble aussi à u/v, c’est un peu plus compliqué, mais ça ressemble à ça aussi. Tu vois ? Et ça, ces deux fonctions là, d’une manière générale, tu sais le dériver. Donc on peut passer par l’une ou l’autre comme tu veux, sachant que je te rappelle aussi que c/(x-1), ici c’est [c/(x-1)]’. Donc là on en est à vouloir dériver ça. J’explique tout ça en détail. Donc pour dériver ça, comment on fait ? Et bien soit tu te ramènes à ça, ou ça, sachant que tu peux te ramener à 1/u, sachant que u ce serait quoi ici comme fonction ?

x-1, donc la dérivée c’est <Calcul mathématique>

Alors pas tout à fait. Comment on dérive 1/u ?

Tu ne te souviens plus trop ? En fait c’est une formule, Oui je t’écoute.

<Calcul mathématique>

Voilà, c’est très bien. Je vais le noter, je vais mettre un « prime ». C’est une formule à connaître sachant que tu peux la retrouver grâce à celle-ci. (u/v)’ qui est d’ailleurs égale à quoi ?

(u’v-uv’)/v²

C’est très bien. Tu peux la retrouver cette première grâce à celle-ci, tout simplement parce qu’ici, en fait dans notre première ligne, u c’est 1 et le v c’est u. Tu vois ce que je veux dire ? Donc en fait c’est un peu compliqué, mais en gros la dérivée de ton u dans ce premier que tu as, c’est-à-dire du numérateur, elle est nulle, parce que c’est 1. La dérivée de 1 c’est zéro. Donc en fait tout ce terme-là ça se simplifie. Donc il te reste <Calcul mathématique>. En fait ce que je veux te dire c’est que tu peux retrouver cette formule grâce à celle-ci. Celle-ci il faut la connaître, et tu peux retrouver celle-là. Voilà et donc là, on utilise soit l’une ou l’autre, moi je te propose quand même d’utiliser celle-là, mais est-ce qu’on a 1 au-dessus là ?

Non, enfin on ne sait pas, mais non.

Pas tout à fait, c’est vrai. En fait on a c/(x-1), il ne faut pas oublier que c’est tout simplement c x [1/(x-1)] . Est-ce que tu me suis Anne Laure.

Pour dériver, ça fait <Calcul mathématique>

Voilà c’est très bien tu as compris. Donc la dérivée, je vais le noter là, ou je vais le rajouter ici donc, <Calcul mathématique>, je vous encourage à noter ces points de cours dans votre brouillon par exemple. Vous voyez, vous mettez ça dans votre brouillon, vous essayez de réfléchir par rapport à ça, donc là on en était à dériver cette chose, donc, <Calcul mathématique>, c’est ça que tu m’as dit ?

Pourquoi moins ?

C’est le moins qui est devant

<Calcul mathématique>

Tu me suis, voilà.  C’est très bien parce que tu as réussi à dériver ton f, donc ça vaut ça. Et là, et bien tu fais le lien avec ça. Et tu m’avais très bien dit tout à l’heure, on remplace ?

X par 2

Voilà, c’est très bien. C’est ce qu’on fait. Donc là on imagine qu’on a un autre résultat. Je vais effacer un petit peu certaines choses. Ça c’est notre f’(x) en bas à droite. Normalement on ne s’est pas trompé, on a fait un bon calcul, f’(x) et là il nous suffit pour calculer f’(2), de remplacer x par 2, f’(2) c’est aussi égal à, alors qu’est-ce que ça nous donne ?

<Calcul mathématique> c’est-à-dire a-c

Très bien. J’efface le c au-dessus. Et ça nous donne ça. Et donc a-c qu’est-ce que ça vaut du coup ?

Ça vaut 3.

Voilà, c’est bien ça !

On ne te demande pas de trouver tous les a, b et c. On te demande juste de trouver un triplet qui marche. Tu vois ce que je veux dire ?

Donc il y en a plusieurs qui peuvent marcher ?

Oui, surement parce que là, en fait, ces deux équations-là, elles te livrent plein de a b et c possibles. Tu vois ce que je veux dire ? En fait, toi tu n’as juste qu’à trouver un triplet qui marche. Des nombres, trois nombres, des vrais nombres, pas des a, des b et des c, mais des vrais nombres qui marchent, qui marcheraient bien. Et donc, comment tu vas les trouver ? En utilisant justement ces deux équations. Et comment tu trouves ça ? Et bien en fait il te suffit de choisir l’une des variables, donc par exemple tu vas choisir on va dire a=1, tu choisis, je sais que ça peut te paraître bizarre, on choisit un nombre, mais ensuite les autres nombres, c’est-à-dire b et c, tu ne vas pas pouvoir les choisir, ils vont être livrés, ils vont être fournis par les équations, tu vois ? Donc comment on va trouver le b  par exemple là ? Ou peut-être plus facilement le c pour le moment ?

<Calcul mathématique>

C’est très bien, donc là tu trouves c=-2, ensuite tu trouves facilement ton b, donc on va le faire, sachant que j’aurais pu prendre aussi a=0, mais là j’aurais été un peu embêtée, tu vois ce que je veux dire ? Tu peux choisir en fait la première variable, sauf que les deux autres, j’aurais pu choisir b ou c, j’aurais pu commencer par b ou c peu importe, sauf que les deux autres variables qui te restent tu ne peux pas les choisir, elles te sont données, elles sont déterminées par les deux équations que j’ai encadrées en rouge, et qui sont très importantes. C’était ça la clé de l’exercice en fait et comment tu traduis ton énoncé en deux équations dont les inconnues sont a, b et c. Alors pour b.

Moi je trouve ça bien, c’est intelligent comme exercice.

En plus, c’est très utile, je vais t’expliquer ensuite pourquoi. Oui, je t’écoute.

Donc pour b <Calcul mathématique>

Ça c’est bien, <Calcul mathématique>. Il reste b=0. Alors, sachant que ça c’est un triplet, et il y en a surement plein d’autres, en fait il y a une infinité.  Donc ce que je t’encourage à faire si tu as une calculatrice, peut être que tu voudras le faire après, mais en gros, tu trouves f, tu as trouvé ton a, ton b et ton c qui marche, entre guillemets qui marche. Maintenant ce que tu peux faire, tu peux tracer la courbe de la fonction f avec le a, le b et le c. En gros, vu que ton b, ça vaut zéro, tu peux l’enlever, il te reste <Calcul mathématique>. Tu traces cette fonction sur un repère orthonormé dans ta calculatrice, tu vas la tracer par exemple autour de x=2, en incluant d’ailleurs le point 3 pour vérifier. Alors je vais le faire très rapidement et je vais le voir si ça marche pour voir si on ne s’est pas trop trompé ; mais je ne pense pas <Calcul mathématique>. Donc c’est ce que je vous encourage à faire, dès que vous avez fait les calculs sur une fonction et que vous pouvez tracer sa courbe dans la calculatrice tout simplement. Bon, ça a l’air de marcher pas mal.