Formule d’Al Kashi
Le théorème d’Al Kashi donne 3 relations qui sont valables dans un triangle quelconque et qui lient les longueurs des côtés avec le cosinus des angles du triangle. Alors comment démontrer le théorème d’Al Kashi ?
Bonjour et bienvenue sur Star en Maths Tv. Aujourd’hui la question est très très simple, nous allons démontrer le théorème d’Al Kashi. Alors qu’est ce que c’est déjà le théorème d’Al Kashi ? Et bien c’est très simple, c’est que dans un triangle quelconque, alors je vais essayer de faire un triangle quelconque tu sais que c’est pas forcement évident puisque chaque fois qu’on essaye de dessiner un triangle quelconque on dessine souvent un triangle qui ressemble à un triangle rectangle ou un triangle isocèle. Donc là je vais essayer de faire un triangle quelconque.
<schéma mathématique>
Alors, Le théorème d’Al Kashi il te donne 3 relations qui sont les suivantes :
<calcul mathématique>
Donc d’où ça vient ce théorème, comment le démontrer ? Et bien pour le démontrer on va faire appel à quelque chose que tu connais très bien, une notion que tu as vu en première S et qui est le produit scalaire.
Ce qu’on va faire c’est qu’on va calculer le carré scalaire d’un vecteur. Alors, on va démontrer uniquement la première relation parce que les 2 autres se démontrent de la même façon. Donc ce qu’on va faire c’est qu’on va démontrer uniquement la première
<calcul mathématique>
Et maintenant une fois qu’on est ici on va utiliser la définition angulaire du produit scalaire et c’est pour ça que cet exercice il est vraiment intéressant c’est que je te rappelle plusieurs notions autour du produit scalaire, ce qu’est notamment un carré scalaire. Il faut que tu sache qu’en fait c’est la norme du vecteur au carré et aussi la définition angulaire d’un produit d’un carré. Qu’est ce que c’est que la définition angulaire d’un produit scalaire ?
<calcul mathématique>
Donc on a terminé la démonstration puisqu’on a bien démontré que a2=b2+c2-2bc cos(Â). Donc c’est comme ceci qu’on l’a démontré en utilisant la définition angulaire d’un produit scalaire. C’est à dire que ceci c’est égal à ceci. C’est à dire le produit des normes de chacun des vecteurs fois le cosinus de l’angle formé par chacun des 2 vecteurs. Avec le moins bien sûr puisque j’ai transformé le a en –ab. Donc voilà d’où vient le théorème d’Al Kashi et tu peux faire la relation avec le théorème de Pythagore qui rappelle toi se passe toujours dans un triangle rectangle, tu sais bien le manipuler normalement. Quel est le lien en fait ?
a2=b2+c2 dans un triangle rectangle en A et donc ça prouverait que -2bc cos(Â) c’est égal à 0. En fait cos(Â) serait égal à 0 puisque bc c’est le produit des longueurs qui n’est pas nul. Cosinus d’un angle qui est nul ça veut dire quoi ? Donc ça veut dire que l’angle il vaut π2 modulo de π.
Donc, ça prouve bien que si on a juste a2=b2+c2 et que cos(Â) est nul et donc que A est nul et A=π2 . On se retrouve bien dans la configuration du théorème de Pythagore et donc dans la configuration d’un triangle rectangle en A. donc ça ça veut dire tout simplement que la relation que te donne le théorème de Pythagore et les relations que te donnent le théorème d’Al Kashi sont tout à fait liées. Ce qui est vraiment intéressant c’est que ces 3 relations là, quand tu connais rien d’un triangle et bien elles peuvent te permettre de trouver la valeur d’un angle ou la valeur d’un coté que tu ne connais pas moyennant quand même que tu connaisses au moins 2 longueurs et la valeur d’un des angles.
