Exprimer une fraction sans radical au dénominateur

Alors la première question de l’exercice d’Alexandra, c’est « décrire sans radical, au dénominateur, ce nombre, le nombre f(x) ».

Alors comment on fait ça ? Est-ce que tu as une idée de comment on fait ça ?

Il y a un mot que je ne comprends pas, le radical c’est-à-dire ?

Déjà c’est une très bonne question Alexandra, tu t’y prends de la bonne façon, c’est-à-dire que là, il y a un mot que tu ne comprends pas dans l’énoncé. Donc généralement, quand il y a un mot qu’on ne comprend pas dans l’énoncé, ça ne vaut pas le coup d’essayer d’aller plus loin. A tous, il faut absolument que vous compreniez tous les mots de l’énoncé. Ça peut paraître bête comme conseil mais c’est vraiment très important.

Donc en fait, un radical, c’est quelque chose avec des racines carrées on va dire.

Tout simplement, donc nous dans la question a, ça veut dire qu’on ne veut plus de racine carrée au dénominateur. Comment on va faire ?

Et bien on met tout au carré.

Alors, c’est généralement l’idée qu’on a, mais le problème, c’est quand je mets tout au carré ici, qu’est-ce qui va se passer ? Imaginons, je mets f(x), le tout, c’est parti, au carré, on va obtenir quoi ?

On va obtenir alors <Calcul mathématique>.

Mais du coup, quand tu vas mettre au dénominateur le tout au carré, qu’est-ce qui va se passer en fait ? Est-ce que tu vas faire disparaître les racines carrées ?

Pas tout à fait, si tu veux on le fait, mais ici pour tout le monde, on a bien sûr une identité remarquable, donc <Calcul mathématique> donc on va obtenir a²+2ab+b².  Pas de soucis, et le truc c’est que regarde, le a², qu’est-ce que ça va nous donner ?

Ça va donner <Calcul mathématique>, le 2ab, d’accord, mais c’est bon, on s’est compris, +b², ça va donner x.

Voilà. Donc tout ceci, 1² c’est 1.

Qu’est-ce qui se passe en-dessous, au dénominateur ?

Le problème c’est qu’il y a les 2ab.

Oui, exactement. Ça c’est bien. En maths généralement, quand on prend une piste, c’est très bien de choisir une piste et puis d’essayer d’approfondir un petit peu, d’essayer de trouver la solution avec cette piste. Le truc, c’est que parfois ça bloque et ici, là ça bloque. C’est-à-dire que pour résoudre cette première question a, qui je le rappelle, le but est d’enlever des racines carrées au dénominateur, et bien comment on va faire justement puisque cette première piste elle ne marche pas. Enfin, ça nous donne quelque chose, mais on n’arrive pas à enlever les racines carrées ici. Ça, ça ne peut pas se simplifier. Parce qu’on pourrait le mettre comme ceci, on pourrait regrouper les racines carrées ensemble, ça pourrait nous donner <Calcul mathématique>. Et du coup, et bien ça, toujours, on ne peut pas vraiment le simplifier. On ne peut pas, en tout cas la racine carrée. Donc, ce n’est pas tout à fait ça qu’il faut faire. Alors comment on va faire ici. Est-ce que tu as une autre idée ?

Non, je ne vois pas trop.

Tu ne vois pas trop ?

Est-ce que quand je te dis expression conjuguée, est-ce que ça te dit quelque chose ?

L’expression conjuguée est une expression avec un radical. Alors, je sais que c’est un peu compliqué à dire, mais peut-être que ça te dit quelque chose. Non ? Pas trop ? Et bien ce n’est pas grave, on va voir ça ensemble. Alors ici, regarde bien ce qu’on a. On a un a, plus un b, ce n’est pas le même a et le b que tout à l’heure, enfin si d’ailleurs, c’est le même. Peu importe, donc on a un a et un b ici, on a a+b, comment essayer de faire en sorte de faire disparaître les racines carrées. Tu m’as dit déjà c’est une bonne idée quelque part, de mettre au carré.

Tu es d’accord que les carrés, ça fait disparaître les racines carrées.

Sauf que, comment essayer ici d’obtenir un a² et un b², et pas un terme parasite comme tout à l’heure a et b ou 2ab. Comment on peut avoir un a²+ ou – d’ailleurs, je ne sais pas, je t’aide un petit peu, b². On ne peut pas faire quelque chose avec cette fraction ? Multiplier haut et bas par un même nombre qui permettrait d’obtenir ici en bas, un a² et un b² ? Non, tu ne vois pas trop ? Ok, ce n’est pas grave, regarde, tu as a+b ici multiplié par a-b, qu’est-ce que tu obtiendrais ?

J’obtiendrais a²-b².

C’est bien ça. Voilà, c’est pas bien ça ? C’est cool ! Parce que tout simplement, si je multiplie donc, on va faire ce que j’avais commencé à faire, <Calcul mathématique>, donc est-ce que ça ne nous aide pas là, Alexandra ?

Si parce qu’on va se retrouver avec… Si. Donc ça va faire <Calcul mathématique>. Et voilà, c’est fini, tu vois, parce que là, on n’a plus de racine carrée au dénominateur. Donc là ce qu’il te reste à faire juste, c’est simplifier un peu ça, et il y a x-x. Donc, vous voyez un peu comment on fait pour se débarrasser des racines carrées au dénominateur ? Donc, là on va continuer, on regarde ce qui se passe, on va obtenir, donc là j’aurais du mettre <Calcul mathématique>. Et ici on va obtenir donc, f(x) finalement ça vaut combien ?

f(x) ça vaut √(x+1)- √x. Voilà, c’est bien Alexandra, et c’est tout. Tu vois, tu n’as plus de dénominateur, donc tu as répondu à ta première question. Alors, je rappelle une petite méthode pour tout le monde.

Quand vous voulez enlever les racines carrées au dénominateur, vous multipliez, c’est vraiment ça qu’on vous dit. Vous multipliez haut et bas par l’expression conjuguée du dénominateur.

Alors qu’est-ce que c’est que l’expression conjuguée ? C’est tout simplement ce dénominateur, sauf que vous mettez un « moins » entre les deux termes. D’accord ? Donc ici, vous mettez un « moins ». Et quand vous multipliez haut et bas, vous allez faire apparaître ici, en tout cas au dénominateur, ce terme-là, et donc tout ceci, donc cette identité remarquable, qui est a²-b² et qui vous permet justement de faire disparaître les racines carrées. Donc on va prendre un autre exemple, très rapidement.

Donc Lucas, tu m’as posé une question, je vais y revenir tout de suite après.

Regarde, je vais prendre un autre exemple Alexandra, tu vas m’aider à essayer d’enlever la racine carrée.

On va avoir ici <Calcul mathématique>, comment je vais faire pour enlever la racine carrée en bas. Imaginons que ça c’est un nombre qui s’appelle N.

Alors, on va faire <Calcul mathématique>.

Oui, ça pourrait être -2, tu pourrais aussi prendre 2 pour b.

Donc ça va faire, on va multiplier par <Calcul mathématique>.

Voilà. C’est bien, il suffit juste de mettre un « plus ». Donc, haut et bas, fois <Calcul mathématique>, alors là je mets quand même les parenthèses, ça va tu comprends ?

Oui d’accord

Et donc là, qu’est-ce qui va se passer, on va obtenir bien sûr au-dessus, il va apparaître au numérateur, les racines carrées, en tout cas l’avantage c’est qu’on les a fait disparaître, donc qu’est-ce qui se passe, un peu rapidement, donc on va obtenir <Calcul mathématique> au-dessus, et en-dessous, qu’est ce qu’on obtient ?

On va obtenir <Calcul mathématique>, donc vous obtenez tout simplement < Calcul mathématique>. Pas de soucis ? Donc ça, c’est fini. Ça veut dire que ta fonction f, ou l’image de x par f, l’image de x par f tout simplement, elle se simplifie vraiment beaucoup, donc ça va être assez simple une fois que tu as fait cette première question a, de l’étudier, en tout cas j’espère.