Géométrie spatiale, Comment construire la trace d’un plan ?

Géométrie spatiale, Comment construire la trace d’un plan ?

En géométrie spatiale, comment construire la trace formée par 3 points ?

Bonjour et bienvenue sur Starenmathstv, aujourd’hui on va faire un exercice de construction en géométrie spatiale. Donc tu as 3 plans, le vert ici, le jaune et le rose qui sont sécant en un point O. A, B et C sont 3 points de l’espace qui sont respectivement sur ces plans c’est-à-dire que B il appartient au plan jaune, A il appartient au plan vert et C il appartient au plan rose. La question de cet exercice c’est de construire la trace du plan ABC puisque tu es d’accord que 3 points dans l’espace forment un plan et bien il faut construire la trace de ce plan sur chacun des 3 autres plans, donc le vert, le jaune et le rose. As ton avis à quoi pourrait ressembler la trace du plan ABC sachant que les 3 points sont chacun d’entre un sur un plan. A est sur le plan vert, B est sur le plan jaune et C sur le plan rose. A ton avis à quoi pourrait ressembler la trace du plan ABC sur chacun des 3 plans ?

Je vais te montrer rapidement à quoi ça pourrait ressembler. On va supposer que la figure est déjà réalisée, on va supposer que tu as déjà réalisé la trace et en fait ça ne va pas être les droites exactes mais ça pourrait ressembler à ça. La trace ça va être les droites qui vont être intersection entre ton plan ABC et chacun des plans puisque ton plan ABC va couper les plans vert, jaune et rose suivant des segments ou des droites plutôt et donc la droite pourrait ressembler à ceci :

<Schéma maths>

J’ai essayé de réaliser la figure directement c’est-à-dire construire la trace du plan ABC sur chacun des 3 plans mais tu vois qu’il y a un problème puisque en fait ici on a essayé de tracer une 1ère droite donc on obtient une coupure entre le plan ABC et le rose, ici de même on a essayé sur le plan jaune, que tu vois que les 2 droites rouges, les 2 premières droites rouges doivent se rencontrer en ce point là puisque forcement cette droite ici en noire elle est coupée par le plan ABC en seul point or quand on essaye de tracer la 3eme droite qui passe forcement par le plan A et qui appartient au plan vert, la droite trace du plan ABC sur le plan vert, on se rend compte ici que ça ne colle pas. Cette droite là et cette droite là devraient se couper en seul point sur cette droite là puisqu’en fait les 2 droites rouges celle passant par B et passant par A représentent le plan, et le plan devrait couper la droite noire ici, en un seul point or tu vois que cette construction est fausse donc on a essayé un peu au pif de construire la trace tu plan ABC mais tu vois en tout cas que ça ne correspond pas. Ça pourrait ressembler à cela mais il faut absolument que nos 3 droites passent par les 3 points A, B et C puisque les 3 droites passent par les 3 plans A,B, C puisqu’on on construit les traces de nos points A,B,C sur chacun des plans vert, jaune et rose et donc et vu que chaque point A, B et C, appartiennent respectivement au plan vert, jaune et rose et bien les droites qu’on va tracer dans chacun de ces plans doivent passer forcement par les point A, B et C puisque ce sont des droites qui appartiennent aussi au plan ABC.

Tu vois que cette figure réalisé un peu au pif pour essayer de comprendre l’exercice ne fonctionne pas. Il va falloir trouver 3 droites passant par les points A,B, et C et appartenant au plan vert, jaune et rose et qui se coupent bien sur les droites noires donc tu es d’accord en fait qu’il va falloir trouver la positon des points sur chacune des droites noires partant du point O ici. La position des points par lesquels il va falloir tracer les droites passant par B, A et C. Par

Exemple ici, il va falloir trouver un point :

<Schéma maths>

La section verte que l’n vient de tracer n’est pas la section que l’on recherche encore mais cette section va nous intéresser, pourquoi ?parce que si tu as une droite d qui appartient au plan rose et ici si je prolonge cette droite BA en rose, BA n’oublie pas c’est une droite qui appartient à notre plan ABC dont on cherche à représenter la trace sur les 3 autres plans.

Si je prolonge BA, cette droite rose appartient à notre plan ABC. Si je prolonge d :

<Schéma maths>

La droite d et la droite rose se croisent sur ton schéma mais est ce qu’elles se croisent en 3D, c’est toujours une question qu’il faut se poser. Et bien oui parce que les 2 droites appartiennent au plan vert ici, BFA, le plan dont on avait tracée la section avec les 3 segments verts parce qu’en effet la droite rose elle passe par les points B et A mais notre plan BFA contient les points B et A donc cette droite rose appartient au plan vert et bien sûr la droite d ici appartient également au plan BFA donc la droite rose appartient au plan BFA ; la droite d appartient au plan BFA donc ces 2 droites de coupent. Ici on a un véritable point d’intersection que l’ont peut noter L. L il est ou ?comment on peut se représenter la position de L ?en fait L est dans le plan du dessous, rose parce que la droite d est dans le plan rose et L appartient à cette droite donc L est dans le plan du dessous. Ce qu’il y a d’intéressant aussi avec L, je vais le noter, c’est qu’il appartient à notre plan ABC. LC appartient à ton plan ABC parce que L appartient au plan ABC et bien sûr C appartient au plan ABC. On sait aussi que LC est dans le plan rose car L est dans le plan rose et C est dans le plan rose :

<Schéma maths>

Delta appartient au plan rose, forcement ce sont 2 droites qui se croisent et elles se croisent sur le schéma en un plan qu’on peut tracer :

<Schéma maths>

Nous avions au départ construit une figure tu te souviens avec les droites rouges qui serait possiblement la trace du plan ABC sur chacun des plans vert, jaune et rose. Ici déjà on a un 1ère point donc c’est super car maintenant ça va être facile de tracer les autres droites parce que forcement ce point rouge M appartient à Delta, il appartient au plan vert et A appartient aussi au plan vert, donc AM c’est une droite qui va appartenir au plan ABC qui est dans le plan vert. Voila AM qui se trouve dans le plan vert, et ici on trouve un nouveau point d’intersection, tu commence à comprendre qu’en fait on obtient la trace de notre plan ABC sur chacun des plans petit à petit et ici la droite, on peut noter ce point là M, il appartient en fait à l’intersection des plans vert et jaunes donc en fait le croisement de mes 2 mains ou cette droite noire et BM vu que AM c’était une droite qui appartenait au plan ABC, N appartient aussi à notre plan ABC donc BN également donc petit à petit on est en train de finir de construire la trace et cette droite là que je vais tracer, la droite BN appartient aussi au plan ABC et elle appartient au plan jaune donc c’est bien une trace de notre plan ABC sur le plan jaune que je vais tracer et cette droite CM que l’on peut prolonger ici :

<Schéma maths>

Ces 3 droites rouges représentent la trace de ton plan ABC sur chacun des plans donc tu vois qu’en fait l’objectif de cet exercice c’était de trouver les droites intersections entre le plan ABC et chacun de tes plans vert, jaune et rose. Comment on a fait ? on a déjà commencé par placer un point F sur la droite intersection entre le plan jaune et le plan vert et le plan BFA obtenu coupait ton plan rose et ce qui est intéressant avec le plan BFA c’est qu’il contenait cette droite rose ici, BA et la droite BA elle appartient au plan Abc donc à notre plan dont on recherche la trace avec nos 3 plans donc ça c’est intéressant et donc ce plan BFA coupait le plan rose du dessous au niveau de la droite D. donc le prolongement de la droite D et de la droite DA c’était 2 droites qui se coupaient car ils appartenaient au plan vert, c’était 2 droites coplanaires. Elles se coupaient en L or L appartenait au plan rose car c’était le prolongement de D, D était dans le plan rose. Vu que L était aussi un point de notre plan ABC vu que c’était dans le prolongement de BA et bien LC vu que C appartient forcement au plan ABC et L aussi, et bien LC dans le plan rose coupait Delta en un point M et ça y est là c’était le déblocage de tout l’exercice car le point M correspond à l’intersection de ton plan ABC avec la droite Delta et ce sont ces points là que tu cherchais. Tu cherchais les points sur chacune des droites noires qui étaient le résultat de ‘l’intersection entre ton plan ABC et chacune de ces droites noires et si tu les avais ces points et bien c’était gagné. Tu en obtenais un 1^er M, tu en obtenais un 2ème N en prolongeant AM car c’est une droite de ton plan ABC. M appartient aussi au plan ABC, A appartient au plan ABC, N aussi et petit à petit tu obtenais la trace de ton plan Abc sur chacun des 3 plans. Ici il suffisait de prolonger BM qui appartient au plan ABC et tu obtiens un 3eme point P qui est sur cette droite noire qui appartient au plan ABC également. Voila comment on a construit la trace du plan ABC sur chacun des 3 plans c’est un exercice un peu difficile mais c’est un exercice excellent pour apprendre à construire des traces en 3D c’est-à-dire en géométrie spatiale.