1ère S Homothétie définition
Comment savoir si une transformation dans le plan est une homothétie à partir d’une relation vectorielle?
Bonjour et bienvenue sur Star en Maths, nous avons dans l’exercice d’aujourd’hui 2 points A et B qui sont distincts, 2 points du plan donc. La transformation H qui à tout point M associe le point M’ tel que MM’=MB–AM est-elle une homothétie ?
Donc nous allons essayer de répondre à cette question.
La première chose pour savoir si la transformation est une homothétie, il faut savoir ce qu’est une homothétie. Une homothétie c’est une transformation dans le plan qui a un centre et un rapport, c’est un réel non nul.
Donc toute homothétie de centre O transforme un point M en M’ dans le plan de telle façon à ce que le vecteur OM’, donc le vecteur final est égal à k×OM sachant que K est le rapport de l’homothétie. Ce nombre k c’est donc un nombre réel qui ne peut pas être nul.
Donc ce que l’on va faire c’est qu’on va essayer de savoir si cette transformation que l’on nous défini ici avec cette relation vectorielle là est une homothétie.
<calcul mathématique>
Si on trouve une relation de cette sorte là, donc si on trouve un I et un K avec cette relation vectorielle là on a gagné et on aura prouvé en fait que notre transformation est une homothétie de centre I et de rapport K. Donc ce qu’il faut faire c’est chercher ces 2 choses là, si on ne les trouve pas et bien ça veut dire que notre transformation n’est vraisemblablement pas une homothétie. Donc comment on va chercher ceci ? On va partir de la relation vectorielle qu’on nous donne.
<Schéma mathématique>
Donc finalement, est ce que tu ne reconnais pas une relation ici que tu as l’habitude d’utiliser qui est que si tu prends 2 points du plan donc les points A et B ici et n’importe quel point M et bien tu peux construire un parallélogramme à partir de ces 3 points A, M et B en utilisant justement cette relation vectorielle MM’=MB+AM.
Finalement ce parallélogramme c’est le parallélogramme ici AMBM’.
Donc ici j’ai clairement un parallélogramme qui est AMBM’. Et là il faut penser à une astuce qui n’est pas évidente c’est que le point M’ tu aurais pu le construire d’une autre façon. Tu aurais pu le construire en introduisant le milieu I de A et de B puisque le milieu I de A et de B il se trouve finalement que c’est le milieu du parallélogramme donc le milieu des diagonales ici.
<Schéma mathématique>
Donc finalement mon idée c’est de transformer cette relation vectorielle là en une relation qui ressemble à celle ci mais ça tu l’auras bien compris.
Et donc si on trouve une relation qui ressemble à celle ci on aura trouvé I et k et donc on aura prouvé que notre transformation est une homothétie. Donc bien sûr ici les points I ne sont pas forcement les mêmes. On ne sait pas si ce point là I existe ni même si ce rapport k existe. Donc continuons :
<calcul mathématique>
Donc on a bien résolu notre exercice en trouvant que notre relation est bien une homothétie et plus précisément on a trouvé le centre de notre homothétie qui est en fait le point I correspondant au centre de A et de B, ou plutôt au milieu du segment A et B. Cette homothétie est de rapport -1 donc k=-1.
L’idée bien sûr dans cet exercice c’était de te rappeler donc de la définition d’une homothétie. Une homothétie elle a une relation vectorielle qui est caractéristique et cette relation c’est celle ci, c’est que le point M’ final il est de telle sorte à ce que le vecteur IM’=kIM avec M le point initial qu’on va transformer. I étant le centre de l’homothétie et k son rapport. Donc une fois que tu t’étais rappelé cette définition de l’homothétie il t’a fallu faire un schéma puisque tu as 2 points A et B distincts dans le plan donc tu n’as qu’à placer arbitrairement sur ta copie ou sur ton brouillon 2 points A et B, c’est ce que j’ai fait ici.
Ensuite tu prends le point M n’importe où et tu essayes de transformer ce point M en le point M’ d’après la relation vectorielle donnée dans l’exercice. Tu construits donc M’ et à partir de là tu essayes de réfléchir et tu essayes de trouver une relation vectorielle plutôt qu’elle soit comme celle ci ce qui ne correspond à aucune transformation connue du cours et bien d’obtenir une relation vectorielle qui transforme le point M en le point M’ qui ressemble à celle ci.
Et si tu retrouves une relation vectorielle qui ressemble à celle ci c’est gagné, tu auras montré que ta transformation est une homothétie de centre I et de rapport k et nous c’est ce qu’on a fait.
D’après notre figure on a déduit que puisque cette relation vectorielle qu’on nous donnait dans cet exercice c’est une relation typique d’un parallélogramme et bien tu sais que le quatrième sommet de ce parallélogramme ici il peut être construit avec l’introduction du milieu de A et de B donc I le milieu du parallélogramme, le milieu de cette diagonale. Et MM’ ça devient 2MI et à partir de ça c’est très facile de transformer cette relation là pour en obtenir une comme celle ci. Et celle ci c’est typique d’une homothétie puisque c’est une relation correspondant à cette relation-là.
