Identité remarquable : Différence de deux carrés
- par Romain
- dans 2nde, Calcul de base
- sur 1 mai 2013
Dans ce cours de Maths en vidéo, nous expliquons l’une des 3 identités remarquables, la différence de deux carrés (a²-b² = (a-b)*(a+b) )
Transcription texte de la vidéo | SelectMontrer> |
---|---|
Bonjour et bienvenue à toi. J’espère que tu vas bien, ici Romain. Alors, dans cette vidéo on va présenter une des trois identités remarquables, qu’on appelle la différence des deux carrés. Alors les trois identités remarquables sont excrément importantes en mathématiques, on les rencontre très souvent, je pense qu’on te l’a déjà dit. Donc, là je vais t’en présenter une, la différence des deux carrés. On peut l’appeler comme ça en français et je pense que quand on l’appelle comme ça tu comprends à quelle identité remarquable je fais référence. En fait c’est à celle-là: a carré (premier carré) moins b carré (deuxième carré), donc voilà on a bel et bien la différence de deux carrés. Ca c’est la forme développé et là, après l »égal on va avoir la forme factorisé. Egal, a moins b facteur de a plus b. On début quand tu est en train de les apprendre ce n’est pas forcément évident de faire la différence car elles se ressemblent. Mais il faut bien les retenir. Donc au début il faut y aller pas à pas, il faut essayer de les comprendre et de mettre les mains dans les cambouis. De remplacer a et b par des nombres et de voir pour quoi ça fait ça. Là, en occurrence, on te donne des identités remarquables – identités veut juste dire égalité- , donc ce sont bel et bien des égalités. Alors, pour quoi ne pas vérifier que le membre de gauche est égal à celui de droite. Et ceci on peut le faire en utilisant la petit règle de développement. Et là je vais te montrer quand est que cette identité peut être utile. Dès que tu as en carré et même deux…Tu verras que tu vas pouvoir utiliser cette identité dans beaucoup des cas et pas seulement dans ceux que tu crois. Alors X2 moins 36. Ca tu pourrais le factoriser pour quoi? parce que 36 est le carré parfait de 6, alors c’est la différence des deux carrés. Donc finalement la forme factorisé serait : 49 c’est 7 au carré enfin il y en a d’autres 64 c’est 8 au carré Au moins ceux là il faut les connaître Maintenant je vais te montrer une situation où tu ne vois pas si clairement que tu pourrais utiliser cette identité remarquable, pourtant tu pourrais. Si tu voix 1 – X au carré et on te demande de factoriser cette expression. A chaque fois je te donne des exemples où on nous demande de factoriser une expression. Je te rappelle qu’en mathématiques factoriser c’est très utile: ça sert notamment à résoudre des équations ou à chercher le signe d’une expression. Par exemple si on a 1 – X2 égal à 0, je pense que ça vaut le coup de factoriser, c’est à dire, convertir la somme en produit, car on sait que si un produit est égal à zéro la règle nous dit que ceci est juste possible si un des facteurs est égal à 0. C’est un règle de collège qu’à mon avis tu connais. On va enlever le 0 pour ne pas se mettre dans un cas particulier et on va factoriser 1 moins x au carré. Et bien, 1 ne serait-ce pas un carré? Et oui, 1 aussi est un carré parfait, c’est le carré d’1. Voilà donc comment tu peux utiliser cette identité remarquable dans ce cas là alors que de prime abord tu ne vois pas forcément deux carrés. Ca se rassemblait au premier cas sauf qu’il fallait se souvenir que 1 c’est le carré de 1. Là on va aller un petit peu plus loin et tu vas voir un troisième exemple de cette identité remarquable. Pour ça, en fait, il faut se rappeler que tout nombre positif est le carré de quelque chose. Donc tu peux mettre un numéro positif comme le carré de quelque chose. Par exemple si je prends 5, c’est le carré de quoi? C’est le carré de racine de 5. Tu comprends? Imaginons donc que on a 5 moins 3 tu peux utiliser cette identité pour factoriser l’expression. 5 est le carré de la racine carré de 5 moins 3 qui est le carré de racine de 3, donc là tu as bel et bien la différence des deux carrés. Donc a c’est racine de 5 et b c’est racine de 3. A la fin, donc ça c’est égal à racine carré de 5 moins racine carré de 3 (on ferme la parenthèse) fois racine de 5 plus racine carré de 3. Donc ça, qui fait tous simplement 2, tu aurais pu le transformer dans le produit des deux noms. C’est un petit peu bizarre et c’est ne pas évident de prime abord. Tu aurais pu avoir 5 moins x au carré égal à 0. Là je t’encourage à transformer ceci en carré de racine carré de 5 moins x au carré, donc produit de racine carré de 5 moins x fois racine carré de 5 plus X, donc la tu as un produit des facteurs égal à 0 et donc tu peux avancer dans la résolution de ton équation. Donc c’est ça que je veux te dire: beaucoup de nombres peuvent se transformer dans un carré. En fait tout nombre positif. Donc c’est là que j’ai essayais de te montrer dans cette vidéo, c’est que cette expression peut t’aider dans les exercices. Donc je te disais que cette identité servait à factoriser une expression. Et ceci aide à résoudre des équations. Si tu as un produit égal à 0. Tu peux utiliser la règle dont je t’ai parlé tout à l’heure et résoudre ton équation ou trouver le signe de l’expression. Cette identité remarquable là te permet de factoriser certaines expressions, les différences de deux carrés positifs. Dès que tu as un nombre positif tu peux le transformer dans un carré. On peut aller plus loin, si tu as a moins b égal à 0 et tu sais que a est supérieur à 0 et b est supérieur au 0, donc ce sont deux nombres positifs. Alors on peut mettre racine carré de a au carré moins racine carré de b au carré. Et là ça se factorise en racine de a moins racine de b fois racine de a plus racine b. Ce sont des choses qui vont te permettre d’avancer dans la résolution de ton exercice. Il ne faut pas attendre à que les carrés soient présentés clairement « tous beaux » sous tes yeux et il faut essayer de transformer les choses. En mathématiques il faut mettre la main à la pâte, tu te rendras compte que parfois tu essayeras de transformer cette identité remarquable et ne marchera pas et d’autres elle marchera. Voilà donc pour cette fameuse différence des deux carrés. |
Tags: cours maths, factorisation, factoriser, identité remarquable, racine carrée, vidéo