2nde
Les identités remarquables : somme au carré et différence au carré
vidéo 1/2 : présentation des deux identités remarquables
Bonjour et bienvenu toi dans ce cours star en math, ici Romain, j’espère que tu vas bien.
Alors dans ce cours nous allons présenter les deux identités remarquables qu’on appelle « somme au carré » et « différence au carré ».
Alors dans une autre vidéo je t’ai déjà présenté ce qu’on appelle la « différence de deux carrés », la troisième identité remarquable si tu veux :
« Calcul mathématique »
Et là je vais te présenter les deux autres, peut-être celles qu’on voit souvent en premier. Enfin ça dépend, il n’y a pas vraiment d’ordre dans les identités remarquables.
De toute façon il faut juste savoir qu’elles sont trois, et celles-ci, on pourrait presque dire qu’elles se ressemblent et que c’est presque la même identité remarquable.
Somme au carré et différence au carré, il y a juste une petite chose qui change : un signe.
Alors, je vais te les rappeler tout de suite ces deux identités remarquables, et après je vais te montrer une situation dans laquelle tu peux les utiliser.
Alors je te rappelle que les identités remarquables dans les exercices de mathématiques sont omniprésentes, elles servent tout le temps parce que ces formes-là, en fait que je vais te rappeler tout de suite :
(a+b), le tout au carré et (a-b), le tout au carré : ce sont vraiment ces deux identités remarquables qu’on va voir.
Ce genre de formes tu les retrouves partout dans les exercices donc il faut savoir jongler un petit peu avec elles.
Et les identités remarquables, elles ont une utilité, elles peuvent servir à ce qu’on appelle factoriser une expression en mathématiques.
Factoriser je te rappelle que ça consiste à changer une expression, à la transformer en un produit de facteurs, et avoir une expression sous la forme d’un produit de facteurs, c’est très utile parce que ça te permet de résoudre une équation, ça te permet de chercher le signe de l’expression plus facilement etc.
Donc voilà les deux identités remarquables que je voulais te montrer. (a+b) le tout au carré, qu’est-ce qu’on observe sur la première ? En français, comment tu la décrirais ?
Et bien, c’est bien une somme de nombres au carré, si tu veux, c’est plus rapidement dit, c’est une somme au carré.
Et là on a bel est bien une différence de nombres, le tout au carré.
Voilà donc c’est pour ça que je leur ai donné un nom « somme au carré » et « différence au carré ».
et la troisième, il ne faut pas confondre, c’est la différence de deux carrés. Il y a deux carrés, c’est a carré moins b carré. C’est pour ça qu’on dit qu’on a une différence de deux carrés.
mais cette troisième identité remarquable je te l’ai déjà présentée dans une vidéo que tu pourras trouver sur star en math TV.
Donc une identité en mathématiques, ça veut dire égalité en fait. Donc les identités remarquables, on aurait vraiment pu les appeler égalités remarquables.
Donc là, comme ça tout seul, ce n’est pas vraiment des identités remarquables, il faut mettre quelque part un égal et ensuite il faut savoir ce qu’on met derrière.
Donc les identités remarquables il faut apprendre non seulement ce membre là mais aussi les deux membres qu’on va mettre ici à droite;
Donc les deux membres qu’on va mettre ici à droite, tu pourrais presque les trouver par toi même finalement, sans même les connaitre par cœur.
Et comment les trouver ? Et bien en développant ces expressions, ici à gauche.
Donc (a+b), le tout au carré, comment tu pourrais développer ça en fait ?
Tu pourrais développer ça parce que (a+b) le tout au carré, c’est aussi (a+b) facteur de lui-même parce qu’un nombre au carré c’est le nombre facteur de lui-même.
Donc (a+b) facteur de (a+b). Donc on peut le mettre. Je vais le faire juste en dessous, comme ça on va écrire l’identité remarquable proprement ici.
Donc (a+b) le tout au carré, donc je te disais que c’est égal à (a+b) facteur de (a+b).
Je t’encourage vraiment à faire ce petit calcul, parce que c’est ça qui te permet de te rendre compte, de bien vérifier les identités remarquables, de bien comprendre comment elles fonctionnent.
Donc (a+b) le tout au carré c’est ça et là tu peux utiliser les petites règles de développement que tu connais. Donc ça fait :
« calcul mathématique »
Voilà donc pour la forme développée de cette identité remarquable et ici à gauche on a la forme factorisée parce qu’on a bel et bien un produit de facteurs.
Je te rappelle qu’un carré c’est un produit de facteurs donc c’est une forme factorisée finalement un carré. Et ici on a une forme développée puisqu’on a une somme de termes. Une forme développée ça peut aussi être une différence, il peut y avoir des plus ou des moins.
Maintenant pour la deuxième identité remarquable, et bien tu te rends compte qu’il n’y pas grand chose qui change dans cette deuxième identité remarquable, il y a juste un moins ici.
Et donc, qu’est-ce qui va changer quand tu développes ? Au lieu d’avoir (a+b), le tout au carré, tu as (a-b) le tout au carré. Et bien on va le faire.
(a-b), le tout au carré, c’est aussi (a-b) facteur de (a-b). Ensuite, quand tu utilises les petites règles que tu connais, en gros c’est illustré par les 4 flèches vertes que j’ai faites ici :
« calcul mathématique »
Et donc ça, c’est la forme développée de ton identité remarquable qu’on appelle « différence au carré », c’est a carré moins 2ab plus b carré.
Donc ce que je veux faire passer aussi comme message en ayant fait ces petits calculs de développement, c’est que quand tu rencontres une nouvelle formule mathématique, et bien n’hésite pas à mettre les mains un petit peu dedans, à essayer de transformer les nombres, de changer les lettres en des nombres, d’essayer de développer, d’essayer de factoriser.
D’essayer un petit peu quelques manipulations sur la formule, pour bien comprendre comment elle marche.
J’appelle ça triturer un petit peu la formule.
c’est pas du tout anodin, je t’invite à le faire dès que tu rencontres une formule, c’est ça qui permet de la comprendre un petit peu;
Tu vois si tu restes à ta connaissance par cœur de tes identités remarquables, et bien tu auras peut-être du mal parfois à les distinguer, à voir les différences entre elles et donc à les retenir.
Parce qu’il faut avant tout bien voir les différences entre les trois identités remarquables pour les retenir parce que si tu trouves qu’elles se ressemblent un peut trop, si tu les confonds et bien tu ne les retiendras jamais.
donc pour bien voir les différences et donc pour bien les retenir, il faut absolument que tu les manipules un minimum, que tu les tritures un minimum.
Et c’est ce que nous venons de faire ici en bleu, en les développant.
Donc maintenant, juste pour rappel, la forme que nous avons ici à gauche, c’est ce qu’on appelle la forme factorisée parce que nous avons des carrés, nous avons bel et bien des produits de facteurs.
Un carré c’est un produit du même facteur finalement.
Et à droite nous avons la forme développée de ces deux identités remarquables.
Donc maintenant ce que je vais faire c’est juste te montrer un petit cas de figure dans lequel on peut utiliser ces identités remarquables.
Par exemple pour factoriser un polynôme du second degré.
2nde
Les identités remarquables : somme et différence au carré
vidéo 2/2 : utilisons-les pour mettre un polynôme du 2nd degré sous forme canonique
Donc concluons maintenant cette vidéo avec un petit exemple d’utilisation de l’une de ces 2 identités remarquables.
Donc un petit exemple : si je prends par exemple le polynôme x au carré moins 2x moins 3.
Alors ce genre de fonction -je pourrais mettre f(x) égal ça- on appelle ça un polynôme du second degré.
Tu vas vraiment beaucoup les étudier à partir de la seconde, en lycée, parce que les polynômes du second degré, ce sont vraiment des fonctions qu’on rencontre dans pas mal de situations concrètes finalement.
Par exemple quand tu lances une balle de tennis, et bien la trajectoire de la balle de tennis dans l’air, c’est un petit peu ce qu’on appelle une parabole. Bon ce n’est pas tout à fait vrai en physique mais ça ressemble quand même à une parabole et une parabole c’est la courbe d’une fonction polynôme du second degré.
Donc les polynômes du second degré sont vraiment très intéressant à étudier et tu peux savoir par exemple quand tu as lancé ta balle de tennis, avec une certaine vitesse initiale, et bien tu peux savoir, en physique, tu obtiens sous certaines conditions un polynôme du second degré et tu peux savoir où ta balle va tomber exactement.
Donc voilà une utilisation concrète par exemple d’un polynôme du second degré, c’est la trajectoire en fait, en balistique on appelle ça la trajectoire de choses que tu lances, de boulets de canon, de n’importe quoi.
Donc voilà un polynôme du second degré, et ce qu’il est intéressant de faire sur un polynôme du second degré c’est d’essayer de le factoriser généralement;
Parce que quand tu factorises un polynôme du second degré, tu peux résoudre l’équation : ceci égal 0.
Donc là tu vois qu’on a bel et bien une équation : on a x au carré moins 2x moins 3, le tout égal 0.
Et pour résoudre ce genre de choses, tu ne peux pas utiliser les techniques que tu connais depuis le collège, c’est-à-dire essayer d’isoler le x, de le mettre tout seul d’un coté, ça ne marchera pas.
En fait, on appelle ça une équation du second degré, et pour résoudre une équation du second degré, il faut absolument essayer de factoriser ton polynôme ici à gauche.
Comme ça tu auras un produit de facteurs ici à gauche, et là, tu connais une règle de collège qui te dit :
Un produit de facteurs égal 0 si et seulement si l’un au moins des facteurs égal 0.
Et donc tu pourras avancer dans la résolution de cette équation à partir de ça.
Sans factorisation par contre tu ne peux rien faire.
Donc pour factoriser ça, tu peux utiliser l’identité remarquable, celle-ci : a moins b, le tout au carré. Et je vais te montrer comment faire.
Donc là je vais aller assez vite pour cet exemple. Je t’ai déjà montré dans une autre vidéo star en math TV comment essayer de factoriser un tel polynôme du second degré.
En fait il faut d’abord passer par ce qu’on appelle la forme canonique et l’une de ces identités remarquables, la somme au carré ou la différence au carré, te permet de le faire.
Donc en seconde normalement tu dois voir les trois forme d’un polynôme du second degré : la forme développée, comme ceci, ax2+bx+c, la forme canonique et aussi la forme factorisée, à laquelle tu peux arriver selon la forme canonique. Ce n’est pas toujours possible mais des fois c’est possible.
Donc là, on va essayer de mettre ça sous forme canonique. Et comment nous allons faire ?
Et bien en fait, ce qu’il faut essayer de faire… Donc là je vais t’expliquer assez rapidement les choses, je répète que je t’ai déjà expliqué ça en détail dans une autre vidéo de star en maths.
En fait il faut essayer de transformer les deux premiers termes, à l’aide de l’une de ces deux identités remarquables.
Vu qu’il y a un moins il faut essayer d’utiliser la 2ème, (a-b), le tout au carré. Et qu’est-ce que tu remarques dans la forme développée de cette identité remarquable-là ?
Et bien tu as a carré moins 2ab ici. Et en fait, il faut essayer d’identifier, de faire en sorte que ces deux termes soient les mêmes.
Donc a carré ce serait ton x carré. Le -2ab ce serait ton -2x. Donc à ton avis ton a ici en noir, ça correspond à quoi ? Ça correspond à x en vert.
Le b il correspond à quoi ? -2ab, on a dit que le a ce serait x donc -2ab ce serait -2x fois b. Donc le b ça voudrait dire qu’il vaut 1 tout simplement.
Donc ici, je reprends la couleur verte, en prenant a=x, et b=1 et bien, qu’est-ce que ça vaut tout ça ? Et bien on obtient, je reprends juste l’identité remarquable :
« Calcul mathématique »
Et donc là je vais re souligner avec une accolade, x au carré moins 2x. Tu vois que tout ce polynôme que nous souhaitons transformer, là c’était juste un petit calcul intermédiaire, et bien regarde ce que ça donne après. Ici je mets un égal :
« Calcul mathématique »
On ne va pas redévelopper ici, ce qu’on veut c’est arriver à la forme canonique.
La forme canonique, je te le remets ici en noir, c’est :
« Formule mathématique »
C’est ça la forme canonique, c’est un petit peu complexe au début, quand tu ne comprends pas bien ce que c’est. C’est ça la forme canonique d’un polynôme du second degré.
Et la forme développée, je te l’ai dit tout à l’heure à l’oral, c’est :
« Formule mathématique »
Et c’est exactement ce que nous avons ici, au début nous avons vraiment une forme développée de notre polynôme du second degré.
Et la forme factorisée tant que j’y suis c’est :
« Formule mathématique »
Tu vois bien que c’est une forme factorisée, on n’a que des produits ici, on a a fois quelque chose, fois quelque chose d’autre. Alors qu’ici on a une somme et ici aussi on a une somme.
Donc revenons maintenant à notre petit calcul, on obtient comme forme canonique :
« Calcul mathématique »
Donc là on a bel et bien une forme canonique : notre a il vaut 1. De toute façon notre a il valait 1 on pouvait le voir dès le début puisque notre coefficient devant le x au carré il vaut 1.
Ensuite, le alpha, il vaut 1, le beta il vaut -4. Et en fait, le alpha et le beta, ils ont une signification très concrète, ce sont les coordonnées du sommet de la parabole.
EN fait ta parabole ça peut être un bol ou une montagne (un bol à l’envers).
Donc la parabole correspondant, c’est la courbe de cette fonction polynomiale du second degré, dans un repère orthonormé.
Donc si tu ne sais pas encore tout ça, il ne faut pas t’inquiéter, tu vas apprendre petit à petit ces choses là. Tu peux apprendre sur star en math TV.
Tout simplement, ce que je suis en train de te dire c’est que la courbe d’un polynôme du second degré, c’est une parabole et que alpha et beta sont les coordonnées du sommet de cette parabole
Donc ici tu obtiens (x-1) au carré moins 4. On n’a pas encore une forme factorisée mais tu peux factoriser ceci parce que 4, c’est 2 au carré.
Et tu peux factoriser ceci grâce à la troisième identité remarquable dont je n’ai pas parlé ici mais dont je t’ai expliqué tous les détails dans une autre vidéo.
La fameuse identité remarquable qui s’appelle la différence de deux carrés. Et ici tu as bel et bien une différence de deux carrés : (x-1) au carré moins 2 au carré.
Et donc ça, ça donne quand tu factorises :
« Calcul mathématique »
Donc voilà, tu obtiens la forme factorisée de ton polynôme et donc là c’est gagné, tu peux aller plus loin dans l’étude de ce polynôme.
Donc voilà le petit exemple que je voulais te donner. Je suis allé un petit vite je te l’accorde dans cette vidéo.
Mais c’est tout à fait normal, c’est un calcul qui n’est pas évident au premier abord, on appelle ça la mise sous forme canonique d’un polynôme du second degré.
Si tu es en première, tu verras un outil qui est beaucoup plus rapide et qui te permet de factoriser un polynôme du second degré, très rapidement : ce qu’on appelle le discriminant, ce qu’on appelle delta.
En seconde, quand tu n’as pas cet outil-là, tu es obligé de passer par ce calcul, un petit peu complexe au début, que j’ai essayé de te montrer dans cette vidéo, et qui utilise surtout l’une de ces 2 identités remarquables.
Donc voilà, une utilité de ces identités remarquables. Et sinon, elles ont plein d’autres utilités beaucoup plus simples;
Dans tous les exercices, tu peux rencontrer soit cette forme-là, soit cette forme-là, et passer de l’une à l’autre grâce à ta connaissance de ces 2 identités.
Voilà donc ce que je voulais te dire sur ces deux identités remarquables.
J’espère que tu as bien compris et je te dis à la prochaine dans une autre vidéo.
2 réponses
salut romain j’ai une question: comment on prouve que:
(1000-0.00003^2-〖10〗^3)/(9×〖10〗^(-9) )-0.15
désole romain c’est tout ce que je peux faire pour l’équation parce que sur Word je l’ai très bien écrit mais sur ce commentaire j’arrive pas a la coller comme je veux qu’elle soit alors j’espère qu’elle soit compréhensible comme ça merci.
(1000-0.00003^2-〖10〗^3)/(9×〖10〗^(-9) )=-0.15
j’ai oublie de mettre le = dans le premier commentaire