La Réunion et l’Intersection de deux intervalles, comment ça marche ?

Bonjour à toi et bienvenu dans cette nouvelle vidéo dans laquelle nous allons présenter ce qu’est la réunion et l’intersection de deux intervalles en mathématiques.
Dans cette vidéo, j’explique à l’un de mes élèves, Robin, dans le cadre du programme star en maths seconde, comment ça marche un intervalle, qu’est-ce que c’est, et ensuite, comment déterminer la réunion et l’intersection de deux intervalles.
Donc je vais expliquer bien sûr ce que c’est que la réunion de deux intervalles, quel est le symbole qui correspond à la réunion et ce que c’est que l’intersection de deux intervalles et le symbole bien sûr correspondant.
Dans cette vidéo tu vas apprendre une tactique pour simplifier une réunion de deux intervalles ou une intersection de deux intervalles.
Donc j’espère qu’à la fin de cette vidéo tu seras à l’aise sur la notion d’intervalle et sur les opérations qu’on peut faire sur intervalle puisque finalement ce sont des opérations : donc la réunion première opération et l’intersection de deux intervalles, la deuxième opération.

-Donc tu imagines que je te donne l’intervalle [1;3]. Donc tu vois tu as différents types d’intervalles, on va commencer par celui-là. Qu’est ça représente ça déjà pour toi ?
-Qu’on inclut le 1 et le 3.
– C’est vrai mais qu’est-ce que c’est qu’un intervalle finalement ? Qu’est-ce que ça représente ? C’est un nombre ? Un paquet de nombres ? Une fonction ?
– tous les nombres entre 1 et 3
– C’est ça, en gros, comme tu m’as dit, c’est 1, je donne des exemples, 1,2 ; 2 jusqu’à 3. Je pense que tu as bien compris ça. Tu dirais qu’il y a combien de nombres entre 1 et 3 comme ça ? Est-ce que tu peux les compter ?
– une infinité.
– Voilà, il y en a une infinité effectivement puisque tu peux mettre 1,002 ça marche, 1,0002 ça marche encore. Ça va, tu me suis jusqu’ici Robin ?
– ouais ouais
– ok pas de problème

-Maintenant si je fais Union, l’intervalle [1;3] union, ça se dit comme ça, [4;7].
Alors déjà, le premier intervalle, je fais un axe des nombres. Tu mets le 0, on l’imagine là par exemple. Là je mets le 1 et le 3. Donc là ton premier intervalle il était là. En gros, c’est toi-même qui m’as dit, le premier intervalle, celui-ci, c’est tous les nombres entre 1 et 3.
Donc je peux le hachurer comme ça. Et maintenant qu’est-ce que ça représente tout ça, tout ce que je vais mettre en vert ? Quels sont les nombres que tu as là-dedans ?
– Tous les nombres de 1 à 7.
– Alors, est-ce que tu es sûr de ça ? Parce que si on avait voulu dire tous les nombres de 1 à 7, on aurait mis direct [1;7]. Tu es d’accord ? Et là ce n’est pas ce qu’on a marqué. Qu’est-ce que c’est la différence entre les 2 ?
Tu vois, là on va de 1 à 3 et après, on repart de 4 et on va jusqu’à 7. Donc, tous les nombres verts c’est lesquels sur mon axe en noir ? Est-ce que tu saurais me dire ? Ce ne sont pas tous les nombres entre 1 et 7 mais presque en fait.
– Euh non je ne vois pas.
– (rire) Tu ne vois pas. IL ne faut pas hésiter à me dire si tu ne vois pas du tout : « euh Romain, je n’ai rien compris, est-ce que tu peux réexpliquer? »
Donc en fait, là, de 1 à 3 ça marche toujours, ils sont toujours dedans, mais ensuite tu repars de 4 tout simplement et tu vas jusqu’à 7. Et en fait, ils sont même inclus, je vais mettre des crochets comme ceci, qui rentrent et les nombres verts c’est aussi ceux-là.

– Tu vois ? Donc en gros, si je te pose une question, par exemple : 2,8 est-ce que c’est un nombre vert ? Est-ce qu’il appartient à tout ça, c’est ça que je veux dire quand je dis c’est un nombre vert.
– Ben oui.
– Oui ça marche. Est-ce que 2,99 ça marche ?
– aussi oui.
– ça marche. Est-ce que 3,2 ça marche ?
– euh oui.
– Alors non ! Parce qu’il est là le 3,2. Ça ne rentre pas dedans. Alors 3,2 il n’appartient pas, ça se note comme ça, tu mets appartenir et tu le barres, il n’appartient pas à -alors tout ça ce n’est pas un intervalle, on appelle ça plutôt une réunion d’intervalles, tout simplement parce qu’il y a un « union » entre deux intervalles.
Tu comprends ça ? Donc en fait ça te permet de construire des paquets de nombres, ce symbole union, qui ne sont pas forcément collés.
Donc c’est comme ça que tu noterais, 3,2 n’appartient pas à notre réunion d’intervalles. Donc c’est important que tu comprennes déjà ce symbole réunion.
– En fait c’est les nombres qui appartiennent à [1;3] et [4;7].
– Voilà. Je ne te l’ai pas dit comme ça ? C’est la façon la plus simple de le dire : c’est tous les nombres de 1 à 3 et aussi de 4 à 7.

-Bon ben très bien pour ça. Une réunion d’intervalles, je vais tout effacer, tu pourrais aussi très bien la noter comme ça, je vais t’en mettre une autre : [4;7] union [-1;2].
Alors ce que je t’encourage à faire, pour bien te représenter les nombres qu’il y a dans cette réunion, c’est de faire un axe comme on a fiat tout à l’heure.
Tu fais un axe, tu peux mettre ton 0 si tu veux mais tu mets surtout les nombres que tu as dans cette réunion. Donc tu mets -1, tu peux mettre 2, tu mets 4 plus loin à droite, et 7 encore plus loin à droite.
Et maintenant est-ce que tu peux me dire comment on va avoir cette réunion ? Où est-ce qu’ils sont ces nombres ?
– Les nombres de -1 à 2 et de 4 à 7.
– Voilà, bon tu as vu, ce n’est pas sorcier. Tu peux les hachurer comme ça de façon à dire que c’est vraiment tous les nombres de -1 à 2 et aussi de 4 à 7.

– Bon très bien alors maintenant une autre réunion d’intervalles, si je vais jusqu’à 5 ici. Ici je vais mettre 5, de -1 à 5. Donc là on va tout effacer l’axe que j’ai mis en dessous.
Essaie vraiment de mettre un axe, si vraiment tu ne vois pas bien ce que tu as sous les yeux comme réunion d’intervalles ou on va voir après, comme intersection d’intervalles, et bien il faut faire un axe. Donc là tu fais ton axe et c’est pareil, tu refais la même chose, tu places tes nombres : -1, 5, du coup le 4 il est là, et le 7 il est plus loin, à droite.
Ok, donc maintenant, qu’est-ce que c’est cette réunion d’intervalles là ? À ton avis ?
– Donc les nombres de 4 à 7 et de -1 à 5.
– ça marche. Donc tu as vu si je les hachure : 4 il est inclus et 7 aussi. Donc je vais les hachurer. Et -1 jusqu’à 5. Je vais les hachurer aussi. Qu’est-ce qui se passe à ton avis ? Est-ce que ça ce n’est pas simplifiable ? En un intervalle plus simple ? C’est quel intervalle finalement ?
Parce que tu as vu c’est tous les nombres de -1 jusqu’à 4 mais aussi 4 et de 4 à 5 et aussi de 5 jusqu’à 7 inclus.
– De -1 à 7.
– Voilà. Tu vois, tu as tout compris, c’est bien. Et en fait c’est vraiment le genre de questions que tu pourrais avoir lors de ton devoir surveillé. On pourrait te dire « simplifier telle réunion d’intervalles ». Tu vois ?
Et la méthode qu’il faudrait utiliser, ce n’est pas vraiment une méthode, c’est plutôt une technique, tu fais un axe comme on a fait, tu places tes nombres et tu regardes quels sont les nombres en fait qui appartiennent à ta réunion d’intervalles. Et à la fin tu regardes si c’est simplifiable ou pas. Tout ne sera pas forcément simplifiable, tu pourras avoir des petits pièges.

– ON va passer à l’autre symbole, parce que tout ça on a vu que c’était des réunions, on l’a dit à l’oral souvent. Ça c’est une réunion. Une réunion ça réunit au moins deux choses, ça réunit deux intervalles. Réunion de deux intervalles. Ici [4;7] premier intervalle et [-1;5] deuxième intervalle.
Alors maintenant on va voir l’intersection. Est-ce que tu as une idée de ce que c’est que l’intersection ? Je vais te mettre par exemple [0;5], premier intervalle, inter -c’est le U à l’envers maintenant, c’est une sorte de pont si tu veux- inter [3;7].
Et là, la même question, quels sont les nombres qui appartiennent à tout ça ? Alors déjà tout ça, ça s’appelle une intersection. Tu as vu ça ? Tu as vu ce symbole. Il ne faut pas hésiter à me dire si je te parle de choses que tu n’as pas vues.
– Oui j’ai vu ça.
– Voilà, donc intersection d’intervalles. Alors est-ce que tu saurais ce que c’est que ça ? Quels sont les nombres qui sont dans cette intersection ?
– Euh, les nombres de 0 à 7.
– Alors ici, ça ne marche plus. Si je t’avais écrit ça comme ça, [0;5] Union, mais avec un Union, [3;7] et bien déjà, je t’aurais quand même encouragé à faire le petit axe, on va le faire en-dessous. Tu mets 0, tu mets 5, 3 qui est forcément un eu à gauche de 5 et 7 plus loin à droite.
Et donc là, premier intervalle de 0 à 5 et deuxième de 3 à 7 donc oui, tous les nombres ici, c’est de 0 à 7. Donc ça te donne cet intervalle-là. Donc ça oui, c’est bien égal à ça.

Mais ici tu as un « inter » et l’inter, ça ne veut plus dire tout à fait la même chose en fait. À ton avis qu’est-ce que ça veut dire « inter » ?
– A l’intérieur.
– C’est une idée, on pourrait dire ça. On va utiliser ce que tu m’as dit. Inter ce sont les nombres qui sont à l’intérieur de [0;5] et à l’intérieur de [3;7]. Tu vois, c’est un « et ».
Alors qu’ici, c’était les nombres qui étaient à l’intérieur de [0;5] ou à l’intérieur de [3;7]. Ce qui n’est pas du tout la même chose en fait. Ce sont deux conjonctions « et » et « ou » qui sont très différentes en mathématiques et qu’on réutilise, enfin surtout en logique mais en mathématiques on els voit surtout là, avec l’union et l’intersection.
Ça c’est l’inter, ça c’est l’union. D’ailleurs tu vois bien, l’union, le « U », c’est comme « ou » et l’inter, c’est le « et », c’est l’autre. C’est une façon de les retenir. Rappelle toi que le U, c’est comme en espagnol, je ne sais pas si tu fais de l’espagnol. C’est quoi ta deuxième langue ?
– allemand.
– allemand, bon et bien raté. Mais en fait le U en espagnol se prononce « ou ». Bon bref tu peux retenir que c’est le « ou ».

– bon bref on regarde, on refait notre petit axe juste en dessous de l’intersection. Tu places ton 0, ton 5, tu places toujours tes nombres, 3 et 7. Tu places toujours tes intervalles [0;5] et [3;7].
Mais par contre je n’ai rien hachuré encore. Quand je hachure je dis vraiment les nombres qui appartiennent à cet ensemble là. Et là, à ton avis, quels sont les nombres qui appartiennent à la fois à [0;5] et à [3;7] ?
– les nombres de 3 à 5.
– Et voilà. Je t’encourage quand même à hachurer les choses. Tu vois on va dire que cet intervalle c’est le vert. Donc de 0 à 5 tu les hachures. Et ensuite le deuxième intervalle on va dire que c’est le orange. Je hachure, de 3 à 7.
Et là, tu regardes quels sont les nombres qui sont à l’intérieur des 2 en fait, de [0;5] et de [3;7], c’est-à-dire qui sont à la fois verts et orange. Le résultat, c’est ce que tu m’as dit, c’est [3;5].
Avec un point virgule. Il faut mettre un point virgule dans les intervalles. Ce n’est pas une virgule, c’est un point virgule.
Alors des fois il faut faire attention, il faut regarder si tu dois inclure le 3 et le 5. A ton avis est-ce que le 3 il est vert et orange ou est-ce qu’il est juste vert ?
– vert et orange.
– Voilà. Donc en fait ce que tu peux dire c’est que ces deux choses-là sont égales. Donc si on te demandait dans un exercice de simplifier toute cette intersection, donc la technique, c’est de faire l’axe, et tu dis à la fin : ça vaut ça.
– En fait la question c’était : donner l’intersection des deux intervalles ?
– oui ça peut être « donner » dans les exercices parfois c’est comme ça, « donner l’intersection ». J’ai utilisé le terme « simplifier » mais ça dépend. Mais tu as bien compris le but de la question.

-Est-ce que ça va Robin jusqu’ici, tu as bien compris les différences entre les 2 ?
– ouais.
– Et du coup si je te demande l’Union entre les 2 ? Et bien l’union on l’a faite. Ce n’est plus [3;5], c’est [0;7]. Donc tu vois bien que ce n’est pas du tout la même chose le « et » et le « ou ».
Donc retiens bien ça. Le « et » ce sont les nombres qui appartiennent et à [0;5] ET à [3;7]. J’insiste bien là-dessus.
Et là, ce sont les nombres qui appartiennent ou à [0;5] OU à [3;7] ce qui est très différent après sur le résultat.
– ok
– Voilà, et bien parfait.