Comment exploiter le fait qu’un point M soit le sommet d’un parallélogramme pour trouver ses coordonnées ?
Bonjour et bienvenue sur star en maths TV !
Nous avons trois points dans l’espace, et il faut trouver les coordonnées du point M tel que ABCM est un parallélogramme. Comment exploiter les coordonnées de ces trois point A,B et C est aussi le fait que le quadrilatère ABCM est un parallélogramme pour trouver les coordonnées du point M ?
Peut-être que tu aurais plusieurs idées pour cela, mais la plus simple est d’exprimer le fait que ABCM est un parallélogramme sous la forme d’une relation vectorielle. Et cette relation vectorielle, elle est très simple si tu fais un dessin rapide.
Puisque ABCM est un parallélogramme, sans même tenir compte des coordonner des points donnés dans l’énoncé de l’exercice, tu peux dessiner un parallélogramme sur un plan 2D, donc sur ta feuille. On a donc les droites (AB) et (MC) qui sont parallèles. Attention, l’ordre des points pour définir un parallélogramme est toujours important. Donc, je répète la question, comment trouver les coordonnées du quatrième sommet de ce parallélogramme M en connaissant les coordonnées dans l’espace des trois autres sommets ?
Tu sais tout simplement que les vecteurs AM et BC sont égaux. Cette relation vectorielle définit tout à fait un parallélogramme. Tu pourrais tout aussi bien dire que les vecteurs AB et MC sont égaux. Peu importe. Tu pourrais exploiter l’une ou l’autre des deux relations vectorielles. Donc, nous cherchons les coordonnées de ce quatrième sommet M que l’on note x,y,z. Et nous allons exploiter la première relation vectorielle écrite. Nous aurions pu tout aussi bien utiliser la deuxième relation vectorielle.
Qu’est-ce que c’est que le vecteur AM ? plutôt que sont les coordonnées de ce vecteur ? je te le donne d’une façon générale : rappelle-toi, ce sont toujours les coordonnées du deuxième point moins les coordonnées du premier point. Il y a trois deltas (un delta est une différence entre 2 nombres) à exprimer : suivant les trois axes, l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées, et l’axe Z. Dans notre cas, vu qu’on a noté les coordonnées du point M x,y,z et que l’on connaît les valeurs des coordonnées du point A, alors nous allons pouvoir déterminer facilement les coordonnées de notre vecteur AM.
(écriture des coordonnées des deux vecteurs).
Je note les coordonnées du vecteur BC juste en dessous, de façon à ce que l’on ait une « égalité visuelle ». On verra tout de suite quelle coordonnée correspond à laquelle. Puisque nous devons exprimer une égalité vectorielle, cela nous sera très utile.
Vu qu’on a égalité entre les deux vecteurs, on obtient le système d’équations écrit. Et, à partir de ces trois relations, tu peux déterminer très facilement les inconnus x,y,z, qui sont les coordonnées du point recherché. Par équivalence, on obtient l’abscisse x égale à -2, l’ordonnée y égale à –1 et la cote z égale à –3. Voilà comment déterminer les coordonnées du point M sachant que ABCM est un parallélogramme.
Alors, quand tu as obtenu ses coordonnées comme ceci en utilisant cette relation vectorielle, tu peux avoir besoin de vérifier ton calcul. Alors, en mathématiques, une bonne façon de vérifier son calcul est d’utiliser une autre méthode pour résoudre l’exercice. Donc, soit tu revérifies tes calculs, mais là, tu réutiliserais la même méthode pour résoudre l’exercice. Mais, une façon sûre d’avoir le résultat est de croiser les conclusions de deux méthodes différentes.
Ici, nous n’allons pas utiliser une méthode qui permet de certifier exactement que le point M appartient au parallélogramme, mais, pour vérifier le résultat, tout simplement, on peut se dire que la distance AM doit être égale à la distance BC. En effet, dans un parallélogramme, les côtés opposés sont de longueur égale. Donc pour vérifier que les coordonnées du point M que l’on vient de calculer sont correctes, tu peux calculer la distance AM et la distance BC, et vérifier que ces deux distances sont égales.
Pourquoi je fais ça, tu pourrais croire que c’est pour complexifier l’exercice. Mais, d’une part, tu n’es pas obligé de le faire. D’autre part, cela te permet de réviser une autre notion du chapitre géométrie dans l’espace : la distance entre 2 points de l’espace.
La formule de la distance entre deux points de l’espace est la suivante : ces racine carrée des différences des coordonnées au carré. En fait, cette formule de la distance entre deux points en 3D est tout à fait analogue à la formule de la distance entre deux points du plan. Ici, vu qu’il y a une troisième dimension, on introduit les coordonnées suivant l’axe Z.. Comme pour la formule de la distance entre deux points du plan, l’ordre des points importe peu. Tu pourrais tout aussi bien inverser les deltas sous la racine carrée. Ceci est dû au carré. Dans notre cas la distance vaut, après calcul, trois. Je te rappelle que ce calcul n’est qu’un simple calcul de vérification. Oublie pas de mettre chaque différence des coordonnées au carré, et de prendre la racine carrée du résultat obtenu.
Rapidement à l’oral, calculons la distance BC en utilisant les coordonnées des points B et C. Heureusement, nous tombons sur le même résultat : à savoir trois. Donc, c’est quand même bon signe, ça signifie, avec une bonne probabilité, que les coordonnées du point M que l’on a trouvé ici sont certainement les bonnes. C’est une façon de vérifier, ce n’est pas une façon sûre, mais c’est quand même une façon de le faire.
Et c’était aussi une façon pour moi de te rappeler la formule de la distance entre deux points dans l’espace 3D. En fait, si tu te souviens bien, cette racine carrée et ces différences de coordonner au carré proviennent de l’application du théorème de Pythagore dans un triangle rectangle bien choisi…
