Les bases de la factorisation

Bonjour à toi et bienvenu dans cette nouvelle vidéo star en maths TV dans laquelle nous allons expliquer comment factoriser une expression.
En fait je vais t’expliquer les bases de la factorisation.
Déjà, dans un premier temps qu’est-ce que c’est qu’un facteur, en mathématiques bien sûr.
Ensuite qu’est-ce que c’est que l’opération de factorisation ? A quoi ça correspond l’opération de factoriser ? Qu’est-ce qu’on veut faire quand on veut factoriser une expression ?
Et enfin, je vais t’expliquer comment factoriser, en fait je vais t’expliquer surtout la première technique de factorisation. Cette première technique, elle consiste en fait, à mettre un élément commun en facteur de quelque chose.
Donc tu trouves un élément commun dans tes termes quand tu as une somme ou une différence au début, tu trouves un élément commun, tu le mets en facteur et ensuite tu ouvres les parenthèses.
Donc je vais expliquer en détails cette technique dans cette vidéo et j’espère que tu seras au point ensuite sur cette première technique de factorisation parce que c’est vraiment la base et la factorisation est très utile ensuite en mathématiques.

Dans cette vidéo tu entendras Robin, l’un de mes élèves actuels que j’aide à progresser en mathématiques dans le cadre du programme star en maths seconde.

– 3x+6 et on te demande de factoriser cette expression. Alors à ton avis, qu’est-ce que ça veut dire factoriser ? Qu’est-ce que c’est pour toi factoriser ?
– C’est mettre sous forme d’identité remarquable ?
– Ce n’est pas tout à fait vrai. Les identités remarquables, il y a des formes factorisées dedans et des formes développées. Mais factoriser ça ne veut pas dire transformer en quelque chose qui ressemble à une identité remarquable. Factoriser c’est plus simple que ça en fait. Est-ce que tu sais ce que c’est qu’un facteur en maths ? Est-ce que tu as une idée de ce que c’est ?
– Ouais, ça me dit quelque chose.
– Ouais ça te dit quelque chose ? EN fait c’est le nom qu’on donne à un élément dans un produit. Quand il y a un fois. Par exemple si tu as A fois B, A c’est un facteur et B c’est le deuxième facteur. Tu vois, c’est juste le nom qu’on donne à l’un des éléments dans un produit. Un produit c’est un fois. Tu savais ça ?
– Oui.
– Donc produit, retiens bien, c’est fois. Et quand tu as une somme par contre, on n’appelle pas ça des facteurs. Quand tu as A + B, comment on appelle A et B ? Est-ce que tu te souviens ? Ou A – B ?
– Euh, non.
– EN fait c’est tout simple, c’est des termes. Donc tu me verras souvent employer ces deux mots qui sont différents : facteurs, c’est dans un produit, dans un fois. Et termes, A et B sont des termes dans une somme ou une différence. Une somme c’est un + et une différence, c’est un -.
Ça va Robin pour ces petits rappels ?
– ça va.

– Et factoriser, c’est lié à facteur évidemment et ça veut dire transformer en un produit. Est-ce que 3x+6 c’est un produit pour toi ?
– Euh oui.
– Et bien pas tout à fait parce que c’est une somme. Tu as d’abord un élément plus un autre élément. Donc ce n’est pas un produit, c’est une somme.
Vu que c’est sous forme d’une somme et non pas d’un produit, le but, quand on te demande de factoriser ça, et bien c’est de mettre ça, 3x+6 sous forme d’un produit.

– Alors comment tu peux transformer 3x+6 en quelque chose fois quelque chose ? Il faut que tu trouves les 2 « quelque chose » en fait. Et ne t’inquiète pas, ça a plein d’utilités après, on ne fait pas ça pour rien. Ça a des utilités pour résoudre des équations et tout.
ON va factoriser en regardant quels sont les éléments communs entre les 2 termes parce que je te disais que dans une somme, les éléments s’appellent des termes. Donc là tu as le terme numéro 1, et là tu as le terme numéro 2. Tu es d’accord ? C’est 6.
Est-ce que tu vois des choses qui sont pareils dans les 2 termes ? A priori comme ça, pas vraiment. Par contre, si je remplace 6 par 3 fois 2. Et 3x qui reste la même chose. Est-ce que tu vois quelque chose de commun entre les 2 ?
– Euh, trois.
– Ouais, tout à fait ! Donc j’entoure le 3 et je le mets, ce qu’on appelle en facteur. Donc je le mets en facteur. Je peux mettre égal puisque 3x+6 c’est tout à fait égal à 3x + 3*2.
Je remets un égal et là je mets 3 en facteur. Je mets 3*. Mettre en facteur ça veut dire mettre le truc fois le reste. Et il faut trouver ce qu’il y a derrière. Qu’est-ce qu’il peut y avoir derrière ? A ton avis ?
– Euh, je dirais le 2 et le x là.
– Oui ! C’est ça ! C’est aussi simple que ça Robin tu as bien compris. Donc si je vais dans l’ordre c’est d’abord le x et après le 2. Il faut bien dire les choses dans l’ordre. Et si je mets x et 2. Qu’est-ce qu’il faut mettre entre les 2 éléments ici ?
– un +.
– oui, voilà !

– bon maintenant ce que tu peux faire pour vérifier ta factorisation, c’est redévelopper. Tu peux le faire vite fait dans ta tête, ou au brouillon, ou au crayon à papier quelque chose comme ça.
Tu redéveloppes. Tu sais développer une expression ?
– Oui.
– Et bien écoute, là on n’a qu’à développer. Comment tu ferais ici pour développer ?
– 3 fois x plus 3 fois 2.
– voilà. Est-ce qu’on ne retombe pas sur la même chose que ça ? Ben oui. C’est la même chose tu vois. Donc là, c’est gagné puisque tu as bien quelque chose fois un deuxième élément. Donc un facteur 1 et facteur 2. Donc là tu as bien factorisé, c’est gagné. C’est tout.
– D’accord.

– Donc ça c’est une première façon de factoriser. C’est une façon courante. Ce n’est pas forcément la plus fréquente, ce n’est pas forcément celle que tu verras tout le temps, mais quand même, tu la verras pas mal.
Donc cette façon c’est de repérer dans chacun des termes… Au début on ne va pas te donner un produit parce qu’il y a déjà un fois. Donc on va te demander de factoriser surtout des sommes ou des différences.
Donc ce qu’il faut regarder, c’est chaque terme. Tu regardes chaque terme et tu te demandes : quel élément commun j’ai entre 3x et 6. Alors là, tu ne l’as pas vu direct parce que tu manques un petit peu d’habitude. Mais avec l’habitude tu devrais voir que là, tu as un 3 parce que dans 6 tu as 3.

– C’est bien Robin, d’avoir compris c’est bien, après il faudrait savoir refaire ce genre de factorisation toi-même donc on va en refaire petit à petit.
Alors tu verras, ce truc là je ne t’explique pas encore aujourd’hui à quoi ça sert vraiment mais ça sert vraiment. Je ne veux pas rentrer dans les détails aujourd’hui, on y va progressivement;
Donc je ne sais pas, si je te donne 2x+6. Comment tu factoriserais cela ? Ça ressemble vraiment à ce qu’on vient de faire.
– Ce qu’on pourrait faire, c’est 2 fois 3.
– Tout à fait, on pourrait changer le 6 en 2 fois 3. Donc on le fait, je le marque : 2x+2*3. Je t’encourage aussi à le noter sur ta feuille, comme tu peux. Tu peux mettre un égal puisque c’est deux choses là sont égales. Et après qu’est-ce que tu vas faire ?
– Donc 2 facteur …
– Je vais te couper un instant, quand on dit 2 facteurs c’est vraiment 2 fois en fait. Facteur c’est fois. Et je mets des parenthèses et voilà je t’écoute.
– Donc x +3
– Voilà et si tu n’es pas sûr, ce qu’il faut faire c’est redévelopper. Donc tu mets 2*x + 2*3 et c’est bien sûr égal à ça. Ça va ? Et si ce n’est pas égal c’est que tu as fait une petite erreur dans ta factorisation.
Et ça se note, tu n’es pas obligé de mettre le fois : 2(x+3). Voilà, tout simplement.

– Voilà donc on va complexifier un petit peu l’expression de base. Donc ça c’est important Robin, on est vraiment en train de faire quelque chose de très important; il faut vraiment que tu comprennes et que tu te souviennes de ça et tu vas voir, ça va t’aider par la suite.
Parce que tu vois, tout ce qu’on fait là, une fois que tu as bien compris le truc et que tu as pratiqué la chose, d’une part ça reviendra vite si tu l’as oubliée mais surtout tu n’auras pas à passer de temps dessus par la suite. En gros, dès que tu comprends le plus vite les choses, moins tu as de temps à passer sur les maths donc c’est pour ça que ça vaut le coup.
Donc, factoriser, on va dire, on va changer un peu de lettre. -2 (a au carré) + 5a. Comment tu ferais ? Est-ce que tu comprends bien ce truc déjà ? Ce premier terme : moins 2 a au carré. Est-ce que tu vois ce que ça veut dire ?
– Oui, -2 fois a au carré.
– Et a au carré qu’est-ce que c’est pour toi ? Qu’est-ce que c’est qu’un nombre au carré ? Tu m’as dit -2, je peux mettre le fois, a au carré. C’est ce que tu m’as dit. Mais qu’est-ce que c’est que a au carré ?
– C’est a fois a.
– Voilà, c’est bien Robin. C’est très important ça. Je vois beaucoup de gens qui font l’erreur. En fait a au carré c’est ça, c’est le nombre fois lui-même a*a. Attention à ne pas dire si tu as x au carré, que c’est 2x. Ce n’est pas 2x. Ça c’est une grosse erreur. x au carré c’est x fois x.

– Donc ça, c’est bien. Maintenant qu’est-ce que tu vois de commun entre ces deux termes ici ? Les deux que je vais souligner en rouge.
– Les a.
– oui, ok. Il y en a combien de a en commun ?
– deux ? Trois ?
– Oui, c’est un peu une question piège, tu vois je mets ce que tu m’as dit : -2 fois a fois a plus 5a. Il y en a un seul en commun. On entoure les a qui sont en commun. Et bien il y a celui-là et celui-là. Ou l’autre peu importe.

– Donc tu as trouvé l’élément en commun, donc qu’est-ce que tu peux faire à partir de ce moment-là ? a fois. Tu te souviens, c’est le truc en commun que tu mets devant la parenthèse. Et donc là tu ouvres la parenthèse et dans la parenthèse, qu’est-ce qu’on va mettre ? Je vais te donner une petite astuce, tu mets ce qui reste.
– -2 + 5
– Il manque quelque chose dans ce que tu m’as dit.
– -2a + 5
– Voilà. Ça marche ? Voilà, c’est gagné là puisque tu as mis sous forme d’un produit de facteurs. Et dans la parenthèse, ça se note aussi 5-2a, j’ai juste changé l’ordre. J’ai mis d’abord le 5 et derrière le -2a. Ça marche ?

– bon c’est bien, on est déjà sur des exemples un petit peu plus complexe. Est-ce qu’on peut aller plus loin ? Oui on pourrait trouver des exemples un petit peu tordus.
Déjà, ce serait bien que tu aies bien compris ça Robin. Est-ce que tu te sens à l’aise ? Je vais quand même te donner un autre exemple et j’aimerais bien que tu le fasses tout seul sans que je ne dise rien.
– Ok.
– Je ne sais pas, par exemple, 4 a au carré plus 6a. A toi de factoriser ce truc-là.
ça marche : 4 fois a fois a plus 6 fois a. tu n’es pas obligé de mettre le fois : 6a.
– Donc a fois, ouvrez la parenthèse, 4a+6.

– oui, ça marche, c’est bien. Tu pourrais t’arrêter là mais est-ce que tu pourrais aller plus loin dans la parenthèse ? En fait tu pourrais factoriser par un truc encore mieux que a. Parce que a, c’est vrai il est en commun, on le retrouve là et là mais tu peux aller plus loin.
Regarde le 4 et le 6. 4, c’est 2*2 : donc 2*2*a*a : tu vois tu décomposes comme ça; Et là, tu mets ton plus et 6a, c’est quoi ?
– 2*3
– Voilà, 2*3*a. Et du coup, qu’est-ce que tu as en commun entre les deux termes ?
– Le 2 et le a.
– Oui donc tu as 2a, 2 fois a. tu vois je vais les entourer. Donc je peux entourer celui-là et je peux entourer ça comme ça.
Donc ça, ça reste vrai ce que tu m’as dit. Ça reste vrai mais tu peux aller un petit peu plus loin. Donc du coup je mets un égal et qu’est-ce que ça va donner ? Est-ce que tu peux me dire ?
– 2a…
– Voilà, tu mets l’élément que j’ai entouré ici, donc l’élément en commun, devant. Donc ici, 2a. ET derrière ?
– 2a +3.
– Oui c’est ça, tu vois c’est ce qui reste ici, je ne l’ai pas entouré 2a. Et + 3, le truc que je n’ai pas encore entouré. Voilà, ça marche ?
– Oui.
– Bon et bien c’est bien. Ça c’est la première façon de factoriser.