Les Ensembles de nombres

Bonjour à toi et bienvenue dans ce cours star-en-maths. Ici Romain. J’espère que tu vas bien.
Alors dans cette courte vidéo nous allons présenter les différents ensembles de nombres en mathématiques. Alors des ensembles de nombres il y en a une infinité qu’on peut définir en mathématiques mais au lycée, tu en vois quelques principaux et nous allons les voir ici ensemble.

Alors dans un premier temps tu vois les nombres entiers que tu connais depuis le collège et même avant à mon avis. Les entiers naturels que tu connais même depuis peut-être tes 5 ou 6 ans. Je ne sais pas à quel âge on apprend à compter mais les entiers naturels ce sont vraiment les premiers nombres qu’on voit dans sa vie.
Donc les entiers naturels ce sont les suivants : 0, 1, 2, 3, 4 etc. Ils sont entiers puisqu’il n’y a pas de virgule, ils n’ont qu’une partie entière. Il n’y a pas de partie décimale si tu veux puisqu’il n’y a pas de virgules et ce sont des entiers naturels puisque que ce sont vraiment des nombres qu’on utilise dans la vie courante si tu veux. On a par exemple 2 baguettes de pain sur la table, on a 3 bouteilles d’eau dans le coffre de sa voiture etc.
Donc l’ensemble des nombres entiers se note N. N comme naturels donc cet ensemble-là se retient assez facilement je trouve. Je rappelle qu’un ensemble en mathématiques c’est un objet bien particulier. Un ensemble de nombres ça se comprend très bien, c’est un paquet de nombres, c’est un groupe de nombres. Il n’y a pas d’ordre dans un ensemble. Je pourrais vraiment notre les nombres 4, 0, 10000, 3, 7 etc. Il n’y a pas d’ordre dans un ensemble. C’est juste un paquet de nombres.

Ensuite un autre ensemble que tu vois, c’est l’ensemble des entiers relatifs. Alors l’ensemble des entiers relatifs, c’est noté Z. Donc là c’est un petit peu moins intuitif comme notation et cet ensemble contient tous les nombres entiers, qu’ils soient positifs ou négatifs donc il contient aussi les nombres entiers naturels.
On peut en donner quelques exemples : -10 003 par exemple est un nombre entier relatif ou -2, 0 et 1, 2, 3, 4 etc. Donc ce qu’on peut dire déjà, c’est que N, cet ensemble-là, est inclus dans l’ensemble des entiers relatifs. C’est-à-dire que tous les entiers naturels sont des entiers relatifs. O, 1, 2, 3, 4 sont dans cet ensemble Z.
Donc ça se note comme ça : N C Z : N est inclus dans Z. C’est ce symbole-là. Donc voilà les deux ensembles d’entiers que tu connais et qu’on voit souvent en lycée : l’ensemble des entiers naturels et l’ensemble des entiers relatifs. Ces deux ensembles, ce ne sont pas les seuls, on peut toujours définir d’autres ensembles selon certains critères qu’on aura choisis, mais vraiment ces deux ensembles sont les ensembles les plus fréquents qu’on voit dans les exercices.
Donc quand tu sais qu’un nombre appartient à l’ensemble des entiers naturels, qu’il appartient à N, ça veut dire que c’est un nombre entier, c’est sûr mais ça veut dire aussi que c’est un nombre entier positif. Ça peut te servir dans l’exercice. Et si c’est un nombre entier, ça veut dire qu’il appartient à Z, c’est un entier relatif.

Ensuite, ce qu’on peut définir, ce sont les nombres à virgule et les nombres qui comportent un nombre de chiffres fini après la virgule. Et ces nombres-là ce sont les nombres décimaux, donc D. Exemple de nombre décimal : 1,47 ou 5,763. Il y a aussi les nombres négatifs dedans : -7,87.
Mais tu vois dans les nombres décimaux, il faut absolument qu’il y ait un nombre fini de chiffres après la virgule. Tu vois là il n’y en a que 2 : 4 et 7. Ici il y en a 3 : 7, 6 et 3. Et il y en a deux ici : 8 et 7. Mais par exemple le nombre 1/3 dont tu sais qu’il vaut 0,33333…à l’infini, et bien ce n’est pas un nombre décimal.
Donc voilà les nombres décimaux, ce sont les nombres à virgule mais attention, pas tous les nombres à virgule : ceux qui comportent un nombre fini de chiffres après la virgule. C’est assez important et c’est ça qui définit l’ensemble des nombres décimaux D.
Ce qu’on peut d’ores et déjà dire, c’est que les nombres entiers appartiennent à D parce que tu n’es pas obligé d’avoir un nombre à virgule pour appartenir à D. Par exemple le nombre 1, donc 1,00 si tu veux, et bien c’est un nombre qui appartient à D. Donc finalement 1,00 c’est égal à 1, c’est un nombre entier et donc tous les nombres entiers appartiennent à D. Donc finalement N qui était inclus dans Z, et bien Z est inclus dans D. ça se note comme ça : N C Z C D.

Dans les exercices de mathématiques au lycée, je pense que l’ensemble D est un ensemble beaucoup moins fréquent. Tu le vois beaucoup moins souvent dans les exercices. On voit surtout les ensembles N, Z et celui-ci, on le voit un petit peu moins mais quand même un petit peu plus souvent que D : l’ensemble Q, l’ensemble des nombres rationnels.
Qu’est-ce qu’un nombre rationnel ? C’est un nombre qui s’écrit sous la forme d’une fraction, avec en haut un nombre entier et en bas un nombre entier. Donc en fait ce sont tous les nombres qui s’écrivent sous la forme p/q sachant que p est un nombre entier, donc appartient à Z (nombres entiers relatifs) et q également.
Mais attention vu que q est un dénominateur, il faut qu’il soit un entier mais non nul. Il ne faut pas qu’il soit égal à 0. Donc il faut que q appartienne à Z*. Tu te souviens que l’étoile ça permet d’enlever le 0 de l’ensemble. Donc Z*, c’est tous les entiers relatifs moins 0. Il n’y a pas 0 dedans. Donc q doit appartenir à Z*. Je rappelle pourquoi Z* ? Parce que q ne doit pas être égal à 0. Quand tu as un dénominateur, c’est toujours vrai en mathématiques, ça ne doit pas être égal à 0, on ne peut jamais diviser par 0 en mathématiques. Donc c’est quelque chose qu’il faut toujours vérifier quand tu as un dénominateur dans un exercice.

Voilà donc pour l’ensemble des nombres rationnels. Nous parlions tout à l’heure du nombre 1/3. Tu te souviens que le nombre 1/3, ce n’est pas un nombre entier, ni naturel ni relatif. Ce n’est pas non plus un nombre décimal parce qu’il comporte un nombre infini de chiffres après la virgule : 33333… à l’infini. Mais par contre, c’est un nombre rationnel puisqu’il s’écrit justement 1/3. 1 est un nombre entier et 3 aussi. Donc il a vraiment cette forme p/q avec p et q entier. Donc 1/3 appartient à l’ensemble des nombres rationnels.
Et on peut dire que tous les entiers sont des nombres rationnels parce que, imaginons je prends le nombre entier 7. Et bien 7, ça s’écrit aussi 7/1. 7/1, quand tu divises par 1 ça reste le même nombre mais tu peux le mettre sous la forme p/q : 7/1. Donc ça veut dire qu’un nombre entier quel qu’il soit est un nombre rationnel. Donc N est inclus dans Z inclus dans Q. Et tous les nombres décimaux de la même façon (là je ne vais pas vraiment le démontrer) mais on peut le faire rapidement pour 1,47 : c’est aussi un nombre rationnel parce que c’est égal à 147/100. 147/100 c’est de la forme p/q.
Donc je sais, cette définition d’un nombre rationnel, c’est une définition un peu surprenante, que tu n’as jamais vraiment vue peut-être, mais c’est ça qui définit les nombres rationnels. C’est comme ça qu’on les définit. Donc ce qu’on a dit là, c’est que N est inclus dans Z qui est inclus dans D qui est inclus dans l’ensemble des nombres rationnels. Donc là, tu as vu, on part de N et on arrive à Q.

Et ensuite, ce qu’on définit comme l’ensemble de nombres, l’ensemble bien connu, c’est l’ensemble des réels c’est-à-dire en gros tous les nombres que tu connais, tous les nombres on va dire concrets que tu connais. Il peut y avoir autant de chiffres que tu souhaites après la virgule. 1/3 est un nombre réel, 1,47 aussi, -2 qui est un entier relatif est aussi un nombre réel etc.
Bref tu connais surement l’ensemble des nombres réels. Il se nomme tout naturellement R et R à mon avis tu le connais bien : c’est en gros tous les nombres réels. Et tous ces nombres-là qui sont à l’écran appartiennent à l’ensemble des nombres réels. Donc ça veut dire que N inclus dans Z inclus dans D inclus dans l’ensemble des nombres rationnels, inclus dans l’ensemble R.
Voilà un petit peu les principaux ensembles de nombres qu’on voit au lycée. Alors après tu en verras un autre en terminale qui s’appelle l’ensemble des nombres complexes qui se nomme C. Et en gros, si tu as bien compris ce que c’est que C, c’est tout simplement R². Voilà, alors on verra ces notations un peu plus tard. J’espère qu’au moins tu as compris ces principaux ensembles de nombres.
Donc distingue bien dans les entiers les deux ensembles qu’on voit très souvent : l’ensemble des entiers naturels et l’ensemble des entiers relatifs. Ensuite l’ensemble des nombres décimaux, on le voit un peu moins souvent : il faut bien retenir qu’après la virgule il y a un nombre fini de chiffres. C’est ça qui définit les nombres décimaux, ce ne sont pas tous les nombres à virgule, c’est ça l’erreur que tu peux faire. Et l’ensemble des nombres rationnels ce sont les nombres qui s’écrivent sous forme d’une fraction avec un nombre entier en haut et en bas (qu’il soit négatif ou positif et en bas il ne faut pas qu’il soit égal à 0).
Et l’ensemble des nombres réels, l’ensemble que tu connais à mon avis depuis longtemps. ON le voit très souvent dans les exercices.

C’est très important de connaitre ces notations parce qu’elles interviennent très souvent dans les exercices et c’est pour ça que je voulais te les expliquer.
Donc nous venons de dire que l’ensemble des nombres entiers naturels N est inclus dans l’ensemble des nombres entiers relatifs Z, qui lui-même est inclus dans l’ensemble des nombres décimaux D, qui lui-même est inclus dans l’ensemble des nombres rationnels Q qui lui-même est inclus dans l’ensemble des nombres réels R.
Donc en fait l’ensemble des nombres réels contient tous ces nombres particuliers : les nombres entiers, les nombres décimaux et les nombres rationnels.

Il y a d’autres ensembles également en mathématiques. Je tiens à te le préciser.
Alors pour aller encore un tout petit peu plus loin et pour préciser les choses au niveau de l’ensemble des nombres réels R, en fait tu connais d’autres ensembles en mathématiques, qui sont les intervalles. Les intervalles sont aussi des ensembles de nombres. Si tu veux ce sont des paquets de nombres et ils contiennent plusieurs nombres.
Les intervalles, je vais en prendre un par exemple : [-3;15[ -3 inclus et 15 exclu. Cet intervalle je pense que tu sais que ça représente tous les nombres réels qui sont entre -3 inclus : donc -2,99 , -3 ça marche, -2,8, -2, -1 : tous les nombres entre -2 et -1, jusqu’à 15, donc 14,99999… Avec plein de 9, ça marche encore. Tous ces nombres-là appartiennent à cet intervalle.
Donc les intervalles, c’est une chose encore que tu peux savoir, ce sont des ensembles, donc comme objet mathématique, c’est un ensemble. C’est très important en mathématiques de bien distinguer les différents objets qu’il y a. Un ensemble, ce n’est pas un nombre par exemple. Un nombre ce n’est pas une fonction. Une fonction ce n’et pas une courbe. Tous ces objets, il n’y en a pas des tonnes, il faut bien les distinguer. Il faut que tu fasses bien la différence entre eux.
Donc tu peux te dire qu’un intervalle, c’est un ensemble de nombres. ET un intervalle c’est inclus dans l’ensemble des nombres réels. Parce que cet intervalle-là ce n’est pas tous les nombres réels évidemment mais c’est un ensemble de nombres réels donc ça, c’est inclus dans les nombres réels. Voilà la petite précision que je souhaitais te donner pour conclure cette vidéo tout simplement : les intervalles sont des ensembles et sont inclus dans les nombres réels. Voilà.