Les Maths dans la musique

Voici une petite étude de Dionisio Aguado, guitariste espagnol né en 1784 et mort en 1849.
« Musique »
Comment utiliser les mathématiques dans le domaine de la musique ?

Bonjour à toi et bienvenue sur star en maths.tv. Ici Romain. Après avoir vu mon joli morceau de guitare, en tout cas j’espère que tu l’as trouvé joli parce que je l’ai vraiment travaillé beaucoup pour tout te dire… Et bien après que tu aies vu ce joli morceau de guitare, nous allons essayer de voir l’utilisation des mathématiques dans le domaine de la musique et plus généralement dans le domaine du son.
Ce que j’aimerais t’illustrer aujourd’hui c’est ce qu’on appelle la Transformée de Fourier. Peut-être que tu ne connais pas vraiment ce mot-là : Transformée. Tu ne l’as jamais vu en mathématique. Et bien c’est tout simplement… on va illustrer ça en disant que c’est une fonction. Puisque tu es élève en lycée, tu sais ce que c’est qu’une fonction, on va dire que c’est une fonction. Et Fourier, c’est le nom du mathématicien qui l’a découverte.
Et on va voir à quoi sert cette Transformée parce que tu t’imagines bien que si ça s’appelle Transformée, ça transforme quelque chose au départ en quelque chose à la fin.
Alors le quelque chose au départ, qu’est-ce que c’est ? ET bien c’est un son comme le son de ma voix par exemple ou le son de ma guitare au début. Et comment on représente un son ? Et bien tu es d’accord qu’un son, ça varie en fonction du temps donc suivant l’axe des abscisses déjà, on aura le temps, en seconde. Et suivant l’axe des ordonnées, et bien tu auras la hauteur du son, son amplitude quelque part.
Donc tu auras un premier graphique qui représente ton son. Ici, tu vas avoir le temps, qu’on mesure en seconde bien sûr, comme d’habitude. Et ici tu vas avoir l’amplitude de ton son, très grossièrement.

Et un son à quoi ça ressemble ? ET bien à une fonction très simple. Une fonction que tu pourrais tracer comme ceci. Voilà et ça continue dans le temps etc.
Alors on va voir tout de suite ce que fait cette Transformée, à quoi elle sert, mais d’abord, j’aimerais t’expliquer quelque petites choses sur un son. Tu sais quand je fais le son par exemple « aaaaaaaaah ». Bon j’espère que ça ne t’a pas paru trop bizarre. Ce son-là il est assez « pur » parce qu’il ne possède peut-être qu’une seule fréquence qui le caractérise.
Tu connais toi par exemple des fonctions qui ont une seule fréquence. Par exemple tu connais les fréquences cosinus ou sinus. Ces fonctions, on les appelle des fonctions périodiques. Et une fonction périodique, a souvent une fréquence principale. Et un cosinus ou un sinus, ça a tout simplement une fréquence qui le caractérise. Une fonction cosinus ou sinus, ça ressemble à ceci comme fonction. Donc ici, tu aurais ceci comme son. Et on appelle ça aussi une sinusoïde ou un cosinus ide si tu veux. Et ceci, c’est vraiment un son qui ne possède qu’une seule fréquence.
Alors, qu’est-ce que ça représente ces sons : ceci ou ceci ? Et bien, quand tu utilises un haut-parleur, pour émettre ton son, tu sais que tu as une membrane. Et cette membrane, c’est elle qui émet le son puisqu’elle vibre dans l’air. Elle vibre comme ceci et c’est un courant électrique qui l’anime, quand tu écoutes de la musique par exemple avec ton ordinateur. Et ce courant électrique, et bien c’est lui qui va avoir comme fonction par exemple ceci. L’intensité du courant électrique va varier comme ceci pour un courant sinusoïdal ou cosinusoïdal, ou comme ceci si c’est un son beaucoup plus compliqué. Par exemple le son de ma voix ou le son de ma guitare.
Et donc si tu mets ça comme intensité, ou ça, tu auras à la sortie : ici : le « aaaaaaaaaaaah » que je t’ai fait au départ et ici c’est par exemple le son de ma voix ou le son de ma guitare.

Donc je t’ai dit qu’un son on le caractérise aussi par : ici une seule fréquence ou en gros une fréquence vraiment principale qu’on peut bien identifier. Mais par exemple, pour le son de ma voix ou pour le son d’une guitare, c’est beaucoup plus complexe parce que tu ne peux pas identifier une seule fréquence. Par exemple quand je dis le mot « guitare », il y a énormément de fréquence, c’est vraiment très compliqué.
Donc si tu veux, à ce simple son ici, qui pourrait être le « i » dans guitare, il faudrait surajouter plein d’autres sons. Tu vois, un petit son peut-être, toujours sinusoïdal, mais tous ces sons se surajoutent et tu pourrais en ajouter d’autres. Un autre comme ceci avec une fréquence plus faible mais peut-être qu’il s’arrêterait là. En plus, tu vois, tous n’ont pas la même durée. Et à la fin quand tu additionnes tous ces petits sons, qui pourraient représenter les « mini-sons » dans le mot « guitare », qui sortent de ma voix, et bien, tu obtiendrais un son compliqué comme celui-ci.
Et dans ce son compliqué, il n’y a pas de fréquence bien identifiable. Tu vois, dans le son d’une voix c’est difficile de déterminer les fréquences.
Par contre, dans la musique, et plus particulièrement dans la guitare acoustique, comme je t’ai fait écouter juste avant, tu as des notes. Et les notes de musique possède chacune une fréquence principale qu’on appelle aussi fréquence fondamentale que tu peux vraiment identifier. Et ceci, c’est ce que je vais te montrer dans cette vidéo, dans cette illustration du lien entre les mathématiques et la musique. J’aimerais vraiment te montrer que dans mon morceau de guitare au début, qui est un son compliqué comme celui-ci, et bien tu vas pouvoir identifier une ou deux fréquences par ci par là qui sont vraiment claires et nettes et qui vont correspondre aux fréquences de tes notes.

Et comment on va pouvoir faire ça ? Et bien grâce à la Transformée de Fourier. Et donc cette Transformée de Fourier, elle va transformer ta fonction son initiale, donc ta fonction son dans le domaine temporelle, que je pourrais appeler par exemple g(t) sachant que la variable c’est t, le temps, la durée de ton son si tu veux. Et donc ici on a la courbe de la fonction g.
Et donc la Transformée de Fourier, elle va te transformer le son dans ton domaine temporel (c’est une Transformée assez compliquée, je ne vais pas pouvoir te la détailler, mais dis-toi que c’est une fonction assez grosse, assez complexe) en son dans un domaine des fréquences justement. Donc tu vas avoir toujours ici, selon l’axe des ordonnées, une amplitude on va dire pour faire simple. Et suivant l’axe des abscisses, tu vas avoir des fréquences. Une fréquence je te rappelle, se mesure en Hertz. Le Hz c’est aussi seconde exposant -1. Donc par exemple ici, tu vas avoir 10 hertz. Ce serait un son vraiment très grave. Tu pourrais avoir 400 hertz etc.
Alors la Transformée de Fourier, elle te donne aussi un autre graphique, mais là, je ne vais m’occuper que de ce graphique qui te donne en fait la représentation de chaque fréquence dans ce son. Donc par exemple le 10 hertz peut-être qu’il va être représenté dans ce son de guitare ou de ma voix -mais ici on va dire que c’est le son de ma guitare au début. Peut-être que 10 hertz il existe mais il est très petit. Donc tu vas avoir une fonction ici qui est très petite au niveau de 10. Mais au niveau de 400 peut-être que tu as plus d’amplitude parce que cette fréquence de 400 elle existe beaucoup dans ton son. Donc tu vas avoir quelque chose comme ça. Et peut-être qu’après tu vas avoir d’autres fréquences qui sont relativement bien représentées.
Et donc justement, quand tu as une fonction comme ici, rose, et bien ça te montre qu’au niveau de ce pic ici, tu as bien une fréquence et en l’occurrence 400 hertz, puisque le pic est au niveau de 400 hertz, tu as bien une fréquence qui est plus représentée dans ton son. Donc tu peux identifier une fréquence qui sort plus que les autres. Et c’est vraiment ça que j’aimerais t’illustrer avec le logiciel que j’utilise juste après ce petit cours sur le tableau.

Donc la Transformée de Fourier si tu veux, je te donne à quoi elle ressemble. C’est assez compliqué quand même. Donc en entrée elle prend g(t). Ça c’est en gros, ce que mange la grosse fonction complexe Transformée de Fourier et à la fin elle va te sortir un G(f). C’est quelque chose qui n’est non plus fonction du temps mais des fréquences. Et ça, c’est vraiment notre fonction rose si tu veux.
Et son expression, je vais te la donner si tu veux, mais c’est vraiment juste pour te donner une indication. Si tu es en seconde ou en première tu ne vas pas vraiment comprendre tous les symboles; Mais si tu es en terminale, tu vas peut-être comprendre un symbole qui est le symbole de l’intégrale. Donc ici on va faire très simple. La fonction rose c’est presque celle-ci, c’est son module, c’est sa norme.
Donc G(f) est égale à l’intégrale de -l’infini à +l’infini (donc là ça peut te paraitre un petit peu compliqué quand même) de g(t) exponentielle -i2Piftdt. Voilà donc si tu es en terminale tu reconnaitras ici une intégrale mais c’est une intégrale que tu ne sais pas vraiment calculer parce que c’est une intégrale sur -l’infini jusqu’à +l’infini.

Bref peu importe pour ce calcul compliqué, ce que je veux juste te montrer ici c’est ce que fait cette Transformée de Fourier. Et ce que fait cette Transformée de Fourier, c’est qu’elle te permet de dire quelles sont les fréquences principales (en gros ça va correspondre aux pics dans ta fonction rose ici) de ton son initial.
Comme tu sais que dans un morceau de musique et notamment dans un morceau de guitare, on joue des notes de musique, et bien chacune des notes possède une fréquence qui lui est propre. Une fréquence principale qu’on appelle aussi fréquence fondamentale. Par exemple le la de la deuxième corde de ta guitare et bien… Tu sais que les 6 cordes de la guitare du plus grave au plus aigu c’est mi, la, ré, sol, si, mi. La première corde plus grave c’est mi, la deuxième, c’est la. Et ce la, il a une fréquence fondamentale de 110 hertz
Ça veut dire que si tu joues un la sur ta guitare, que tu fais la Transformée de Fourier de ton son, tu obtiendrais un grand pic au niveau de 110 hertz donc à peu près ici. Et bien c’est exactement ce que je vais te montrer par la suite dans le logiciel.

Les maths dans la musique
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Alors ce que tu vois maintenant, c’est le son de la guitare dans le domaine temporel. Alors par exemple, si on se rapproche regarde bien ce qui se passe, tu vois un petit peu des ondes ici. Et bien en fait, c’est ce que tu pourrais mettre dans ton haut parleur.
Ça pourrait être le courant électrique que tu fais passer dans ton haut parleur et qui fait vibrer la membrane. Et si tu fais passer ce courant électrique, et bien tu obtiens le son de ma guitare. Donc voilà le son de ma guitare dans le domaine temporel. On peut d’ailleurs dézoomer un petit peu et bien voir que c’est le son de ma guitare.
Tu vois donc, c’est tout le morceau ici. Et maintenant, on va essayer d’isoler la première note que je joue. La toute première note de ce morceau qui est d’ailleurs un la. Et quel la ? Parce qu’il y a quand même plusieurs la, pour tout instrument de musique, dans la musique occidentale il y a plusieurs la. ET chaque la est séparé par ce qu’on appelle une octave. Je vais y revenir après.
Mais là, le la que je joue, c’est le la de la quatrième corde en pinçant la deuxième case. Et il faut aussi savoir que la deuxième corde de la guitare, la deuxième corde la plus grave, c’est aussi un la. C’est le la un petit peu plus grave que celui que je joue, c’est le la une octave de moins.

Donc là, celui-ci, je vais l’enlever. Enfin je vais enlever tout le reste plutôt du morceau et donc voilà ce qu’on va obtenir. Voilà, c’est juste la première note ici que je joue.
Et maintenant, ce qu’on va essayer de voir c’est quelle est la fréquence de cette note. Et qu’est-ce qu’on va faire pour visualiser quelle est la fréquence de cette note ? Et bien c’est appliquer la Transformée de Fourier. Cette fameuse transformation un peu magique dont je te parle.
Et dans le logiciel ici il suffit d’aller dans « analyse », « tracer le spectre » et voilà ce qu’on obtient. Ici, on n’y voit pas grand chose puisque tu vois, sur l’axe des abscisses tu as les fréquences qui vont quand même jusqu’à peut-être 20 000 hertz ou plutôt ici 15 000 hertz. Et ici, sur l’axe des ordonnées tu as les décibels qui représentent en gros l’amplitude de ton son.
Mais nous, on cherche plutôt une fréquence de note qui serait plutôt dans les 200 hertz, 220 même, tu vois je te la dis, ça va être 220 hertz. Donc il va falloir ici se rapprocher de 220 hertz. Il va falloir zoomer. Donc là, on va plutôt utiliser une échelle qu’on appelle logarithmique.
Voilà et donc là tu vois, on a un pic qui correspond au pic qu’on avait au début. Regarde bien on a un pic ici. C’est quelque part la fréquence dont la hauteur est la plus représentée dans le son. C’est-à-dire dans cette note, elle a une fréquence qu’on appelle fondamentale. Et bien on la voit ici, c’est celle qui a l’amplitude la plus forte.

Et regarde, on va se rapprocher un petit peu. Ici tu vois les hertz au niveau de mon curseur qui est la croix. Là tu vois je me balade, on voit que ça bouge au niveau des hertz ici. ET regarde quand je me place sur le pic. Le pic il est bien là. Et bien on est vers 220, 230 hertz. Voilà. Et bien c’est justement la fréquence de la note « la » jouée sur la 4ème corde quand tu pinces la 2ème case de ta guitare acoustique.
Et donc là, tu vois en utilisant la Transformée de Fourier, on peut retrouver la fréquence fondamentale de ta note « la ».
Alors tu vas me dire « c’est bien joli tout ça mais à quoi ça sert ? » Et bien regarde, dans ce spectre on a des fréquences ici quand même qui ont une hauteur qui est non nulle. Par exemple les fréquences ici vers 7000 hertz tu vois, tu as des fréquences qui ont une amplitude non nulle. Mais peut-être que l’oreille humaine ne les entend pas tout simplement.
Alors je ne sais plus quelle est la fenêtre des fréquences qui sont écoutables par l’être humain mais en gros, au-delà d’une certaine fréquence l’être humain il n’entend plus rien. Donc ça veut dire qu’au-delà d’une certaine fréquence, peut-être par là on pourrait supprimer tout ça, manuellement, artificiellement. Et ça ne changerait rien au son qu’on écouterait au final, ça jouerait toujours un bon « la » de guitare comme on le connait.

Et à quoi ça sert de supprimer toute cette information ? Et bien tout simplement à compresser ton fichier sonore. Ce qui fait que ça te permet d’obtenir toute la musique que tu écoutes en quelques secondes ou quelques minutes, grand maximum plutôt que quelques jours ou quelques semaines.
Tu vois c’est ça la compression. Et la transformée de Fourier te permet de faire ça. Elle permet de voir quelles sont les fréquences en gros de ton son. Donc ici de ma note « la », je sais que c’est une note « la ». Et là-dedans, dans ces fréquences, il y a des fréquences qu’on peut enlever parce qu’on sait qu’elles ne sont pas écoutées par l’oreille humaine et vu qu’on peut les enlever, et bien tout simplement, ça diminue la taille de ton fichier sonore et donc ça compresse.
Et donc ça permet d’avoir plein de musique sur peu de mégaoctets et donc ça permet d’envoyer plein de musique en quelques secondes tout simplement. Voilà une utilisation de la Transformée de Fourier.

Et donc, comme tu peux voir ici dans le tableau des fréquences fondamentales de chaque note, que j’ai trouvé sur wikipedia, et bien tu peux voir ici les notes, do, ré, mi, fa, sol, la, si, do, qui sont les notes dans la musique occidentale. Et bien tu retrouves ici notre « la ». Et à la note « la » correspondent plusieurs fréquences fondamentales.
Alors tu vas peut-être te demander pourquoi. Et bien tout simplement parce que sur la guitare, comme je te le disais, ou sur tout autre instrument d’ailleurs, et bien il y a plusieurs notes « la ». Et chaque note « la », de la précédente à la suivante, est séparée d’une octave, ce qu’on appelle une octave.
Et une octave, qu’est-ce que c’est ? Et bien c’est tout simplement la différence entre 2 « la ». Tu vois? Ici le premier « la » il a comme fréquence 55 hertz et le « la » suivant il a 110 hertz, c’est-à-dire deux fois plus. Et une octave c’est caractérisé par ce « deux fois quelque chose ». Deux fois la fréquence fondamentale. Ici, donc on retrouve le « la » qu’on vient d’avoir dans notre morceau de guitare. Le premier « la » que je joue, qui est sur la guitare, la 4ème corde en pinçant la 2ème case. Il est là ce « la ».
Et donc le « la » précédent qui est en fait, si je ne me trompe pas, sur la 2ème corde (mi la ré sol si mi, ce sont les 6 cordes de la guitare). Et bien ici voilà notre « la » un peu plus grave en fait. 110 hertz. Voilà comment on retrouve les fréquences de nos notes.