Limites de fonctions : Quotient alpha sur zéro

Sachant que tu ne sais pas si c’est un cas 0+ ou 0-. Donc en fait tu as un nombre sur 0, tu sais que c’est l’infini mais il te faut savoir si c’est + infini ou – infini et il te faut trancher entre ces deux cas-là, ce que je vais te montrer dans cette vidéo.

Bonjour à toi et bienvenue sur Star en Maths TV. J’espère que tu vas bien. Alors dans cette petite exercice, en tout cas, l’énoncé est très court, il va s’agir de calculer cette limite:

La limite quand x tend vers 2- de

Alors, comme je te disais dans l’introduction de cette vidéo nous tombons sur le cas suivant. Alors, ce qu’il faut faire, toujours, toujours, la première étape pour calculer une limite, c’est d’essayer de remplacer x mentalement , par ce vers quoi x tend, donc ici 2-.
Et quand tu remplaces x par 2-, tu regardes ce que ça te donne. Tu regardes si ça te donne une forme indéterminée ou pas. Donc si ça ne te donne pas une forme indéterminée alors tu vas pouvoir avoir la limite assez rapidement, des fois ça te la donne directement. Et au contraire, si ça te donne une forme indéterminée, alors il y a des techniques pour résoudre ces cas-là.

Ici, on va voir que ça ne va pas être une forme déterminée. En fait, regardons, quand tu remplaces x par 2-. Au dessus, le fait que ce soit 2- et pas 2, ne va pas avoir une grande importance , de tout façon, le numérateur va tendre vers 2 – 6, donc – 4, le fait que ce soit 2 – ça ne change rien au numérateur. De toute façon ça tend vers 2 – 6 qui est -4
Donc -4 au numérateur, et au le dénominateur. De quoi on se rend compte? Quand x tend vers 2-, 2- au carré fait 4, et 4 – 4 fait 0.
Donc je te rappelle 2 -, il faut bien se représenter ça visuellement, je me fais le schéma suivant dans ma tête…

Je me fais la ligne, l’axis des x, et je marque 0, 1, 2… Donc quand x tend vers 2- ce que ça va en cette direction là, depuis la gauche si tu veux. Donc ça veut dire que x vaut 1,8 1,9 1,95, 1, 99 1, 999 1,9999 etc…
Il approche 2 par valeurs inférieurs à 2

Quand tu remplaces mentalement pour le moment ça ne change pas grande chose. Donc au numérateur on a dit que ça tendait vers 4 et au dénominateur vers 0. Le problème maintenant c’est que -4 sur 0, tu ne sais pas combien ça donne comme limite. Tu sais seulement que c’est + infini ou – infini. Puisque je te rappelle que quand tu as un nombre constant, disons 1 dans le numérateur pour mettre un cas concret. Si l’on a 1 sur 0 positif le résultat est + infini et lorsque l’on a 1 sur 0- , c’est – infini

Si on a par example – 4 sur – 0,01 (très proche de 0 mais négatif) les – s »en vont, et ça fait +400. 400 on sent que ça tend vers + infini

Donc à chaque fois que l’on a un nombre constant alpha sur 0, il faut savoir si ça tend vers 0- ou 0+, pour ouvoir trancher si la limite et + infini ou -infini.
Donc en fait il s’agit de savoir si on a 0+ ou 0- au dénominateur.

Comment on va faire?
Pour ceci il faut faire une étude de signe de X2 – 4 autour de 2

Comme ça on verra si ce dénominateur est positif ou négatif et c’est ce que l’on va faire.

Faut pas rester dans le flou, il ne suffit pas de dire que c’est 0, il faut préciser si c’est +0 ou -0.

Je profite pour dire que l’on n’est pas face à un cas d’indétermination.
Les cas d’indétermination sont :

+ infini – infini…On ne peut pas savoir lequel gagne..

En fait dans ces cas-là, il faut aller plus loin, pour lever l’indétermination il faut soit transformer les expressions, soit utiliser les croissances comparées, soit utiliser d’autres limites que tu connais. Enfin il y a plusieurs techniques. Dans tous les cas le cas qui nous occupe n’est pas une indétermination, il s’agit d’un nombre constant au numérateur, on peut le noter alpha (ça tend vers alpha, un nombre constant qui ne dépend pas de x) sur zéro. Et tu, il faut que tu tranches entre 0+ et 0- et selon le signe de alpha, tu pourras trancher entre + infini et – infini.

Donc c’est parti, on va faire une étude de signe de x2 -4

Nous, ce que nous souhaitons faire, c’est de dresser le tableau de signes de x2-4 et en particulier quand x tend vers 2 par valeurs inférieurs à 2.
Donc on ne veut pas vraiment le signe de x2 -4 n’importe où; mais autour de 2, quand x se balade préférentiellement juste en dessous de 2.

Comment va étudier le signe d’une telle expression? Comment dresser le tableau de signe de x2 -4?
Alors, tu sais qu’il est beaucoup plus simple d’obtenir le signe d’une expression factorisée plutôt que le signe d’une somme ou une soustraction comme ici x2-4. Donc; c’est pas vraiment simple d’obtenir le signe de ça,.
Une autre façon de faire aussi, c’est de passer par tes connaissances sur le seconde degré, tout ce qui est polynômes de seconde degré, mais ça va passer aussi pour une factorisation. Donc en fait, ce que je t’invite à faire c’est de factoriser ça. Donc tu vas avoir un facteur multiplié par un autre facteur. Et comme ça, en cherchant le signe du premier facteur et le signe du deuxième, tu vas avoir le signe du produit x2 -4. Donc x2 – 4 c’est quoi fois quoi.

Tu dois reconnaitre normalement là dedans une identité remarquable et cette identité remarquable c’est < calcul >

Donc x2 -4, on va le transformer un petit peu ça, pour trouver son signe, je te rappelle, avant tout pour le factoriser, c’est (x- 2) facteur de ( X + 2)

Et maintenant c’est extrêmement simple d’obtenir le signe de chacun de deux facteurs, x-2 et x+2, selon, bien sûr, les valeurs de x
Trouver le signe d’une expression facteur de x, c’est de trouver le signe de ce nombre, E(x), cette fonction de x. ci, en fonction des valeurs de x

Bien sûr, ce qu’on mettre comme première ligne du tableau ce sont le valeurs de x, ça va représenter l’évolution des valeurs de x.

Ici, x pour x2 -4 . Je ne considère plus toute l’expression entière mais seulement x2 -4.

Il n’y a pas de valeur interdite pour x2 -4 . X peut prendre n’importe quelle valeur réelle.
Donc la première ligne de ton tableau va être x, se baladant de – infini jusque + infini

Et ensuite, dans ton tableau de signe tu va mettre les signes du facteur, x-2 et, dans la troisième de X+2.

Alors, pour connaitre le signe de ces expressions-là c’est assez simple puisque ce sont de petites expressions, fonctions avines.
Ici, tu as une petite expression de la forme ax+b, le a vaut 1 et le b vaut -2
Ici, le a vaut 1 et le b vaut 2.

Et à partir de ce moment-là, tu connais absolument les techniques pour connaitre les signes de ces choses-là.
Il faut savoir si la fonction afin est croissante ou décroissante. Si la fonction est croissante elle donnera + puis -, et si elle est décroissante sera + puis -.

Et ensuite il faut trouver l’endroit où ça s’annule. Donc il faut ressouder ça égal 0 et ça égal 0. ici c’est assez rapide. Quant est-ce que ça s’annule?

x – 2 S’annule à x = 2 tu mets la ligne verticale. Avant puisque c’est une expression croissante, c’est une fonction affine, donc le coefficient directeur est positif, vaut 1, la fonction est forcément négative d’abord et après c’est positif

x + 2 S’annule à x = – 2 Pareil, on mets une ligne verticale et on marque zéro. La fonction est aussi croissante est l’expression est donc négative avent x=-é et positive après.

Bien sûr, l’expression finale qui est x2 – 4 s’annule pour les deux, à -2 et +2

C’est vraiment la technique pour connaitre le signe d’une fonction affine qui marche à tous les coups. Tu regardes le coefficient directeur, si c’est positif la fonction est croissante. Alors, elle est négative avant le point où ça s’annule et après elle est positive.

On reporte le – ici et on obtient sont:

+, -, +

Voilà, ces résultats +, -, + plus le fait que ça s’annule à -2 et +2 tu aurais pu les trouver en passant par tes connaissances sur le deuxième degré. Puisque x2- 4 c’est tout à fait un polynôme de 2ème degré. Donc si tu étais passé par le calcul de delta, tu aurais trouvé vu que le a est positif, la parabole est tourné vers le haut et donc, le signe est +, -, + avec le moins entre les deux racines.

Maintenant on s’intéresse au signe de x2-4 lorsque on s’approche de 2 par dessous. Alors, qu’est-ce qu’on remarque?
Quand x tend vers 2-. Bien, x2-4 est négatif.

Donc tu écrirais:

Limite quand x tend vers 2- de x2- 4 égal 0 moins, d’après ce tableau de signe. C’est la limite du dénominateur
Limite du numérateur, quand x tend vers 2- de x-6 égal à -4

De ces deux choses là, tu déduis, que la limite que nous recherchons,
Tu ne l’écris pas vraiment sur ta copie -4 sur 0 moins, mais tu écris directement que la limite est égale à + infini.

Donc voilà comment on a pu trouver cette limite à partir d’un cas qui nous semblait indéterminé, comment on a pu avancer, en étudiant le signe de l’expression du zéro au dénominateur, en étudiant le signe du dénominateur, en particulier quand x tendait vers 2 -. J’espère que tu as compris la technique, il faut étudier le signe du dénominateur, ça passe donc par un tableau de signe. Et normalement tu connais plusieurs techniques pour faire ça.