Majorant et Minorant d’une fonction

Majorant et Minorant d’une fonction

Comprendre ce qu’est un majorant ou un minorant de f

Je vais faire apparaître une courbe de fonction, par exemple celle-là.

<graphique>

Sachant que ma fonction, elle n’est pas définie n’importe comment. Elle est définie sur cet intervalle là. Par exemple x égal à -1 ou peu importe.

Ici on va avoir l’origine, l’axe x et l’axe y, et ici donc on va avoir -1 par exemple, et ici 10. Elle n’est pas définie pour x= 11 ou x= 10,1. Non, elle est juste définie pour -1.

Alors quel pourrait être un minorant et un majorant de ta fonction?

Eh bien en fait, regardons bien, je vais ajouter quelques données.

Imaginons que ça <graphique> soit le maximum avec ça <graphique>. Ces points sont égaux. Ça ce sont les deux maximums. À ne pas confondre effectivement avec un majorant. Donc ça ce sont des maximums, on va dire qu’ils valent 4.

Et bien en fait je peux dire que ça, 5, c’est un majorant. Tout simplement, 5 c’est un majorant, 4 aussi est un majorant, mais 4 c’est aussi le maximum, LE maximum, tu as vu, il n’y en a qu’un seul. Alors qu’on parle d’un majorant parce qu’il y en a une infinité, tu peux prendre tous les nombres au-dessus de 4. Tout ça ce sont des majorants de ta fonction f. Et ça c’est la courbe de f. C’est tout. Donc on parle d’un majorant, ça peut être comme je te le disais : 4 ; 4,1. Ca veut dire en gros, aussi, ça c’est la définition graphique, 4,1 , donc je continue en fait, 5, on peut mettre 10 000 ou peu importe, tous les nombres plus grands que 4. OK, donc ça c’est un majorant.

Qu’est-ce ça veut dire au niveau analytique, c’est-à-dire au niveau des formules. Ça veut dire la chose suivante, c’est-à-dire que pour tout x appartenant à l’ensemble de définition de la fonction qui est -1 à 10, on a tout simplement f(x) inférieur ou égal au majorant, qu’on note souvent M.

Donc inférieur ou égal soit à quatre, car 4 c’est un majorant, inférieur ou égal à 10, c’est un autre majorant, etc. à ne pas confondre avec LE maximum. Qui est toujours tout seul, s’il y en a un.

Attention une fonction n’a pas toujours de maximums.

Et il n’y a pas toujours non plus de minorant ou de majorant, par exemple quand une fonction elle tend vers (si ça continue ici) vers l’infini, et bien là il n’y a pas de majorant tout simplement, parce qu’on ne peut pas encadrer la fonction au-dessus, on ne peut pas dire qu’il y a une droite horizontale qui est au-dessus de la courbe f, et bien non, parce que là, la courbe de f passe au-dessus de cette courte horizontale.

En fait c’est ça un majorant, vous pouvez tracer au-dessus de la courbe une droite horizontale, qui est toujours au-dessus de la courbe. D’accord? Et un minorant c’est la même chose mais en dessous et donc je voulais ajouter une petite chose. (Je ne sais plus quoi). Mais en gros voilà, f(x) inférieur ou égal à M, et un minorant, ici par exemple c’est ça <graphique>, c’est le minimum, ça <graphique> ce n’est pas un minimum c’est un peu au-dessus, on va noter -2, et bien tout simplement pour tout x appartenant à -1 à 10, f(x) est supérieur ou égal à -2. En fait -2, c’est le minimum ici, mais un minorant ça peut être -3, ça peut être -4, ça peut être -5, donc tout ça, ces minorants, on les appelle m. Imaginons car c’est souvent comme ça qu’on les note en fait. m pour minorant, ce qui est en dessous, et ici M donc pour majorant. Un majorant peut avoir n’importe quelle valeur ça dépend tout à fait de la fonction.

Souvenez-vous juste auparavant avec le cas juste avant là, on vient de voir les fonctions trigonométriques, je vous ai dit que sin x, par exemple qui est une fonction trigonométrique, c’est compris entre -1 et 1.

Ça veut dire que, (c’est l’inverse), cela veut dire tout simplement que pour -1 et 1, -1 est un minorant, -2 ça en est un autre, -10 000 aussi. 1 c’est un majorant, 2 c’est un majorant, et tout ça pour tout X appartenant à l’ensemble de définition de la fonction sinus. Voilà. C’est tout en fait ce que c’est. Et toi tu me demandes : est-ce que m ne peut pas avoir la valeur plus l’infini ?

Non. Alors un majorant, c’est vraiment, oui c’est très intéressant comme question car M est une valeur qui est finie, c’est un nombre. Ça ne peut pas être plus l’infini. Pour un minorant : pareil, ça ne peut pas être moins l’infini, un minorant c’est -10, c’est – 3,5, ça peut être aussi un nombre positif. Ce n’est pas lié au signe. D’accord? Ça dépend de la fonction.

Je peux avoir par exemple une fonction qui a cette allure-là <graphique>, vous voyez bien qu’elle est bornée cette fonction, un petit peu, elle ne va pas vraiment très haut ou très bas. Et bien là la ligne rouge correspond à un majorant, qui par exemple disons 6, et la je vais tracer une ligne rose par exemple en dessous. Vous voyez bien que je peux tracer une ligne en dessous. Ça veut bien dire qu’il y a un minorant. Et ça fait la droite d’équation par exemple y =1. Et quand une fonction a à la fois un majorant et un minorant, comme la fonction sinus, comme cette fonction que je viens de tracer ici, comme la courbe de cette fonction, ça veut dire qu’elle est bornée.

Voilà. C’est comme, vous voyez bien, quelqu’un de borné par exemple, borné ça veut dire qu’il est compris entre deux nombres finis, qui ne bougent pas, deux bornes. Voilà, donc ça c’est une première borne <graphique>, la rouge et ça c’est une deuxième <graphique>, la rose.

Donc voilà, borné, rappelle-toi que ça veut dire qu’il y a à la fois un majorant et aussi un minorant. Voilà et c’est tout ce qu’il y a à retenir, et graphiquement c’est très simple car ça veut tout simplement dire encadré par deux droites horizontales. Voilà, et tu vois bien que l’on parle d’un minorant et d’un majorant.

Pourquoi un? Parce qu’il y en a une infinité, il y en a au moins un, il y a une infinité. Là je peux tracer une autre droite en dessous, ça <graphique> c’est la droite correspondant à un autre minorant, par exemple -1. -1 c’est un autre minorant de la fonction correspondant à ma courbe bleue. Ça c’est une excellente question, alors Anne-Laure me demande, est-ce qu’une fonction qui est définie sur un intervalle qui ne comprend pas l’infini, moins l’infini ou plus l’infini, est-ce que c’est toujours borné? Eh bien c’est une bonne question!

Par exemple je vais te donner, est-ce que à ton avis c’est vrai? Si tu poses la question c’est que tu ne sais pas trop.

Je vais effacer ça. Je vais te donner<calcul mathématique>, une fonction toute simple, mais pas la fonction 1/x définie sur R*, mais définie seulement sur zéro à deux, tu vois c’est un x qui ne prend pas de moins l’infini ni de plus l’infini. D’ailleurs je n’aurais pas dû dire ça, j’ai oublié d’exclure le zéro. Attention ! Là on se rend bien compte que, quel est l’allure de cette fonction. Je la trace (représentation graphique). L’allure de cette fonction c’est tout simplement : on part de plus l’infini, on descend, on arrive à [1,1], et on arrive à [2, 1/2]. Là on voit bien que pour x = 1, y = 1, quand x = 2, y = 1/2. f(o) n’existe pas. Et quand on calcule la limite <calcul mathématique>. Donc là, elle n’est pas bornée cette fonction parce que là je ne peux pas tracer une droite au-dessus de la courbe <graphique>. Là par contre <graphique> il y a un minorant. Le minorant le plus fin qu’on puisse trouver, c’est le minorant correspondant à cette droite là. Attention un minorant ce n’est pas une droite, c’est comme un majorant, ce n’est pas une droite. C’est le nombre correspondant à cette droite horizontale, donc là plus précisément passant par 1/2. Ça c’est la droite d’équation y= 1/2, 1/2 si tu veux c’est LE minimum et c’est un minorant, un autre minorant c’est 0, c’est -1, c’est -2, tout ça, ça peut-être un tiers, ça peut être -1, -2,-3, etc, ça marche tout simplement parce que f(x) est toujours supérieur ou égale par exemple ici à -2, donc là ça prouve pour tout x, que -2 est un minorant de f. Par contre il n’y a pas de majorant ou simplement, parce que graphiquement je ne peux pas tracer de droite horizontale au-dessus de la courbe de f. Voilà, je pense que tu as compris, c’est une notion vraiment toute simple, très très mécanique en fait.