Trouver la mesure principale d’un angle en radians

Là, pour trouver la mesure principale de cet angle, comment tu ferais, sans faire vraiment à la main, et sachant que toujours, l’idée c’est celle que tu m’as dite, c’est tout simplement retrancher des 2π ou ajouter des 2π. Là à ton avis, il va falloir ajouter ou retrancher ?

Il va falloir enlever là.

Oui, il va falloir en enlever.

Donc imagine que tu ais α qui vaut ça au début α = 159π/3. Comment tu trouves ta mesure principale ?

Comment on va avoir des 2π avec le « /3 » ici ? 2π ça vaut « quoi sur 3 » ?

6π/3

Et donc c’est ce 6π qu’il va falloir enlever autant de fois que nécessaire à notre 159π. Donc ça, c’est bien. Je vois que tu as l’idée, et maintenant comment tu fais, combien de fois il faudrait l’enlever ? Ce n’est pas évident forcément.

On enlève 159 divisé par 6.

Quelque chose comme ça oui. C’est pas mal. Bon, en tout cas, l’idée est là, mais moi je te propose une méthode fiable, c’est-à-dire que tu as juste à suivre la méthode, mais c’est ça l’idée, c’est exactement la même idée. Regarde la méthode : ton angle α (donc je vais effacer ça), sachant que c’est quand même ça qu’on va garder comme idée.

Tu as ton angle α et tu vas vouloir lui retrancher ou lui ajouter, on va dire combien de tours, et bien tu ne sais pas combien de tours. Tu vas dire k-tours. Mais combien c’est un tour ? C’est 2π, d’accord ? Et à la fin, tout cet angle obtenu, il est compris entre quoi et quoi ?

Entre –π et π.

Exactement. Et c’est tout. L’idée maintenant est de trouver ton inconnue k. Parce que c’est ça le nombre de tours qu’il va falloir ajouter ou retrancher. Parce qu’on va dire ajouter si k est positif, et si tu trouves k=-3 et bien il faudra retrancher des tours. Tu vois ? Et donc comment tu trouves à partir de cette double inégalité ton k, ton inconnue k ?

Est-ce que tu pourrais me dire comment on avance pour résoudre cette inéquation quelque part. C’est juste une inéquation, sauf qu’elle peut peut-être te perturber parce qu’il y a deux. Est-ce que tu as une idée de comment on peut faire ça ?

Tu es d’accord que pour toute inéquation ou pour toute équation, il faut toujours isoler l’inconnue ?

Et donc là comment on va faire en sorte que le k il soit tout seul ?

De quel côté ?

C’est vrai, tu peux te demander de quel côté on va mettre le k. Mais ce que je t’encourage à faire c’est plutôt d’enlever le α et le 2π. Essaye de les enlever progressivement.

Voilà, alors comment on fait le –α ? Comment on enlève le α du milieu en fait ? On va vouloir isoler le k, on va vouloir l’avoir juste au milieu tout seul.

-k des deux côtés, -π-k.

Voilà. Donc je fais –α partout. Donc α s’en va du milieu. Il ne nous reste que k2π <Calcul mathématique>. Tu es d’accord ?

Et après on divise le tout par 2π ?

Oui.

Est-ce que j’ai le droit de diviser par 2π sans changer le sens des inégalités ?

Oui, on a le droit, c’est positif.

Oui, bien ! C’est la raison. C’est parce que 2π est un nombre positif. Ça, c’est très important. Donc là, je fais ça partout. Toi, il faut bien mettre le grand signe <Calcul mathématique>. Qu’est-ce qui nous reste au final ?

<Calcul mathématique> Donc on va y aller progressivement. <Calcul mathématique>, du coup on simplifie ce qu’on peut simplifier et puis il suffit de faire le petit calcul. Tu vois ici on va obtenir <Calcul mathématique>, il suffit de calculer ça et tu vas trouver ton k très facilement.

Souviens-toi que k c’est un nombre entier, c’est un nombre de tours en fait. Ça c’est très important, et qui peut être négatif ou positif, ou zéro si rien n’a changé, c’est-à-dire que α est déjà compris entre –π et π.

Donc on calcule ça. Donc, ça va nous donner quoi ?

<Calcul mathématique>

C’est ça, donc en gros <Calcul mathématique>. C’est ça, et donc du coup, ton k, tu prends quoi ?

-26

Voilà ! Alors c’est presque fini, ce n’est pas encore tout à fait fini, et en gros tu enlèves 26 tours à ton α. Voilà, tu enlèves 26 fois 2π à tout ça. Donc en gros, tu enlèves, souviens-toi, c’est 26 x 6π/3 pour mettre sur le même dénominateur. Donc tu vas obtenir 159-26 <Calcul mathématique>. Tu vas obtenir Pi quoi. Tout simplement.

Oui.

Bon, ça tombe pile-poil sur Pi, je n’ai vraiment pas fait exprès. C’est tout simplement parce que 159 c’est un multiple de 3. Voilà. C’est ça.

159 c’est un multiple de 3 et tout simplement souviens-toi, il suffit d’ajouter les chiffres entre eux.

<Calcul mathématique> et 15 c’est justement divisible par trois.

Donc, voilà. Là tu as trouvé ta mesure principale, c’est Pi. Il a fallu enlever 26 tours.

La méthode principale c’est ça. En fait, tu pars de là. Et tu cherches combien de tours il faut enlever, tu vois ? Tu prends ton α, ton angle au début, et tu dis, bon, et bien j’aimerais lui ajouter tant de 2π, ou lui retrancher tant de 2π, mais je cherche mon inconnue tant, entre guillemets, de telle façon à ce qu’au niveau de l’encadrement, ce soit compris entre -π et π. Voilà, plutôt que d’essayer de faire ça à la main, parce que des fois d’accord, tu vas réussir, mais d’autres fois, tu vas vraiment galérer. Est-ce que tu comprends Lucas ?

Les trucs du genre, ça va, mais si tu as quelque chose d’un peu plus difficile… Bon et bien …