1ère S Mesure principale d’un angle 1

1ère S Mesure principale d’un angle

Comment déterminer la mesure principale de l’angle orienté dont on a une mesure en radians ?
Bonjour et bienvenue sur Star en Maths TV. Nous allons, dans cet exercice, trouver la mesure principale de l’angle orienté dont une mesure en radians est
<calcul mathématique>
Alors, premier rappel – qu’est-ce que la mesure principale d’un angle orienté ? En fait la mesure principale d’un angle orienté est la mesure en radians de cet angle qui est comprise entre –pi et pi.
Alors ici on a un angle dont une mesure en radians est 29pi sur 6. Vu que 29pi sur 6 n’est pas compris entre –pi et pi, il s’agit clairement d’une mesure supérieure à pi…donc nous il nous faudrait une mesure de cet angle-là, qui reste le même, mais qui soit comprise entre –pi et pi.
Alors, il y a une méthode pour cela, mais déjà par intuition tu peux essayer de retrancher des tours complets à cette mesure d’angle pour arriver enfin entre –pi et pi. Alors comment faire en sorte d’enlever des tours complets, et bien il suffit d’enlever des 2pi, parce qu’on se souvient bien que dans un cercle trigonométrique, un tour complet est un angle de 2pi.
Donc si nous on enlève à cet angle-là des 2pi, et bien nous allons nous rapprocher de l’intervalle entre –pi et pi.  Si on trace rapidement un axe, comme je te l’ai dit tout à l’heure, 29 pi sur 6 est supérieur à pi.
Et c’est pour cela que je te dis qu’on va essayer d’enlever des tours complets à cet angle-là pour arriver à une mesure d’angle qui est comprise entre –pi et pi. Et cette mesure d’angle sera l’unique mesure d’angle de cet angle-là qui sera comprise entre –pi et pi et ce sera la mesure principale. C’est pour cela qu’on dit la mesure principale – il n’y en a qu’une.
Alors ce qu’on va faire ici très intuitivement, c’est d’enlever des 2pi. Alors :
<calcul mathématique>
Donc il faudra enlever un 12pi sur 6 en entier, ce qui fait que nous allons enlever un tour complet à cet angle-là. Donc ce qu’on va faire, c’est enlever des 12pi sur 6 à cet angle de 29pi sur 6.
<calcul mathématique>
Est-ce que 17pi sur 6 est compris entre-pi et pi ? Et bien non puisqu’on voit bien que c’est au-dessus de 6pi sur 6. Donc il faudrait encore essayer d’enlever un tour.
<calcul mathématique>
Et là, c’est bon ! 5pi sur 6 est compris entre –pi et pi. Donc ici on a la mesure d’angle principale de cet angle puisqu’elle est comprise entre –pi et pi.
Donc le résultat est bien 5pi sur 6.
Une autre façon de faire, sinon, c’est la méthode générale pour trouver la mesure principale d’un angle orienté si tu as une mesure en radians – il s’agit tout simplement de trouver la mesure principale que l’on note alpha, et d’écrire cette inégalité pour indiquer qu’alpha se trouve entre –pi et pi.
<calcul mathématique>
Donc nous allons chercher le nombre de tours complet qu’il faut ajouter ou retrancher à notre mesure d’angle en radians afin de trouver la mesure principale comprise entre –pi et pi.
<calcul mathématique>
Et finalement, après avoir pris ma calculatrice, j’ai pu calculer le membre de gauche et le membre de droite de l’inégalité – et on trouve que K :
<calcul mathématique>
Donc ce qui fait que K est un nombre entier qui est compris entre -2.92 et -1.92. Donc, c’est -2, forcément. Donc il faut enlever 2 tours complets à x pour que notre mesure d’angle soit comprise entre –pi et pi. Et cette mesure d’angle-là, c’est notre mesure principale.

Souviens-toi, c’est exactement ce que l’on avait fait ici, précédemment. Donc ici, en utilisant la méthode générale que je te donne, et bien on retrouve ce résultat.
Alors pour autant, ce n’est pas le résultat final, puisque nous cherchons le résultat de x plus 2piK.
Donc alpha est :
<calcul mathématique>
Et donc on trouve bien qu’alpha est égal à 5pi sur 6.