1ère S
Méthode par coefficients inderterminés pour trouver les coefficients « a », « b », »c » d’une fonction.
Comment factoriser un polynôme à l’aide de la méthode par coefficients indeterminés ?
Bonjour à toi et bienvenu dans cette nouvelle vidéo « star en math ». J’espère que tu vas bien.
Alors dans cet exercice, d’énoncé très court, tu vas voir, il va s’agir, tout simplement de déterminer les Réels a,b et c tels que :
z3-1=(z-1)(az2+bz+c)
Donc en fait, il va s’agir de trouver la valeur de ces trois coefficients a, b et c.
tu vois bien que ce sont des coefficients parce que, effectivement, ils sont devant z au carré, z et c c’est la constante, ici.
En fait, tu remarques qu’il va s’agir finalement de factoriser ce polynôme.
Juste en passant, j’ai choisi la variable z mais bon j’aurais très bien pu choisir notée x.
Bon, ça peut être x, z,t, u, peu importe le nom de la variable de la fonction.
Donc ici tu vois bien qu’on a un polynôme du troisième degré, à gauche.
Un polynôme c’est vraiment une fonction de la forme :
un polynôme de degré 2, je pense que tu connais, c’est de la forme :
ax2+bx+C.
Mais tu peux très bien avoir un polynôme de degré 3 qui est de la forme :
ax3+bx2+Cx+d
Tu peux avoir un polynôme de degré -on appelle ça le degré du polynôme- de degré ce que tu veux.
Nous ce qu’on étudie, principalement dès la seconde, ce sont les polynôme de degré 2.
Mais bon, dans les exercices tu pourras très bien rencontrer des polynômes de degré supérieur, notamment de degré 3 comme ici.
tu vois bien que le coeffiecient de Z cube et bien c’est 1 devant le z3
Le coefficient de Z carré, et bien c’est zéro, il n’y en a pas. En z non plus.
Et le dernier coefficient, c’est-à-dire la constante, c’est moins un, le d si tu veux ici.
Et en fait, là nous allons voir dans cet exercice, ce que l’on appelle la méthode par coefficients indeterminés.
Coefficients indeterminés qui sont donc a, b et c et qui permet de factoriser un polynôme de n’importe quel degré.
Ce qui est donc interessant puisque après, une fois que tu as le polynome z3-1 sous forme factorisé, c’est-à-dire quelque chose fois quelque chose : c’est ça une forme factorisée, c’est un produit
Et bien tu peux ensuite, notamment resoudre les équations beaucoup plus facilement
Donc là ce que nous allons faire, c’est vraiment d’essayer d’appliquer cette méthode par coefficients indeterminés que tu pourras retrouver dans beaucoup d’exercices au lycée en 2nde, 1ère ou terminal.
C’est une méthode très simple tu vas voir.
En fait, ce qu’il s’agit de faire, je rappelle bien, c’est trouver a,b et c.
Donc là tu ne veux pas vraiment démontrer l’égalité, c’est pas vraiment que tu veux démontrer l’égalité entre les 2, là tu sais qu’il y a égalité entre les 2 choses.
Donc pour trouver les coefficients a, b et c, ce qu’il faut faire c’est développer à droite, tu vois c’est vraiment la première étape.
On développe ici à droite, et ensuite, on va procéder à ce qu’on appelle une identification des coefficients.
Alors une identification, en math, ça veut dire égaliser.
Donc on va voir un petit peu ce que ça donne. Donc développons tranquillement à droite.
Alors je peux mettre les flêches hein si tu veux pour nous aider au développement.
On va d’abord prendre le z et on va enssuite développer, le distribuer si tu veux avec le az carré, le bz et le c.
Ensuite on prendra le -1 et on le développera avec az carré, bz et c.
Voilà donc les différentes étapes, donc quand tu développes un produit de deux facteurs avec des parenthèses, je t’encourage vraiment à faire ça dans l’ordre.
Il ne faut pas partir dans tous les sens parce que sinon tu vas te perdre et tu vas surement faire des erreurs.
Donc vraiment on garde l’ordre, on suit les flêches, tranquillement. D’accord ? Donc ça va donner :
« calcul mathématique »
TU vois on place de préférence le z puissance n après le coefficient.
« calcul mathématique »
Donc là, on obtient un polynôme toujours puisqu’il y a des z puissance n, z au cube, z au carré, des z et une constante.
Et ce que l’on fait, c’est qu’on ordonne tout simplement. On regroupe les termes qui peuvent être regroupés et on ordonne.
On ordonne suivant les puissances décroissantes de z puissance n donc :
« calcul mathématique »
Et tout ceci donc, c’est un polynôme de degré 3 puisque tu vois ici qu’on a une puissance 3 au dessus du z.
Peu importe comment ça s’appelle comme fonction mais c’est juste pour te dire que c’est un polynôme de degré 3.
Et en fait, il faut qu’il soit égal, l’identifier à z au cube moins 1
En fait, c’est ça que ça veut dire identifier en math.
tu vois quand tu dis identités remarquables, on aurait pu les appeler tout simplement égalités remarquables parce que identifier en math, ça veut dire égaliser.
Donc là on veut identifier, si tu veux, égaliser ce polynôme de degré trois avec celui-ci, en orange.
Donc ça on veut que ce soit égal à z3-1.
Et donc tu remarques que j’ai placé z3 et -1 juste en dessous du nombre auquel ils doivent être égaux.
Parce qu’en fait le polynôme orange ne comporte pas de termes en Z au carré ni de termes en z.
Donc en fait, je pense que tu comprends petit à petit que ces coefficients là, b-a et le c-b,devront être égaux à O.
Ensuite tu vas comprendre aussi que le A ici devra être égal à 1 puisque tu vois que az3 doit être égal à z3. Donc le a doit valoir 1 tout simplement.
Et le -C doit valoir -1 puisque c’est la constante qui reste dans notre polyôme.
C’est là qu’elle est l’identification. C’est ça la méthode par coefficients indeterminés.
Tu vois on identifie les différents coefficients. En fait on obtient une sorte de système si tu veux.
Donc là, on a quatre choses à identifier donc :
« calcul mathématique »
voilà et donc tu obtiens les différentes lignes que tu peux écrire : on va pas renoter les z puissance n c’est-à-dire les z au cube, z au carré, z.
On va juste écrire les égalités de coefficients devant ces z cube, z carré, z et la constante c. tu comprends? Juste les coefficients.
Et donc on obtient ces égalités-ci :
Je vais mettre une accolade pour vraiment te montrer que c’est un système que tu vas obtenir. Un système d’équations à trois inconnues qui sont a, b, c.
Tu vas voir, le système est très simple à résoudre puisqu’on a déjà la première inconnue : on obtient a=1. Ensuite :
« calcul mathématique »
Et là, ça y est, on a nos trois inconnues. Alors ce que tu peux faire, c’est vérifier ça dans la quatrième équation qu’on avait obtenue.
Parce que tu vois on a c-d=0, ça, on ne l’a pas utilisé, on ne l’a pas exploitée cette équation.
Donc en fait, tu peux vérifier un petit peu tes calculs en vérifiant justement si cette équation est satisfaite.
« calcul mathématique »
Donc cette équation est bien vérifiée, elle est bien satisfaite.
Tu vois, donc voilà nos trois inconnues, nos trois coefficients.
Là maintenant, ce que tu peux écrire, c’est tout simplement que z3-1, si tu veux continuer l’exercice, pour vraiment clarifier l’écriture de ce polynôme, l’écriture factorisée:
Tu peux dire que ça vaut :
« calcul mathématique »
Voilà. Là tu as une forme factorisée de ton polynôme qui peut te servir dans la suite de l’exercice, qui va d’ailleurs probablement te servir dans la suite de l’exercice.
souvent, ça fait partie des premières questions d’un exercice.
Et ensuite, une fois que tu as la forme factorisée, tu vas pouvoir jouer un petit peu. Voilà.
Donc là, on a vraiment vu ce qu’était la méthode par coefficients indeterminés, c’est en lien aussi avec la méthode de Descartes,pour factoriser un polynôme.
Et ça permet tout simplement d’avoir une forme factorisée d’un polynôme et de trouver ces coefficient a, b et c indeterminés.
C’est pour ça qu’on l’appelle la méthode par coefficients indeterminés.
Donc ce que je voulais dire également, c’est que si on résume un petit peu comment on fait :
Ce qu’il faut faire c’est juste développer le membre avec les coefficients indeterminés, l’ordonner.
C’est ce qu’on a fait ici : on ordonne d’abord les puissances grandes puis on ordonne par puissances décroissantes.
Et ensuite, dernière étape, identifier les coefficients avec le polynôme avec lequel ça doit être égal.
Enfin c’est pas tout à fait la dernière étape parce que une fois que tu as identifié, tu obtiens des équations, un système d’équations, et tu résouds ce petit système qui est généralement assez simple à résoudre.
Voilà, et là tu obtiendras tes coefficients indéterminés.
Voilà, donc cette méthode tu peux aussi la rencontrer quand tu as des fractions, par exemple si tu dois trouver a, b et c ou d, il peut y avoir parfois un quatrième paramètre, un quatrième coefficient.
Et bien quand tu as des fractions, il ne faut pas être gêné par ça.
Ce que tu fais, c’est que tu mets tout au même dénominateur, tu développes et tu ordonnes au numérateur et tu vas voir que la même méthode s’applique.
Donc tu vas avoir une fraction rationnel ici, c’est-à-dire un quotient, et puis ici aussi un quotient, enfin une somme plutôt de fonctions, chacune étant un quotient.
Et il suffit juste de tout mettre au même dénominateur. Regarde dans notre développement ici, tu mets tout au même dénominateur, tu développes si tu as besoin et tu ordonnes.
Et puis pareil, tu procèdes par identification, c’est-à-dire, tu égalises les coefficients.
Donc voilà, ne pas être gêné si tu vois des fractions et que tu sens que c’est le même genre d’exercice, qu’il faut déterminer aussi a, b et c.
Et bien tu procèdes exactement de la même façon.
Voilà pour cette méthode que l’on rencontre vraiment très souvent au lycée, et même dès la 2nde, en 1ère et également en terminal et qui est souvent le début d’un exercice, début d’un problème.
Parce qu’une fois que tu as la forme factorisée, après tu peux commencer à jouer avec ta fonction polynômale puisque tu en as une forme factorisée.
Donc pour pouvoir résoudre des équations, trouver des signes etc…
Ah oui, j’oubliais une petite chose, c’est lorsque tu crois que tu as terminé et trouvé les coefficients a,b et c, après avoir résolu ce petit système, je t’encourage à vérifier.
Comment vérifier ? et bien,tout simplement en développant ici la forme factorisée obtenue.
tu l’écris, tu vois, avec le coefficient que tu as obtenu. Nous c’était 1, 1 et 1 et donc tu redéveloppes pour voir si tu retombes bien sur z3-1, tu vois ?
ça te permettras de vérifier. Une petite vérification, très rapide, que je t’encourage à faire.
Donc là, tu fais ça, tu le développes, donc là, on va obtenir :
« calcul mathématique »
Voilà, c’est la dernière petit astuce que je voulais te donner :
N’hésite pas redévelopper une fois que tu as obtenu ta belle forme factorisée, pour voir si ça marche bien et si tu retombes bien sur ton polynôme.
S’il y a une erreur évidemment, il faut revenir en arrière pour voir si tu n’avait pas fait une erreur dans l’identification ou dans la résolution du petit système.
Voilà donc pour ce petit conseil et je te dis à la prochaine dans une autre vidéo.
