Methode principale pour montrer qu’une suite est géométrique

Donc la question de cet exercice ça va être de démontrer que Un est une suite géométrique et il va falloir préciser sa raison à cette suite géométrique et son premier terme.
Donc c’est une question très classique en mathématiques, on en voit dès le 1er S je pense.
Et la méthode est la suivante pour résoudre ce type de question, dès que tu veux montrer qu’une suite est géométrique, il suffit juste de calculer le quotient:

tu calcules ça pour tous les n
(Enfin, tu ne te soucies même pas du n, tu écris juste ça)
Généralement on note quand même pour n appartenant à N devant
Ca peut varier
Dans d’autres exercices ça pourrait être n appartenant à N*, ou n à partir de 2 (n=2, 3, 4, 5…n toujours entier)
Et bien tu calcules ce quotient et tu montres à la fin,…en faisant les calcules
A la fin tu arrives à une constante, c’est à dire à un nombre qui ne dépend pas de N,autrement dit, je ne sais pas -2, par exemple ou 5, bref une constante et ça sera ta raison, la raison de ta suite géométrique.
D’où vient ça? Pour quoi on applique cette technique pour démontrer qu’une suite est géométrique? C’est tout simple
Parce qu’une suite géométrique, il faut savoir ce que c’est, c’est une suite qui est définie par l’occurrence de cette façon:
Tu as Un+1 (c’est à dire, un terme) qui est égal à q fois son précédent.
, cette relation c’est équivalent à (Un+1 sur Un), égal q. Ca te donne la raison, tu vois, c’est pareil?
Donc une fois que tu fais ton quotient, si tu trouves un quotient, ça te trouvera bien que ta suite que tu as dans ton exercice est bel et bien une suite géométrique. Voilà…

Là, je t’ai rappelé ce qu’on appelle la définition qu’on appelle par récurrence d’une suite géométrique. Je vais la noter.
A ne pas confondre si tu es en Terminale avec le raisonnement par récurrence, c’est différent.
Et la deuxième définition de une suite géométrique, c’est la définition qu’on appelle explicite, te donne Un directement en fonction de n.
Donc Un=
Donc la première formule que l’on voit c’est=

Tu vois bien qu’il n’y a plus de Un+1 ou quoi que c’est soit.

Tout est donné directement en fonction de n, le Uo est connu et le q aussi dans les exercices.

Et tu as aussi une formule un petit peu plus générale qui est la suivante:

C’est à dire que Un égal en générale:

Si par example, ta suite ne commence par U0 comme je te disais tout à l’heure, mais commence à U1, U2 ou U3, parfois U4 même si c’est plus rare, donc là j’ai mis Uk (en général)

Il faut décaler l’exposant de la raison

Ca c’est une formule plus générale et la formule que l’on voit dessus c’est un cas particulier de la formule générale, c’est à dire, quand k vaut 0.
C’est la plus fréquente, car souvent les suites commencent en k=0. Voilà, ce qu’on appelle la définition explicite.
Voilà, dès que tu reconnais, en fait, une suite qui t’est donnée sous forme explicite et dont la forme explicite est exactement celle-ci:
tu s un nombre fois exposant n
Alors, directement tu peux dire que c’est qui est sous la puissance c’est la raison et le nombre devant c’est le premier terme.
Donc là tu vas bien que notre suite est donnée sous forme explicite, il n’y a pas de problème, c’est ce type de définition là.
Et bien, on pourrait peut-être reconnaitre qu’il y’a cette forme ici…mais c’est ne pas tout à fait ça
Donc ce que l’on va faire c’est appliquer la méthode que je t’ai donné et on va faire le calcul de Un+1 sur Un
Ca c’est vraiment la méthode qui marche à tous les coûts pour démontrer qu’une suite est géométrique.
Mais j’étais en train de te donner les permises d’une deuxième méthode pour démontrer qu’une suite est géométrique. .Tu peux très bien mettre ton Un sous cette forme là. Si ta suite t’est donnée de forme explicite, tu peux mettre ton Un sous cette forme-là. Ca serait une deuxième forme de démontrer que une suite est géométrique, je vais te la montrer juste après.
Donc là on fait ce calcul-ci
Donc tu calcules le quotient…
C’est très simple….Tu calcules le Un+1 Dejà le Un+1, tu n’as qu’à remplacer ici le n par n+1. Le n il n’apparaît que là
Ca va te donner quoi?

Si tu fais Un+1
Ca va te donner tout simplement:

tu pourrais mettre des parenthèses autour du n+1 si tu voulais mais tu n’as pas besoin ici

Il faut bien sûr mette derrière le divisé par Un
Et tu sais que diviser par un nombre, en maths, plutôt que d’avoir une espèce de construction à étages, je t’encourage à le faire comme ça, diviser par Un c’est aussi de multiplier par l’inverse de Un
Et l’inverse de Un c’est tout simplement

Donc là c’est multiplier par=

Donc là, c’est plutôt bien parce que il n’y a que des fois, donc ça veut dire que les 5 vont s’annuler en haut et en bas. Donc là il ne va plus te rester que le -2 puissance quelque chose.
Là il va falloir simplifier un petit peu.
On va dire déjà ce que ça va nous donner en haut:

Je pense que tu seras d’accord avec moi

Et en bas…ça ne change pas:

Il faut quand même réussir à simplifier tout ça. Parce qu’il y a des puissances. Comment se débarrasser de tout ça?
Comment essayer d’exprimer les choses autrement?
Tu ne peux pas t’arrêter là. Si tu t’arrêtes là, bien, tu as un nombre, mais ça dépend de n. Et pour le moment ce n’est pas une constante.
On n’a pas encore prouvé que c’est une constante. Une constante je te rappelle c’est un nombre qui ne dépend pas de n. C’est un nombre réel constant, 5, 4; -3.
Là, on n’a pas ça, on a du n.
Donc là il faut connaître les règles sur les puissances.
La première à bien connaître est tout simple, c’est celle-ci:

C’est ça la petite erreur que l’on peut faire.
Les plus au niveau de puissances se traduit en un « fois » au niveau de nombres. C’est un petit peu comme ça que tu peux la retenir. Ca marche?
Donc là, et bien on applique cette formule. Car là, on a -2 (a), le n (ça sera le b) et le c, ça sera le 3
Ca va te donner là haut:

et en bas on fait pareil. On applique encore cette petite formule en rouge sur les puissances. Donc là ça fait:

Voilà donc là on s’approche vraiment de notre simplification parce que déjà les -2 exposants s’en vont
Ca veut dire On obtient un nombre constant. Et c’est ce qu’il fallait prouver prouver. A la fin, on veut bien prouver que l’on a une constante, ce qui va prouver que notre suite est géométrique.
On n’a plus que du (-2 ) au cube sur du -2 au carré.
C’est tout simple:

Tu peux toujours exprimer ce qui est une puissance, puissance simple comme celle-ci.
Sur du -2 au carré.
Bref, tu as plein de -2 qui s’en vont. En fait tu en as quatre.
Tu peux donc barrer ce -2 avec celui-ci, et ce -2 avec celui-là.
Donc il te reste juste: -2
Voilà donc le résultat final
et c’est ça la raison de ta suite géométrique.
Voilà donc comme on a prouvé qu’elle était géométrique. On a trouvé par la même sa raison, ce fameux nombre constant.

Et donc, maintenant on nous demande aussi le premier terme.
Bon le premier terme c’est tout simple. Il suffit juste de calculer le premier terme U0.
Parce que la suite commence bien à n=0.
Car on te dit que n appartient à N. Ca veut dire que n vaut 0, 1, 3, 4, 5 etc…
Donc U0, on fait le calcul ensemble
C’est tout simplement….(on le fait juste en bas)

Voilà donc le premier terme de ta suite géométrique

Ca veut dire, si tu connais bien ton cours, que cette suite géométrique s’est exprime comme ça aussi
Sa définition sa définition explicite simple serait celle-ci
Donc à priori, c’est ce qu’on vient de prouver, c’est que cette suite s’écrit comme ça aussi:

Tu vois, U0 c’est 4/5; q c’est -2 et l’exposant n on l’a remis
Voilà donc l’expression explicite de ta suite géométrique

Et en fait, ce que tu aurais pu faire, plutôt que d’utiliser cette deuxième méthode, que de faire le calcul de Un+1/Un et de montrer à la fin que c’est une constante bien tu aurais pu essayer de transformer Un sur cette forme là

En fait tu aurais très bien pu le faire en prenant l’expression explicite, la définition explicite de Un directement…en te débarrassant du -2 en puissance, c’est à dire que ça donne:

donc on retrouve ce qu’on avait fait là

Et ça te donne donc..

Tu vois? Ce qu’on a écrit là

Et en écrivant ceci, en prouvant que Un s’écrit bien comme ceci

tu prouves par la même que c’est une suite géométrique. C’est une deuxième façon de faire, d’aller plus vite. Tu vois?
Là, tu obtiens directement le premier terme qui est 4/5 et aussi la raison qui est -2, qui est le nombre sous la puissance.
Donc, généralement tu ne peux pas le faire…là tu pouvais le faire car tu voyais bien que ça ressemblais à une forme explicite mais dans les exercices c’est plus compliqué. Tu n’as pas une suite qui est donné d’une forme explicite, d’une part

Et d’autre part et bien, ce qu’on te demande d’utiliser souvent c’est cette méthode de Un+1/Un parce que justement tu n’as pas la forme explicite , que la définition est plus compliqué que celle-ci au début
Bref, la méthode à retenir est celle-ci, ce que je suis en train de te dire:
Pour démontrer qu’une suite est géométrique, tu fais Un+1 sur Un et tu montres à la fin que ça te donne à la fin un nombre qui ne dépend plus de n, qui est une constante.
Voilà donc pour cet exercice.
J’espère que tu as bien compris et je te dis à la prochaine dans une autre vidéo.