Mise sous forme canonique d’un polynôme du 2nd degré

Comment mettre un trinôme sous forme canonique ?

Bonjour à toi et bienvenue dans cette nouvelle vidéo star-en-math dans laquelle nous allons apprendre à mettre un trinôme sous forme canonique.
Je vais diviser l’explication en deux temps. Dans un premier temps nous allons expliquer ce qu’est la forme canonique d’un trinôme et comment mettre un trinôme sous forme canonique, le principe. Et dans un second temps nous allons mettre ces deux trinômes sous forme canonique, nous allons passer à l’exemple.
Alors dans cette première vidéo nous allons expliquer ce qu’est la forme canonique d’un trinôme. Je te rappelle qu’un trinôme est aussi appelé polynôme du second degré, et on appelle aussi ça une fonction carrée. Je te rappelle qu’un trinôme, un polynôme du second degré, c’est une fonction du type ax²+bx+c.
Et dans les exercices, tu as une forme particulière de cette forme en noir, c’est-à-dire que tu as les coefficients a, b et c qui sont connus. Comme ici par exemple, tu vois au-dessus : la a il vaut 1, c’est le coefficient devant le x². Le b il vaut -4 et le c vaut 3. Dans l’autre, le a vaut -2, le b vaut 1 et le c vaut 1.

Et donc un polynôme du second degré, il y a souvent trois formes qui existent et ces trois formes ont chacune une utilité ensuite. La première forme qu’on a c’est la forme développée, que tu as sous les yeux d’ailleurs; Les deux trinômes qu’on a dans cet exercice, ils sont sous forme développée, c’est-à-dire sous la forme ax²+bx+c. C’est ce qu’on appelle la forme développée.
Il existe aussi une deuxième forme, c’est la forme que nous allons étudier dans cet exercice, c’est la forme canonique. Cette forme canonique c’est la suivante : a(x-alpha)²+Beta. Ça c’est ce qu’on appelle la forme canonique. Ce n’est pas tout à fait une forme développée puisque tu vois que tu as des parenthèses. ET ce n’est pas non plus une forme factorisée parce que tu vois que c’est une somme. C’est la somme d’un premier terme (tout ceci) plus le deuxième terme (Beta).
Donc ce n’est pas une forme factorisée ni une forme développée, on appelle ça la forme canonique. Cette forme canonique elle a vraiment un intérêt, puisqu’elle permet, lorsque c’est possible, d’obtenir une troisième forme factorisée, qui est celle-ci (je te la donne directement) : a(x-x1)(x-x2). Et la forme canonique je te disais, te permet, lorsque c’est possible, d’avoir la forme factorisée d’un polynôme du second degré.
Et qu’est-ce qu’elle permet d’autre cette forme canonique ? Et bien tu vois qu’il y a deux coefficient un peu bizarres ici, c’est le alpha et le béta. Et bien ces deux nombres-là représentent vraiment quelque chose pour un polynôme du second degré, ce sont les sommets de la parabole. Je te rappelle qu’une parabole, c’est la courbe d’un polynôme du second degré.
Donc si on prend par exemple ce polynôme-là, tu peux en tracer sa courbe. Sa courbe, c’est une parabole et tu te souviens, une parabole, c’est une courbe en forme de cloche un peu, tu sais, tournée vers le haut ou vers le bas. Et une parabole ça a toujours un sommet. Tu as deux formes possibles pour la courbe d’un polynôme du second degré : ça ressemble soit à ça (une parabole tournée vers le bas), soit à ceci (une parabole tournée vers le haut). Et le sommet, c’est ce point-là. Ici, le sommet c’est quelque chose qu’on conçoit très bien et ici, c’est le bas du bol.
Et le alpha et le béta, quand tu as la forme canonique de ton trinôme, correspondent aux coordonnées de ce sommet. Donc tu vois, ça représente quelque chose de très concret.

Donc nous allons dans cet exercice mettre ces deux trinômes sous leur forme canonique. Maintenant, je vais t’expliquer le principe, c’est-à-dire comment mettre un trinôme sous sa forme canonique. C’est une opération qui n’est pas évidente. Je vais t’expliquer ça tout de suite.
Donc nous allons vouloir passer de la forme suivante, la forme développée, ax²+bx+c à la forme canonique, qui existe toujours alors que la forme factorisée n’existe pas toujours. Alors la forme canonique c’est a(x-alpha)+Béta. En fait il va falloir trouver cet alpha et ce béta. Ça va être ça un petit peu l’opération.
Nous allons donc expliquer la mise sous forme canonique en trois étapes. Le principe c’est le suivant : il va falloir factoriser ton trinôme, on va le voir ensuite dans des exemples, par le a. Donc on factorise par a. Une fois qu’on a factorisé par a, on est d’accord qu’on va obtenir quelque chose de la forme a fois quelque chose entre parenthèses.
Et ce quelque chose entre parenthèses, ce sera toujours de la forme suivante : x²+b’x+c’. C’est-à-dire que ce ne sera plus les mêmes b et c que ce que tu avais auparavant. Ce sera juste de nouveaux nombres, de nouveaux coefficients devant le x et ici la constante. Par contre vu que tu as factorisé par a (on verra dans l’exemple, ça va devenir plus concret), et bien dans la parenthèse il ne te reste plus que le x², il n’y a plus rien devant.

Donc ensuite, deuxième étape et c’est là que ça devient un petit peu difficile : il va falloir que tu reconnaisses ici, à ce niveau là, une identité remarquable, le début d’une identité remarquable. Soit l’identité remarquable (a+b)² = a²+2ab+b². Soit une deuxième identité remarquable (s’il y a un moins en fait) : (a-b)²=a²-2ab+b².
En fait, ce que j’ai souligné en rouge, il va falloir que tu le reconnaisses ici. Soit là, si c’est un plus. Soit ici, si c’est un moins. Et une fois que tu as reconnu ça, et bien ces deux termes, que j’ai soulignés en rouge, tu veux les remplacer par ceux-ci. Parce que tu vois que tu as cette égalité ici. Et ici, tu peux tout à fait dire que a²+2ab=(a+b)²-b². Tu vois, ici, si ça, je le passe à gauche et bien on obtient a²+2ab=(a+b)²-b². a²+2ab, c’est ce que tu auras reconnu ici au début de ta parenthèse, les premiers termes.
Et dans le deuxième cas, et bien le a²-2ab=(a-b)²-b². C’est juste le fait de passer le b² de l’autre côté c’est-à-dire à gauche.
Donc en fait, je répète bien, il va falloir remplacer ces deux termes que j’ai soulignés en rouge par ceci, par ce à quoi c’est égal ici, selon le cas dans lequel tu te trouves. Donc ce sera soit (a+b)²-b², soit (a-b)²-b².
Et enfin troisième étape de cette mise sous forme canonique (là c’est fini, le passage difficile est terminé) : il suffit juste de nettoyer pour obtenir la belle forme canonique c’est-à-dire du a(x-alpha)²+Béta. Tu reconnaitras ton béta à cette troisième étape.

Voilà donc ça c’est l’explication un peu théorique de la mise sous forme canonique mais c’est vraiment comme ça qu’on va procéder, tu vas voir. Et là, maintenant, on va procéder à la mise sous forme canonique de ces deux exemples ici présents.

Mise sous forme canonique d’un polynôme du 2nd degré
vidéo 2/3
Mise sous forme canonique du premier trinôme

Donc c’est parti, nous allons mettre ces deux polynômes du second degré, autrement dit trinômes (ça veut dire la même chose), sous leur forme canonique, c’est-à-dire sous cette forme ici présente : a(x-alpha)+béta, sachant qu’on les a ici sous forme développé : ax²+bx+c (ça, c’est la forme développée d’un trinôme).
Donc comment faire ? Je t’ai expliqué dans la vidéo précédente que pour passer à la forme canonique d’un polynôme du second degré, il faut trois étapes. La première étape, c’est tout simplement factoriser par a. Donc on va s’intéresser à ce premier trinôme, donc le premier exemple : x²-4x+3.
La première étape je te disais, c’était factoriser par a. mais que vaut le a dans cet exemple ? Et bien le a, c’est toujours le coefficient devant le x². Tu te souviens, les coefficients a, b et c ne contiennent pas les x. C’est juste les coefficients devant x², x et à la fin la constante. Donc le coefficient a, c’est tout simplement 1 parce qu’il y a un 1 devant le x². Un 1 qui est implicite, qui n’est pas écrit ici.
Donc le a vaut 1. Est-ce qu’à ton avis, ça sert à quelque chose de factoriser une expression comme celle-ci par 1 ? Et bien pas vraiment en fait parce que ça ne va pas changer grand chose. Si tu veux on peut l’écrire mais ça ne va pas changer grand chose. Donc x²-4x+3, on factorise par 1 puisque c’est ça la première étape de la mise sous forme canonique : ça va donner 1(x²-4x+3). Il n’y a rien à changer dans les parenthèses.
Donc en fait on ne va pas l’écrire, ça ne sert à rien d’écrire tout ça. Je voulais juste te montrer que factoriser par 1, ça ne sert à rien.

Donc ça c’était la première étape. En fait on ne fait que garder le trinôme sous la même forme et ensuite on passe à la deuxième étape. C’est l’étape un peu difficile. Et je te disais, dans la vidéo précédente, qu’il faut reconnaitre l’une des deux identités remarquables : (a+b)², mais attention, le a et le b ce ne sont pas du tout les mêmes qu’ici donc je pourrais les noter comme ça les 2 identités remarquables, et il faut reconnaitre l’une des deux, dans ces deux termes ici présents.
Il faut que tu reconnaisses soit (A+B)², tu te souviens qui vaut : A²+2AB+B². Soit (A-B)² qui vaut A²-2AB+B². Et il faut que tu reconnaisses les deux termes que j’ai soulignés en rouge parmi ceux-là. Donc en fait, à ton avis, dans quel ca on se place ? Et bien c’est bien évidemment ici, dans le cas du moins parce qu’on a un moins en fait. Donc tout simplement, vu que tu as un moins, tu te places dans ce cas-là, dans le cas de cette identité remarquable.
Donc maintenant, comment reconnaitre ? Comment coller les deux choses ? Comment faire en sorte que les deux termes que j’ai soulignés ici en rouge, x²-4x, soient égal à A²-2AB ? En fait il faut que tu choisisses le A et le B en mauve. à ton avis le A, il faut qu’il soit égal à quoi ? Il faut qu’il soit égal au x bleu, tout simplement. Donc là, c’est ce qu’on va faire, donc on va choisir A=x.
Et maintenant, comment faire en sorte que le -2AB soit égal à 4x ? Vu qu’on a choisi le A qui vaut x bleu, et bien je répète le -2AB, ça va donner -2x (puisque le A c’est x) fois B. Et le B il faut qu’il soit égal à combien pour que ce soit égal à -4x tout ça ? Tu vois on veut vraiment coller les 2 choses, faire en sorte qu’elles soient égales. Et bien il faut que le B soit égal à 2. Comme ça tu vas obtenir -2x*2, et ça fait -4x et tu retombes là-dessus. Tu vois c’est égal à ça.
Donc tu vois dans cette deuxième étape, on a fait en sorte que l’identité remarquable colle à ce qu’on avait sous les yeux c’est-à-dire les deux termes ici. On a fait en sorte de choisir le A et le B pour que ce soit égal. Le A c’est simple, c’est x et le B c’est 2, pour que ce soit égal à -4x le total.

Finalement, qu’est-ce qu’on obtient ? Si je réécris toute cette identité remarquable : le A on avait choisi x et le B on avait choisi 2. Donc je réécris cette identité remarquable en remplaçant A par x et B par 2. Ça fait (x-2)²=x²-4x+4. On voulait que ça fasse x²-4x au début. C’est pour ça qu’on a choisi A et B comme ça.
Donc toi, tu voulais remplacer ces deux premiers termes. Donc en fait, on fait en sorte que le 4 passe de l’autre côté. Comme ça tu auras x²-4x=(x-2)²-4. Et on ne va pas développer. On laisse ça comme ça parce que le but c’était d’obtenir une parenthèse au carré. Tu vois bien que dans la forme canonique il y a une parenthèse au carré. Donc on veut une parenthèse au carré à la fin et là tu vois qu’on s’en approche petit à petit.
Donc ça c’était la deuxième étape de la mise sous forme canonique. Et à la fin, ce qu’on fait, on ne fait que nettoyer. On remplace et on nettoie. Donc là, tu reprends ce que tu avais ici, tout ton trinôme et tu remplaces les deux termes soulignés en rouge en utilisant l’identité remarquable (c’était le but, le cœur du principe de la mise sous forme canonique). Et on a trouvé le remplaçant. Il est là. Ça c’est les deux termes et le remplaçant il est là parce que c’est égal. Tu vois ? C’est ça le cœur de la méthode le la mise sous forme canonique.
Donc on remplace les deux termes par ceci et on va obtenir : x²-4x+3=(x-2)²-4+3. Il ne faut pas oublier le +3 derrière. Et donc là on arrive presque à notre forme canonique. Tu vois on a a c’est 1, facteur de (x-2)², on a déjà trouvé notre alpha : c’est 2. Et le béta, en fait il suffit de faire la somme de ces deux nombres à la fin : -4+3=-1. Donc ça va donner (x-2)²-1.
Et voilà, ça y est c’est gagné, tu as ta forme canonique avec le alpha qui vaut 2 et le béta qui vaut -1. Attention il faut compter le moins vu qu’il y a un plus dans la forme générale. Et le alpha ce n’est pas -2, c’est juste 2. Il faut bien préciser ces petites choses là, c’est très important.

Donc tu as l’alpha et le béta. Je t’ai rappelé d’ailleurs dans la vidéo précédente que l’alpha et le béta correspondent au sommet de la parabole. Donc ça représente quelque chose de très concret pour ton trinôme. Si tu traces la courbe de ton trinôme, et bien 2 et -1, ce seront les coordonnées de ton sommet : (2;-1).
Donc ça y est, tu as une information précise sur ta parabole.
Donc voilà comment on a mis notre premier trinôme (ou polynôme du second degré, ça s’appelle aussi comme ça) sous sa forme canonique.
Donc on va faire pareil pour le deuxième exemple. Si tu n’avais pas réussi à mettre le premier trinôme sous forme canonique, je t’encourage à mettre la vidéo en pause et à chercher cette forme canonique pour le deuxième polynôme du second degré.

Mise sous forme canonique d’un polynôme du second degré
Vidéo 3/3
Mise sous forme canonique du deuxième trinôme

Donc c’est parti pour la mise sous forme canonique du deuxième polynôme du second degré qu’on a ici. Donc tu te souviens, il y a 3 étapes qu’on va suivre. La première étape c’est factoriser par a. Que vaut a dans le cas de ce deuxième trinôme ? Et bien c’est tout simplement -2. C’est le coefficient devant le x². C’est ça qu’on appelle a.
Donc on factorise par a. Deuxième trinôme, on factorise par a. Donc je le réécris sous forme développée : -2x²+x+1 et c’est parti, on factorise par -2. C’est égal à -2 facteur de : on ouvre les parenthèses et il faut trouver ce qu’il y a dedans. Donc tu te souviens, c’est toujours x² qu’on va trouver au début, ce qui est normal puisque là, si tu redéveloppes tu vas retrouver -2*x² donc -2x². Donc c’est normal qu’on ait toujours x² au début, il n’y a presque pas besoin de réfléchir.
Donc ensuite il faut trouver le terme suivant pour avoir x. par quel terme il faut multiplier -2 pour trouver x ? Là ce n’est pas forcément évident si tu n’as pas l’habitude de factoriser. C’est tout simplement -x/2 ou x/-2 si tu veux. En fait, il faut remettre ce terme-là : +x et tu divises par -2. Quand tu factorises, regarde si je développe pour vérifier, le -2 tu vas le multiplier avec ce x² et ensuite tu vas le multiplier avec tout ça. Et si tu multiplies -2 par la fraction x/-2 et bien tu retrouves x tout simplement. Les -2 s’annulent.
Donc c’est comme ça que tu peux factoriser facilement par un nombre : tu reprends ton terme et tu divises par le nombre par lequel tu factorises, ici -2. C’est une petite technique. Ce qui donne aussi, souvent on ne met pas le moins dessous, -x/2. Et tu fais pareil pour le +1 à la fin : tu remets +1 mais tu le divises par -2, tout simplement. Donc là, ça y est tu as ta forme factorisée. Quand tu redéveloppes, tu peux vérifier, ça marche bien, quand tu redéveloppes à l’aide des trois flèches bleues, ça va te donner -x², -2x/-2 ça va donner +x et enfin -2*1/-2 ça donne 1 puisque les -2 s’annule. Tu vois donc on retombe bien là-dessus.
Donc là, ça y est on a fait notre première étape de notre mise sous forme canonique, c’est-à-dire qu’on a factorisé par le a qui est ce nombre-là. Donc on va nettoyer un petit peu, ça va nous donner -2(x²-x/2-1/2).

Donc une fois qu’on a ça, on arrive à l’étape un petit peu compliquée de la mise sous forme canonique, là on va vouloir remplacer les deux termes que je vais souligner en rouge en utilisant une des deux identités remarquables : soit (a+b)² si tu as un plus, soit (a-b)² si tu as un moins. Ici, il se trouve que tu as un moins donc on va utiliser l’identité remarquable suivante : A²-2AB+B²=(A-B)². Et toi il faut que tu reconnaisses, que tu colles, ces deux premiers termes : le A²-2AB. Et il faut que tu trouves le A et le B en mauve.
Le A c’est toujours la même chose, ça va te donner le x en bleu. Le A c’est le x en bleu. Et quel B il faut choisir pour que tu aies -2AB=-x/2. Là ce n’est pas évident, c’est là je trouve qu’est le point difficile de la mise sous forme canonique. En fait c’est 1/4. En fait c’est le -1/2 que tu as ici devant le x, divisé par 2 puisque tu as fois 2 ici. Je pense que tu seras d’accord que si tu remplaces B par 1/4, et bien là tu as -2*x*1/4 et si tu calcules ça, ça fait -2x/4 et si tu simplifies la fraction, ça fait -x/2. Ça c’est égal à -x/2.
Donc le B, on va choisir je répète 1/4, c’est ce que j’ai mis ici et le A tu te souviens, on choisit toujours x. Donc là ça va être x². Et qu’est ce que ça va être le B² ? ET bien vu qu’on a choisi B comme étant 1/4, ça va être (1/4)² donc c’est 1/4 *1/4 ça donne 1/16. Donc x²-x/2+1/16=(x-1/4)². Donc les deux termes qu’on voulait remplacer : x²-x/2, on les retrouve ici, et en fait on va les remplacer par (x-1/4)²-1/16. Tu passes ça de l’autre côté. Donc on va obtenir (je vais l’écrire juste en dessous) : x²-x/2=(x-1/4)²-1/16. Voilà par quoi tu vas pouvoir remplacer x²-x/2 que tu avais ici. Ça tu vas pouvoir le remplacer par tout ceci.

Donc ça y est nous arrivons à la troisième et dernière étape de la mise sous forme canonique de notre deuxième trinôme. Donc tu te souviens, on était à la forme factorisée, donc -2 facteur de tout ceci. Donc -2 facteur de ce que j’ai encadré en rouge -1/2. Mais ce que j’ai encadré en rouge, tu te souviens, on l’a remplacé, c’était le but de la deuxième étape, par ceci, ce que j’ai encadré en rouge tout en bas.
Donc on va le faire, on va remplacer ce que j’ai encadré en rouge par ceci : -2((x-1/4)²-1/16-1/2). Il ne faut pas oublier le -1/2 qui trainait derrière. Une fois que tu as ça, tu es presque à ta forme canonique. Tu vois que tu as (x-1/4)², donc tu as (x-alpha)² qu’on va vouloir garder. Il ne faut surtout pas redévelopper bien sûr.
Tu mets un égal et tu développes mais juste avec le -2 en fait. Tu enlèves les grandes parenthèses, celles-ci en fait. Donc on développe avec le -2 et on va obtenir :
« Calcul mathématique »
Donc on obtient : -2(x-1/4)²+9/8 Et voilà ton alpha et ton béta. L’alpha c’est 1/4 et le béta c’est 9/8.

Voilà comment on a réussi à mettre notre trinôme sous forme canonique. Donc j’espère que tu as bien repéré les 3 étapes pour y arriver. Première étape on factorise par a. Deuxième étape : on va remplacer les deux premiers termes de la parenthèse à l’aide de l’une des identités remarquables (soit (a-b)² quand tu as un moins, soit (a+b)² quand tu as un plus). Troisième étape, une fois que tu as obtenu ta parenthèse au carré, et bien tu nettoies le tout pour obtenir a(x-alpha)+béta.
Je sais que c’est un petit peu technique, je sais que ce n’est pas évident cette mise sous forme canonique mais je pense que tu peux y arriver. Il faut vraiment que tu t’entraines sur plusieurs exemples qui ressemblent à ceux-là et il faut que t’y arrives vraiment par toi-même à faire 2 ou 3 exemples parfaitement, sans t’aider du corrigé et je pense que tu seras au point sur cette mise sous forme canonique d’un trinôme.
Et ça sert puisque par exemple, si tu dessinais (tu peux le faire d’ailleurs) la courbe de ce trinôme ici présent sur ta calculatrice, et bien tu mets ton curseur ensuite sur le sommet de la parabole obtenue, et tu vas bien voir que les coordonnées de ce sommet c’est 1/4 et 9/8.