Mise sous forme canonique d’un trinôme, Formules et Petits Calculs
Dans cet exercice de maths gratuit en vidéo, nous allons expliquer les formules pour mettre un trinôme (polynôme du 2nd degré) sous forme canonique, avec PLEIN de rappels et d’explications sur les détails de calcul : )
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Mise sous forme canonique d’un trinôme, Formules et Petits CalculsMise sous forme canonique. Alors c’est un grand mot « forme canonique », ça fait un peu peur, mais… Mise sous forme canonique de quoi ? D’un trinôme. Un trinôme c’est aussi, je pense que tu le sais, Mam, c’est comme ça que ça se prononce ton prénom, c’est bien Mam. Oui oui. Ok, très bien. D’un trinôme donc c’est ax²+bx+c, qui est aussi comme on disait à l’instant avec Stéphane, qui est aussi un polynôme du second degré. Bref, un trinôme et un polynôme du second degré c’est la même chose. En fait, c’est juste pour le vocabulaire. Alors, est-ce que tu sais ce que c’est la forme canonique d’un trinôme ?C’est une forme simplifiée non ? Oui, on peut appeler ça comme ça. Alors maintenant ce qui me fait un peu rire c’est que la forme canonique d’un polynôme du second degré, franchement, entre toi et moi, elle n’est pas du tout simple à apprendre. Je ne sais pas si tu la connais par cœur. Non je ne connais pas, je n’ai pas encore appris justement, et là j’essaie de comprendre. Donc ça, c’est égal aussi à <Calcul mathématique>, de toute façon, cette formule, tu ne la trouve pas un peu longue franchement ? Si. <Calcul mathématique> Alors de toute façon, on n’a qu’à reprendre ce membre de droite ensemble et le calculer, c’est-à-dire développer ici le carré. Tu es d’accord qu’ici tu peux calculer entre guillemets, c’est-à-dire qu’ici, tu peux développer cette identité remarquable, et essayer de simplifier ton calcul. On va voir ensemble si on retrouve ça. On le fait rapidement ? Donc c’est vrai que c’est un peu pénible parce que c’est vraiment abstrait là, il n’y a que des lettres etc., mais tu vas voir qu’on va prendre un exemple ensuite. Donc je mets ça, <Calcul mathématique>. Alors déjà, dans cette formule, est-ce que tu ne reconnais pas certaines choses ? Si, le delta. Oui. Tout à fait. Et qu’est-ce qui est delta là-dedans ? b²-4acVoilà, très bien. Ça c’est delta, est-ce que tu ne reconnais pas autre chose. Peut-être que cette formule t’es moins connue mais ça peut être utile de la connaître là-dedans. Je ne sais pas, une identité remarquable non ? Oui effectivement, au niveau calcul, c’est vrai que c’est une identité remarquable, on a quelque chose, une somme au carré, mais ça, b/2a est-ce que ça ne te dis pas quelque chose ? Ce sont les racines je crois. Pas tout à fait. En fait, c’est la formule. En fait, -b/2a c’est la formule de x sommet.Est-ce que ça te dit quelque chose quand je mets ça. Non. Alors, en fait, pour revoir ensemble très rapidement –b/2a, est-ce que dans le repère orthonormé tu sais ce que ça donne comme type de courbe ce genre de trinôme ? Non, pas du tout ? Je ne suis pas fort en dessin, en courbe en fait. Donc ça c’est quelque chose qu’on pourra revoir ensemble, n’hésite pas à poser des questions là-dessus. Ok. Alors, de toute façon, ça donne quelque chose d’assez simple, comme je le disais d’ailleurs dans la séance précédente mais je crois que tu n’étais pas là, ça donne une parabole en fait. Est-ce que tu sais ce qu’est une parabole ?Oui, c’est une fonction au carré je crois. Oui. D’ailleurs la fonction au carré, c’est un trinôme tu vois ? C’est juste quand a vaut 1, quand b = 0 et c = 0. Mais en gros une parabole, c’est quelque chose comme ça <Figure>. C’est une sorte de cloche en fait, ou quelque chose comme ça. D’accord ? Et en fait cette parabole, elle est plus ou moins large selon ton petit a, ton petit b et ton petit c. Et dans un repère orthonormé, si tu es dans ce cas de figure-là, disons par exemple celui-ci. Tu vois, je place mes deux axes. Tu vois, ce n’est pas vraiment la courbe bleue, ça correspond à un trinôme. Donc là, je ne connais pas le petit a, le petit b et le petit c mais là c’est juste un exemple quoi. Ici x, y. Et en fait, le moins b/2a, ça correspond au x du sommet de ta parabole. Ici le sommet, d’accord il est en bas, mais c’est là où ta parabole change de variation. Tu vois, donc ici tu as –b/2a. C’est l’abscisse du sommet. Donc c’est une formule que tu peux retenir parce que ça peut être parfois utile. Et dans ce deuxième cas, quand la parabole est tournée vers le bas, donc en gros quand le sommet est en haut, et bien tu as, voilà tes axes, et ton sommet, ça correspond à ça <Figure>, x sommet qui est égal à –b/2a. Tu vas voir, tout à l’heure je vais prendre un exemple, et tu vas revoir ça d’un coup. Dans l’exemple tu vas comprendre. Donc là, ça va tu comprends à peu près déjà ça ? Oui, c’est bon je capte.
Ok tu captes. Donc a veut dire déjà, je te rappelle que la courbe d’un trinôme c’est une parabole, c’est une sorte de cloche comme ça, ça s’appelle une parabole. Et ça il faut la retenir. Effectivement on a la formule delta aussi, donc ça c’est important à savoir. Donc, là, on était partis pour re-développer. Donc c’est parti, est-ce que tu peux m’aider à développer l’identité remarquable ? <Calcul mathématique>, je décompose direct. Ah, c’est une possibilité de faire ça, tu peux tout à fait faire ça, mais le truc c’est qu’en fait, tu n’utilises pas ta connaissance de l’identité remarquable quand tu fais ça. Tu vois ce que je veux dire ? On va prendre une identité remarquable qui est on va dire (u+v)².C’est u²+uv+v² Presque, mais ce n’est pas tout à fait ça. Effectivement tu as u²+2uv+v². La fin c’est exact. Il faut vraiment que tu te souviennes de ça, parce que c’est vrai que les identités remarquables en fait, on les rencontre très souvent en maths. Donc c’est vrai, tu peux tout à fait faire ce que tu me disais, c’est-à-dire, dire, et bien ça, u+v, le tout au carré, c’est égal à comme tu dis, (u+v) facteur de (u+v), ça c’est vrai, mais la chose c’est que c’est un peu plus pénible de développer tout ça. Si on le fait c’est un peu long, ça fait <Calcul mathématique>, tu vois tu es obligé de faire ça à la main entre guillemets. C’est un peu long, il faut connaître cette forme là, qui est vraiment l’identité remarquable quoi. Ok Mam ? Ok. Donc en fait, ce que je vais faire, c’est que je vais la garder et on va l’appliquer ensemble, mais vraiment je te conseille de la connaître. Est-ce que tu connais les autres identités remarquables, il y en a deux autres. Il y a a²+b² je crois. Alors non, pas tout à fait, c’est a²-b². Là j’ai noté u, donc je vais mettre u²-v², c’est la même chose, et qu’est-ce que ça vaut cette troisième identité remarquable ? Je ne me souviens plus du tout. Ça vaut, (u-v)(u+v) ça te dit quelque chose ?Oui j’ai déjà vu mais j’ai oublié en fait. Alors je suis d’accord avec toi, ce n’est pas forcément facile de les retenir au début, mais c’est vraiment des choses que tu vas revoir très très souvent dans les exercices, tu en voir encore beaucoup en première et en terminale. Moi je te conseille au moins de les connaître. Et tu as la deuxième ici qui vaut, en fait la même qu’ici mais avec un ‘moins’, (u-v)² = u²-2uv+v². D’accord ? Oui. Ce n’est pas grave de toute façon, tu ne peux pas les connaître tout de suite maintenant. Le but par contre, moi je te conseille de les apprendre ces trois là. Parce que pour le coup-là, je dis qu’il vaut mieux pas retenir plein de formules, la preuve, ces formules à mon avis je vais te dire de ne pas les retenir, parce que je vais t’expliquer pourquoi. Mais les trois identités remarquables, au contraire, je te conseille de les connaître. Ok. Donc on en était à ça, on va développer, donc ici mon u c’est quoi ? Mon u c’est x et mon v c’est b/2a. Voilà. Donc, mon v c’est tout ça quoi. Donc comme tu disais, x², effectivement parce qu’on utilise la première <Calcul mathématique> là c’est la forme factorisée et ici on a les formes développées. Ici, on est là, et c’est quoi ? <Calcul mathématique>. C’est à peu près ce que tu as dit mais ça va dans l’autre sens ; il vaut mieux aller dans l’ordre. <Calcul mathématique>. Alors maintenant qu’est-ce que je vais faire ? On aimerait simplifier tout ça, donc on n’a qu’à développer par a, je te laisse me dire. <Calcul mathématique>, tu reprends tout ça. Je crois savoir ce qui t’embête. C’est le 2 en fait. C’est le 2 devant là ? Oui. Alors dis-toi que le 2 devant, c’est 2/1 aussi, c’est la même chose, 2 et 2/1. Donc ici tu as x, x c’est x/1 aussi. Donc tout ça, c’est une multiplication si tu veux de trois fractions, c’est la même chose. Et est-ce que tu sais multiplier trois fractions entre elles?Oui, on multiplie les numérateurs entre eux. Oui c’est tout à fait ça, donc faisons-le. <Calcul mathématique> Est-ce que tu peux m’aider à simplifier toute cette fraction au carré ? Je vois déjà que les calculs pour toi Mam, je pense que tu as besoin d’une petite aide. Oui. Mais c’est bien déjà d’avoir identifié ça. Tu le savais déjà que tu avais un peu de mal en calcul ? Donc là on était à <Calcul mathématique>. Alors du coup, b/2a, le tout au carré, est-ce que tu peux me dire combien ça vaut. On va le calculer à part.Est-ce que tu peux m’aider à simplifier ça ? Tout simplement, on y va vraiment par étape. Alors déjà, quelque chose au carré, qu’est-ce que c’est Mam ? C’est ça que je t’encourage à faire pour ta première S et même en maths en général, il faut y aller progressivement. Ce n’est pas grave si tu ne peux pas me dire tout de suite la réponse, au contraire, le mieux, que j’aimerais que tu me dises, c’est la première étape en fait. Tu vois ? Comment débloquer cette situation ? Je veux calculer ça, comment aller plus loin ? Qu’est-ce qui te bloque là-dessus ? Et bien il faut le multiplier par lui-même en fait. Exactement. Tout à fait, parce qu’un carré, c’est un nombre multiplié par lui-même. Oui. Donc b/2a x b/2a. Ok, voilà. Donc ensuite, j’écris quoi ? Tu peux me dire ce que j’écris. <Calcul mathématique> Là, quelque chose de très important que je vais te rappeler, par exemple, on va dire 2x², c’est différent de (2x)². Est-ce que tu peux me dire pourquoi ?Parce que le carré il n’est que pour x et que de l’autre le carré il est pour 2x. C’est ça. Ce carré là, il est juste pour le x. Alors que là, le carré, c’est pour tout le monde, c’est-à-dire que ça là, ça vaut 2x fois lui-même, tu es d’accord ? Oui. Donc ça vaut combien ? Ça vaut 4x². C’est ça, 4x². Donc 4x² c’est différent de 2x². Voilà, donc ça c’était juste une petite aparté. Du coup, on revient à notre calcul. Alors, du coup, là, qu’est-ce que ça vaut après ? <Calcul mathématique>. Pourquoi tu veux enlever le carré, non tu ne peux pas. Tu ne peux pas simplifier les carrés là Mam. Pourquoi ? Ça c’est une bonne question. Je ne sais pas, je prends un nombre, je vais prendre un nombre, disons 5²/3². Est-ce que tu peux me dire combien ça vaut ?<Calcul mathématique>. Est-ce qu’on peut simplifier ça, pas vraiment. On ne peut pas vraiment réduire cette fraction. Mais est-ce que j’ai le droit de barrer les deux là ? Est-ce que si je barre les deux, est-ce que c’est toujours vrai ? 5/3 ce n’est pas 25/9. Tu vois, tu n’as pas le droit de simplifier les carrés. Tu ne peux jamais simplifier les carrés en fait, ça n’existe pas, vraiment, ça. D’accord ? Par contre tu peux simplifier quand tu as un même nombre en haut et en bas, mais pas une même puissance. Ok.
D’accord. Donc ça, c’est vraiment très important. Ce qui fait que, là ce que je voulais juste que tu me dises, pour ça, c’est combien c’est en bas. Tu te souviens, le b² on le garde bien sûr, on ne peut pas le changer, mais le dénominateur, ça vaut combien, 2a fois lui-même. C’est 4a². Voilà, c’est tout ce que je voulais entendre en fait. Tu comprends ? Donc voilà, et du coup, on revient à notre calcul principal, là j’en étais là et bien a fois tout ça. Bon, alors, qu’est-ce que j’écris après ? b²/4a² Voilà, b²/4a², nickel, donc je vais effacer ça, je mettrais après la suite parce que notre calcul n’est pas fini là. <Calcul mathématique>. Voilà. Qu’est-ce que je fais avec tout ça maintenant ? C’est le bazar. On peut simplifier. Voilà. On aimerait simplifier, c’est un peu le bazar, donc qu’est-ce qu’on fait ? Alors moi, ce que je te conseille de faire, c’est déjà de simplifier chaque membre, donc comment on va faire ? Déjà, cette chose-là, est-ce que tu peux la changer ? Pas vraiment. Non. Tu ne peux pas non plus vraiment l’additionner avec quelque chose d’autre. En tout cas pour l’instant. Ça, est-ce que je peux en faire quelque chose ? Là tu as vu, tu as de mêmes nombres en haut et en bas. Oui, 2. 2 et 2. Donc, on peut les enlever. Voilà, ceux-ci, je peux les enlever, parce que ce ne sont pas des puissances et c’est des nombres qui sont des facteurs, ici tu n’as que des « fois » entre les nombres, tu es d’accord ? Donc là, je peux tout simplifier comme je veux. Dès que je trouve un même nombre en haut et en bas, je peux l’enlever. Donc c’est parti. Voilà, tout à fait. Donc tu as vu, qu’est-ce qui nous reste ? Tout à fait. Donc on va déjà noter ax²+bx c’est déjà bien, ensuite tu es d’accord que nous on voulait prouver. Souviens-toi que quand tu fais un calcul, il faut toujours te rappeler de ce que tu veux démontrer à la fin.Et là, qu’est-ce qu’on veut démontrer à la fin ? On veut montrer que tout ça là, c’est égal à ça. Donc, il nous manque quoi ? Donc on aimerait démontrer que tout ça finalement, et bien c’est juste c. Ok ? Oui. Et d’ailleurs, je pense que j’avais raison, il n’y a pas de carré, je pense que tu t’es trompé, je pense qu’il n’y a pas de 4a² en dessous. On ne s’est pas trompé dans le calcul mais c’est dans la forme canonique au départ. Je ne sais pas, dans le livre ils le mettent au carré. Je pense que c’est une erreur. Donc on va voir tout de suite pourquoi je l’enlève. Donc je l’enlève aussi de partout. Pourquoi ? Ce qui nous reste ici c’est c. Est-ce que tu peux m’aider ? Est-ce que déjà, on ne peut pas simplifier cette chose ? En progressant par étape. On ne peut pas enlever les 2 a ? Et bien oui. Tout à fait. Comme je te le disais au tout début, n’hésite pas à dire qu’un nombre fois une fraction et bien le nombre, c’est aussi le nombre sur 1. Donc c’est aussi une fraction un nombre. D’accord ? Ok. Donc ça veut dire que tu peux multiplier les numérateurs entre eux, comme tu disais, et tu peux multiplier les dénominateurs entre eux. Donc effectivement, tu peux simplifier, ici par a. Du coup, qu’est-ce qui va me rester alors ici si j’enlève les a. <Calcul mathématique> Alors, est-ce que tu es sûr qu’il me reste un carré en bas ? Le carré il s’adresse à quel … Il s’adresse à a. Voilà. Donc a² c’est quoi concrètement ? C’est a x a. Tout à fait. Donc si tu veux je le répète, j’ai <Calcul mathématique>. Tu es d’accord ? Oui. C’est toi qui avait dit qu’on simplifiait par a, donc on fait comment ici ? Donc on enlève les a, il reste b²/4a.
Voilà c’est bien, d’où l’intérêt d’aller lentement en maths. Après quand tu auras plus de facilité, d’aisance, tu pourras aller un petit peu plus vite, mais là, il vaut mieux ne pas te tromper quoi. Donc ensuite, qu’est-ce que je note ici ? Ça, ça ne se simplifie pas vraiment. Tu es d’accord ? Par contre, j’ai un « moins » et j’ai ici b²-4ac, le tout sur 4a. Alors, est-ce que ça ne te rappelle pas une chose, c’est que, disons 5-2, le tout sur 3. Est-ce que je ne peux pas l’écrire autrement comme fraction ? Je ne sais pas non. Si, 3/3 égal à 1. Non mais complètement, tu as raison, mais est-ce qu’on ne peut pas écrire autrement cette fraction, c’est-à-dire, genre d’abord une première fraction et ensuite une autre ? Oui, donc on peut faire… Oui, je n’aurais pas dû utiliser des chiffres mais, 5/3 – 6/3. Non. Pourquoi ? Pour donner 2, non ? Non, le 2 il reste, il reste 2/3. Ok.
Voilà, donc ça c’est vraiment une règle importante de calcul que tu peux utiliser ici pour transformer ce dernier membre, un peu compliqué. Je suis d’accord qu’on fait un calcul, peut-être qu’il peut paraître un peu compliqué. En fait, c’est un calcul littéral mais il faut quand même que tu sois à l’aise avec ça, parce que tu vas en faire pas mal en fait. Mais tu verras que ce n’est pas compliqué, ce n’est pas très difficile. Donc ici, tu as un moins, et ce que je voulais te faire faire, c’est de transformer cette fraction, c’est d’abord b²/4a et -4ac/4a. Voilà. Et tu as vu, j’ai bien mis la parenthèse, parce qu’il y a un moins devant. Oui. Le moins il est devant toute la fraction. Donc je ne pouvais pas ne pas mettre de parenthèse. Il faut absolument en mettre. Donc du coup, ça c’est pas mal parce que, qu’est-ce qui va se passer là ? Regarde, donc je répète, enfin je renote tout ça. <Calcul mathématique>, et ensuite, j’ai envie d’enlever les parenthèses en fait. Tu peux m’aider Mam ? <Calcul mathématique>, très bien, et après il me reste quoi ? <Calcul mathématique>
Super. Voilà, et qu’est-ce que je peux faire de cette fraction ? La simplifier. Par quoi ? 4a en haut et en bas. Voilà, il nous reste notre c, et là on a gagné. Voilà, alors tout ça comme je te le disais, c’est une formule un peu compliquée à retenir, tu as vu, enfin moi-même je ne la connais pas par cœur pour tout te dire. Donc qu’est-ce que tu as vu comme exercice en gros. Est-ce qu’on t’a demandé, mettre sous forme canonique, je ne sais pas moi.Non pas encore justement. Pas encore, ok. D’accord, en gros, il faut que ça ait cette forme là, c’est-à-dire, regarde, je vais prendre un exemple, cette fois-ci on va prendre, disons, 2x²-4x+5, tu es d’accord que ça c’est un trinôme. Est-ce que tu peux me dire ici, quel est le petit a, quel est le petit b, quel est le petit c. Alors le a c’est 2, le b c’est -4, voilà il faut mettre le « moins », bien joué, et le c c’est 5. Du coup, quand tu connais ta formule pas de problème, tu mets ça sous la forme canonique suivante, tu étonnes ton professeur, oui, moi je connais ma formule par cœur, donc comment tu fais ? Donc là, ça fait <Calcul mathématique>, ok on simplifiera tout ça ensuite. Très bien, donc ça, super, quand tu connais ta formule, ça va aller assez vite. Donc ça, c’est, on va simplifier maintenant assez rapidement ensemble, là on a l’occasion de faire un petit calcul ensemble, donc, c’est parti. Ok donc, <Calcul mathématique>. Alors je ne veux pas développer, je veux juste garder cette forme, mais je veux juste simplifier les petits calculs. Ok ? Les fractions. Donc là, ça fait <Calcul mathématique>, on est d’accord. Et ici, apparemment, on se serait peut-être trompés. <Calcul mathématique>, ok, il ne nous reste plus qu’à simplifier cette fraction. On a presque fini. Ça fait <Calcul mathématique>, super, et maintenant donc, comment simplifier cette fraction du coup ? On peut enlever les 8. Et il nous reste quoi ? -3, mais vu qu’on avait un – devant, +3. Pas de soucis ? Oui aucun. Pas de problème. Donc du coup, on a trouvé ici, tout ça, +3, et ça c’est vraiment la forme canonique de ton polynôme. Le truc c’est qu’on a utilisé la formule, tu es d’accord. Donc ça veut dire que tout ça, ça suppose, et bien moi, je connais ma formule.Mais quand tu ne la connais pas, comment tu fais ? Et bien en fait, la technique, tu n’as pas besoin de connaître la formule en fait, la première chose à faire, je vais t’expliquer ça progressivement, mais la première chose à faire, je vais enlever tout ça. On va toujours s’atteler à mettre ça sous la forme canonique. Donc j’enlève. Et toi, dis-toi que la forme canonique, c’est déjà : tu factorises par a. Première chose. Donc, déjà est-ce que tu peux me dire ce que c’est le petit a.Le petit a, c’est 2. Est-ce que tu vas pouvoir m’aider à factoriser par a. Toujours c’est la première étape dans une mise sous forme canonique. Comment on fait ici. Tu vas voir, tu n’as même pas besoin de connaître ta formule en fait. Je t’écoute. Je suis ton crayon. Et bien là, ça ne va pas être facile justement. Je mets « fois », tu es d’accord que je le mets en facteur, donc je mets « fois » quelque chose, alors premier terme. Il faut que quand tu multiplies par la chose que tu vas mettre, tu trouves 2x². Donc ça fait <Calcul mathématique>. Oui, parce que quand je prends 2 et que je le multiplie par x², et bien je trouve 2x². Tout simplement, il ne faut pas aller chercher plus loin. Ensuite, je m’occupe de tout ce terme là, fois 2x. Alors 2x oui, et quel signe je mets entre les deux ? Un moins. Pourquoi ? Parce que tu as toujours cette possibilité là quand tu factorises, tu peux re-développer pour voir, si ce que tu fais c’est bon, je fais deux fois -2x. <Calcul mathématique>, deux opérations mathématiques ne peuvent pas se suivre, donc je mets des parenthèses, et ça, ça fait combien ? Ça fait -4x. Voilà, donc c’est bien ça, tu vois ? Donc ça c’est bon. Pas de problème, et la suite ? Et bien pour trouver 5. Ça te fait un peu peur ? Il ne faut pas. Ça va être une fraction, je t’aide. Oui, une fraction je sais, 5/2. Et quel signe je mets ici ? Plus. Voilà, plus. Donc voilà, si tu veux on re-développe ça ensemble, <Calcul mathématique>, tu vois, tu n’as qu’à mettre ça en-dessous en fait. Ça fait 5. Parce que les 2 se simplifient. Pas de problèmes Mam ? Oui c’est bon. Voilà, donc là on a vraiment factorisé par notre a, on a fait notre première étape.Deuxième étape, tu vas transformer les deux premiers termes dans ta parenthèse, c’est-à-dire ceci. En utilisant l’identité remarquable, on va transformer, c’est vraiment la méthode générale que je te donne. Au lieu de retenir toute la formule, tu ne vas retenir que cette méthode, Transformer les deux premiers termes en utilisant donc l’identité remarquable, l’une des deux en fait. Disons, (a+b)² ou quand il y a un moins comme ici, (a-b)². Voilà, donc à ton avis, comme je te disais, laquelle on va utiliser parmi ces deux là. La deuxième. La deuxième, donc je te la rappelle, tu vas m’aider quand même. (a-b)², ça vaut quoi ? Toi tu l’avais retenu comme étant le produit de a et b mais il manque quel nombre. Toi tu avais dit en général a et b, et ce n’est pas tout à fait vrai, il manque quelque chose -2ab. Oui. Et il y a un « moins » et ensuite, plus b². Toi tu vas utiliser ta connaissance de cette identité remarquable en noir ici pour transformer ces deux premiers termes, alors comment plus précisément ?Et bien il va falloir que tu identifies ces deux premiers termes que sont a²-2ab avec x²-2x. Tu vois, quand je dis identifier, et bien il faut que tu trouves, quel est mon petit a, et quel est le petit b. Tu vois, et ce n’est pas très compliqué. Donc a c’est x. Tu vois c’est assez naturel, et le b des fois c’est un peu plus compliqué que ça, mais je pense qu’ici tu peux le trouver assez rapidement. Et b c’est 2x. Non pas tout à fait, parce qu’ici j’ai -2ax. Donc quand je fais déjà -2a, et bien ça fait -2x puisqu’on avait dit que, tu vois <Calcul mathématique>, tu vois j’aimerais une égalité entre les deux. Je connais déjà mon a puisque je l’ai choisi. C’est x. Du coup ici, c’est x. Donc combien doit valoir mon b pour que -2xb soit égal à -2x en bleu. Il faut que x. Non b, x ne bouge pas lui. Donc en fait que b il soit égal à 1.
Voilà. Tout simplement Mam. Voilà. C’est un nombre qui vaut 1 ici. Et là c’est fini en fait. Tu n’as pas besoin de connaître toute ta formule, regarde pourquoi c’est fini, parce que tu choisis b=1, d’accord, du coup, j’y arrive tout de suite. Tu as factorisé dans un premier temps par a, donc j’essaie entre parenthèses, donc je vais avoir = 2 facteur de, alors maintenant que tu sais que tout ça, je vais même enlever ça, enfin non, je vais garder ça. Maintenant que tu sais que ton x²-2x c’est ton terme entouré en rouge ici, et bien ton terme entouré en rouge, est-ce que tu es d’accord qu’il vaut aussi a-b, le tout au carré –b², c’est-à-dire que je passe le b² de l’autre côté. Tu es d’accord, c’est juste une petite opération. Je le passe de l’autre côté donc ça veut dire que je fais –b² à gauche et à droite. Voilà. Et donc là, combien ça vaut ça ? ça, ça vaut, il y a une inégalité pour ces deux choses. (x-1)²-1 Donc il ne fallait pas oublier le carré ici. Il y a le carré, mais bon 1² on est d’accord que ça vaut 1. Et donc ensuite, qu’est-ce que je note ici. Moi je veux remplacer mon terme en noir, entouré en noir pardon, par tout ceci. <Calcul mathématique> Non pas encore. Non, donc je le mets. <Calcul mathématique>
Voilà, il ne faut pas l’oublier, on le met. Et voilà. Là on a quasiment fini, on a presque mis sous forme canonique, tu vois on l’a vraiment sous cette forme là, ou la deuxième, c’est vraiment la même chose, donc on a 2 facteur de <Calcul mathématique> et qu’est-ce qu’il y a ensuite, parce qu’il y a deux constantes ici. Pourquoi ne pas les ajouter ?1 ça vaut quoi par rapport à 2, au dénominateur 2. Ça vaut 2. Voilà, il vaut mieux mettre ces deux nombres sur le même dénominateur tu es d’accord ? Voilà, et là tu n’as qu’à mettre 1 sur le dénominateur 2, donc c’est 2 demie, oui, tout à fait. Donc ça fait 7 demi. Pas tout à fait. Ça fait 3/2. Moins ou plus ? +3/2 Voilà, c’est fini, tu vois, donc tu n’as pas besoin de connaître cette grosse formule en fait. Ce qu’il faut, c’est 1, que tu factorises par a, en gros tu obtiens a facteur d’une grosse parenthèse, et après dans la grosse parenthèse, et bien tu t’occupes de ce qu’il y a dedans. Et comment tu t’en occupes, grâce à la 2e étape. Et cette deuxième étape, et bien c’est transformer ces deux premiers termes, en gros tu auras toujours x² ici, tu auras toujours x² mais après ça peut être différent. Donc tu transformes ces deux premiers termes que sont x² + ou + quelque chose, en utilisant l’identité remarquable, celle-ci ou l’autre. D’accord ? C’est vrai que c’est une opération un peu compliquée mais honnêtement entre nous, tu auras très rarement à la faire, très rarement, c’est pour ça qu’à mon avis, c’est bien joli, moi je trouve que c’est beaucoup plus intéressant d’une part de savoir faire cette opération, que de connaître la formule par cœur déjà. Et ensuite deuxième chose que je veux te dire, c’est que tu n’auras jamais à le faire en fait. Même quasiment tu n’auras jamais à faire ça parce que ça ne sert presque à rien cette opération. Presque, des fois ça peut servir. Voilà. En tout cas, moi ce que je t’encourage, juste ce que je vois aujourd’hui avec toi Mam, c’est déjà d’être à l’aise avec les identités remarquables : (a-b)², (a+b)², et tu te souviens la dernière, la différence des deux carrés, c’est-à-dire a²-b². Oui. Il faut que tu revoies ces choses là, je te jure c’est très très important de les connaître par cœur. Parce que tu vas les voir tout le temps. Voilà. Bon et bien écoute, j’espère que tu as compris la mise sous forme canonique, sachant que moi je t’encourage à ne pas connaître cette formule, mais plutôt à savoir faire concrètement, à savoir la mettre sous forme canonique, tu vois, donc tu n’as pas besoin de connaître la formule. Bien sûr si tu la connais ça va aller un peu plus vite, encore que… mais si tu sais faire ça là, premièrement tu factorises par a et deuxièmement tu transformes les deux premiers termes en utilisant une identité remarquable et bien c’est bon, tu as gagné. Ok ? Ok. Voilà ce que je peux te dire. |
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