Modélisation d’une fonction polynôme de degré 3 à partir de contraintes sur ses tangentes

comment modéliser une fonction polynôme du 3ème degré sous certaines contraintes ?
Bonjour à toi et bienvenu dans cette vidéo star en maths. Ici Romain, j’espère que tu vas bien.

Alors dans cet exercice, on a une fonction f qui est definie sur R par
f(x)=ax3+bx=c avec a, b et c qui sont 3 réels. 3 réels qu’il va falloir déterminer dans cet exercice. On va voir un petit peu comment.
On a représenté, ici, à droite, une partie de la courbe de f ainsi que ses tangentes aux points A et B.
En effet, tu peux voir que la tangente en fait à la courbe de f en A, et bien c’est une tangente horizontale, cette petite droit bleue claire.
Et la droite tangente au point B de la courbe de f, et bien c’est cette droite qui passe par le point C. ça marche ?

Et donc l’idée, dans cet exercice, c’est de trouver l’expression de la fonction f.
Alors, il s’agit d’un exercice assez classique que l’on voit dès la première S dans lequel il va s’agir en fait de trouver le a, le b et le c.
C’est ça que ça veut dire quand on vous demande de trouver l’expression de f.
Il faut vraiment trouver les valeurs de petit a, petit b et petit c.

Et en fait, on va vouloir les trouver de façon à ce que la courbe de f respecte ces conditions, ses contraintes qu’on a, en fait, ici à droite sur le graphique.
Et ces contraintes, en quel nombre sont-elles ?
Et bien regardons un petit peu plus notre graphique.
Tu vois que la courbe de notre fonction f, en fait, les seules choses qu’elle doit respecter cette courbe de f c’est tout simplement que :
elle doit passer par le point A.
Le problème du point A c’est qu’on ne connait pas vraiment sa coordonnée suivant y, on connaît uniquement son x qui est 3,5.
Surtout, ce qu’on a au niveau du point A c’est que la courbe de f a une tangente horizontale au niveau du point A.

On a aussi l’information suivante :
c’est que la courbe de f passe par le point B, et là c’est plutôt pas mal parce que le point B on connait vraiment entièrement ses coordonnées.
On connait son x et son y à ce point B. C’est tout simplement 5 et 0 comme y.
Et aussi au niveau toujours du point B, la courbe de f a une tangente qui est en fait la droite (CB).
Et C on connait aussi ses coordonnées puisque ce sont des coordonnées très simples à voir, des coordonnées entières qui sont 2 et 6.

Donc finalement les contraintes que l’on va avoir.
On appelle ça des contraintes, c’est-à-dire que ce sont des informations qui contraignent la courbe de la fonction f, qui disent en fait comment la courbe de la fonction f doit se comporter.
Et bien ces contraintes sont au nombre de 3 et ce sont celles-ci :

Donc la première contrainte ce serait que cf a une tangente horizontale en A
Deuxième contrainte :Cf passe par le point B.
Et la troisième, et bien Cf, c’est encore une information au niveau d’une tangente, Cf a la droite (CB), on met toujours les droites entre parenthèses, comme tangente au point B.

Donc cet exercice c’est vraiment ce qu’on appelle un exercice de modélisation.
C’est-à-dire qu’on cherche à modéliser la courbe de la fonction comme on le désire en fait.
On impose des contraintes, d’accord, et du coup la courbe de la fonction f devra satisfaire ces contraintes.
elle devra passer par le point B, elle a une tangente horizontale ici, elle a une espèce de maximum local ici, tu vois, elle va monter et redescendre juste après.
Et au niveau de B on veut vraiment qu’elle descende suivant cette tangente là. D’accord ? suivant la tangent, la droite (CB).

Donc ça c’est vraiment un problème de modélisation. C’est quelque chose qui est très intéressant parce que ça se rapproche presque d’un problème d’ingénieur.
Tu vois, un ingénieur, par exemple, qui dessine la carrossserie d’une voiture, et bien il veut que sa carrosserie ne fasse pas n’importe quoi.
Il ne va pas donner n’importe quel coefficient à sa fonction, à la fonction qui dessine la carrosserie de sa voiture.
En fait il veut que sa carrosserie satisfasse certaines conditions esthetiques par exemple ou techniques.
Du coup, il va obtenir sa fonction à partir des contraintes qu’il va imposer.

Et bien là, c’est pareil en fait, on commence par emettre les contraintes, en fait qu’on veut que la fonction satisfasse.
A partir de ces contraintes on va obtenir la fonction qui va servir après à, par exempble, et bien construire cette carrosserie.
Donc c’est vraiment un problème, là je t’en ai donné un exemple, mais qui peut avoir d’autres applications.
C’est un problème de modélisation de fonction.

Donc là en fait, on a écrit nos 3 contraintes.
ça, c’est important, de l’avoir écrit en français.
Et l’idée, maintenant, c’est quand même de les traduire mathématiquement parce que le but, dans cet exercice, c’est de trouver le a, le b et le c.
Comment à partir de ses trois contraintes et à partir de l’expressien en fait générale de f(x) on va pouvoir trouver le a le b et le c ?

En fait il faut vraiment les traduire mathématiquement ces différentes contraintes.
C’est là qu’entrent en jeu tes connaissances, notamment tes connaissances sur le chapitre des dérivées plus particulièrement sur le nombre dérivé.
Alors il y a quand même quelque chose que l’on peut traduire très facilement, comme contrainte, c’est la deuxième ici.
Cf passe par B. Et bien ça se traduit comment ?
Et bien ça veut tout simplement dire, vu que B a comme coordonnées (5;0), ça veut dire que f(5)=0
ça c’est une traduction mathématique simple et qui va vraiment nous servir par la suite.

Maintenant au niveau des tangentes, des contraintes qu’il y a, qui concernent les tangentes.
là, il faut que tu te rappelles de ce qu’est le nombre dérivé d’une fonction en un point donné.
Donc dans cette vidéo on ne va pas rappeler exactement d’ou il vient, comment ça marche un nombre dérivé. Il faut vraiment que tu saches ce que c’est.

On va rappeler très rapidement ce que c’est :
un nombre dérivé, et plus particulièrement le nombre dérivé d’une fonction en un point donné et bien c’est f'(a)
Je le rappelle ici, on fait un petit point cours, je vais le rappeler, ici par exemple :
f'(a) c’est ce qu’on appelle le nombre dérivé de f en a, tu vois que ça fait intervenir du coup la fonction dérivée qu’on calcule donc pour x=a
Et graphiquement ça a une signification très précise en fait.
f'(a) c’est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f en a
Donc ça, c’est très important c’est ce qu’on va utiliser. ça c’est le coefficient directeur.
c’est vraiment une information très importante et qui provient de la définition de ce nombre dérivé, qu’on ne rappelle pas dans cette vidéo, qui utilise, tu te souviens peut-être, la limite de f(x)-f(a)/x-1
Peut-être que ça te rappelle quelque chose.
Donc cette 2ème chose, c’est la signification graphique de f’.

Donc nous, si on regarde, notre courbe, elle a une tangente en A horiontale.
Donc, une tangente horizontale, tu vois c’est une droite, donc cette droite-ci, bleue claire, et ça a un coefficient directeur, comme toute droite dans un repère orthonormé.
Tu te souviens, c’est le petit a qui est devant le x dans une équation du type y=ax+b qui est une équation de droite.
Et bien ça, comme droite, quel coefficient directeur ça a ? Et bien 0.
Une droite horizontale, ça a comme coefficient directeur 0. ça marche ?
Donc là, ce que l’on peut dire de la première contrainte, c’est qu’elle va se traduire de la façon suivante :
f’ alors f’ de quoi ? C’est la tangente en quel a en fait en quel petit a ? En fait petit a c’est l’abcisse du point grand A, donc :
f'(3,5)=0 Voilà donc la traduction mathématique de cette contrainte-ci.

donc ça se base reellement sur cette connaissance, que nous avons rappelé en noir et qu’il est vraiment très important que tu connaisses.
Je pense que tu peux vraiment t’en souvenir, c’est vraiment quelque chose qu’on utilise souvent à propos du nombre dérivé : que c’est aussi un coefficient directeur.
C’est aussi ce qu’on va utiliser pour la troisième contrainte et donc on va obtenir :
et (CB) donc c’est la tangente, au point d’abcisse 5, au point B donc en fait on va avoir :
« calcul mathématique »

alors le coefficient directeur de (CB), tu te souviens comment on calcule le coefficient directeur d’une droite ?
alors là notre droite c’est (CB), elle est vraiment définie d’une façon précise par les deux points C et B.
Et pour avoir le coefficient directeur d’une droite, c’est une formule que tu connais depuis la seconde, même peut-être avant c’est :
« calcul mathématique »
Donc on obtient -2. Ce qui est tout a fait cohérent comme coefficient directeur puisque tu vois bien que cette tangente (CB) et bien elle descend.
Donc un coefficient directeur négatif, c’est cohérent

Pourquoi -2, tu vois, ça se lit graphiquement un petit peu aussi, tu vois, tu avances de 1, et tu es obligé de descendre de 2 carreaux pour retomber sur la droite.
C’est une autre façon d’avoir le coefficient directeur. tu avances de 1 vers la droite et tu regardes de combien tu montes ou tu descends pour retomber sur la droite.
Là il faut descendre de 2 donc le coefficient directeur c’est -2. C’est toujours basé sur la formule.
Donc voilà pour cette traduction mathématique de cette troixième contrainte.
Et là, maintenant on va utiliser un petit peu l’expression de notre fonction qui est celle-ci.
Et donc on va voir un petit peu ce que donnent ces différentes contraintes quand on remplace avec l’expression du f.

1ère S
Polynômes
Modélisation d’une fonction plynôme de degré 3 à partir de contraintes sur ses tangentes
2/3
Obtention d’un système d’équations à trois inconnues

Dans cette vidéo nous allons pousser un petit peu plus loin la traduction de l’énoncé que nous avions commencé dans la vidéo précédente.
Tu te souviens que nous avions traduit mathématiquement les différentes contraintes qui s’appliquaient à la courbe de notre fonction mauve ici.
Donc la première contrainte c’était que notre fonction mauve avait une tangente horizontale au point d’abcisse 3,5.
Notre fonction mauve, elle passait par le point B de coordonnées 5 et 0.
Et notre fonction mauve, troisième et dernière contrainte, et bien elle a comme tangente la fameuse droit (BC) au point d’abcisse 5 de sa Courbe c’est-à-dire B.
Donc ces différentes contraintes, nous les avons ici encadré en rouge.
Et on peut aller un petit peu plus loin en remplaçant en fait, dans l’expression générale de petit f et en voyant ce que ça donne.

Parce qu’en effet, pour le moment nous n’avons pas encore utlisé la forme générale qui nous est donné dans l’énoncé.
C’est-à-dire ax3+bx+c qui est aussi ce que l’on appelle un polynôme du 3ème degré parce qu’on a jusqu’à une puissance de 3 au x. Il n’y a pas spécialement d’autres opérations, pas de quotient pas de racine carrée etc…
Donc chacun des termes ici on appelle ça des nômes, d’accord ? Donc là on a un polynôme, poly ça veut dire plusieurs et là c’est du 3ème degré.

Alors ce qu’on étudie plus de façon je dirais classique, ce sont les polynômes du 2ème degré du second degré, qu’on voit d’ailleurs dès la seconde et qu’on continue à étudier en première.
Mais tu sais que, voilà un polynôme, tu comprends, que tu peux avoir un polynôme de n’importe quel degré, un polynôme de degré 7, de degré 8, 19, 20.
Voilà, en fait ce sont des fonctions qui sont très commodes en mathématiques, qui sont faciles à étudier, qui sont toujours définies sur grand R parce qu’il n’y a pas de valeurs interdites.
Et leurs dérivées c’est pareil, elles vont être toujours étudiés sur grand R. Et ce sont aussi des fonctions qui sont faciles à dériver.
Donc c’est pour ça que ce sont des fonctions qui sont très étudiées en mathématiques et qui sont très pratiques notamment dans la modélisation parce qu’en fait, là je te le dis mais on va pas le démontrer:
si tu veux faire passer une courbe par cinq points précis, par exemple, dans ton repère orthonormé, cinq points que tu mets vraiment n’importe où, et bien, un polyôme du 5ème degré, tu pourras le faire passer par ces 5 points.
Sa courbe pourra passer par ces 5 points. Par contre bien sûr il faut trouver les coefficients.

Là on a un petit peu le même genre de problème, on ne sait pas qu’il faut faire passer la courbe par 5 points, on sait qu’il faut la faire passer par un point donné et aussi elle doit avoir deux tangentes précises.
On les a bien précisées dans la 1ère contrainte et la 3ème contrainte.
Maintenant, regardons un petit peu ce que ça donne.
Là on va devoir dériver notre fonction f en général, en gardant les coefficients petit a, petit b et petit c tout simplement pour traduire mathématiquement, pour aller un petit peu plus loin dans la traduction mathématique ce cette chose là et de cette chose-ci.
D’accord ? Parce que là on a du f’ de 3,5 qui s’appelle le nombre dérivé de f en 3,5 mais bon il ne faut pas que tu dises comme ça « c’est la dérivée de 3,5″tu vois en lisant ce nombre là.
ça ne veut rien dire en fait la dérivée comme ça de 3,5.

Là, pour écrire ce nombre là, f'(3,5), il faut déjà, très important, que tu écrives f'(x) de façon générale.
Tu vois donc f'(x), on va le calculer, c’est très facile avec ce type de fonction.
Il y a 3 termes, c’est une somme de 3 termes et donc il suffit juste de dériver chacun des termes puisque pour dériver une somme, et bien il suffit juste de dériver chacun des termes et ensuite de remettre les + entre les termes dérivés.
Donc f'(x) c’est tout simplement -tu vois tu l’écris d’abord de façon générale la dérivée- ça va donner donc le dérivé du premier terme :
« calcul mathématique »
puisque a c est un coefficient multiplicateur, tu le laisses tranquille devant. Donc ça fait :
« calcul mathématique »
La dérivé de x c’est 1 donc la dérivée d’un terme, kx en général c’est k et la dérivé d’une constante, c’est 0.
Donc voilà la dérivée de ta fonction. Dérivée de la forme générale en fait.

Maintenant, ce que l’on fait et bien c’est que l’on remplace par 3,5 le x et on traduit cette équation un petit peu en remplaçant dans ceci.
Donc en fait, tu te rends compte qu’on va s’acheminer vers un système de 3 équations avec 3 inconnues qui sont évidemment a, b et c.
tu vois, et à partir de ce système, c’est ce qu’on fera après, et bien on va trouver ces solutions. On va résoudrece système.
Donc déjà, on trouve ce système, on va bien l’écrire.

Donc f'(3,5)=0, et bien on remplace tout simplement x par 3,5 et on va obtenir donc :
« calcul mathématique »
3,5 on le remplace par 7/2 pour ne pas avoir trop de nombres décimaux dans le système. je pense que c’est préférable, bon c’est un choix. Pour faciliter un peu le calcul.
« calcul mathématique »
Donc ça c’est la traduction quasi finale pour cette contrainte, c’est la traduction mathématique.
Tu vois, petit à petit, en fait on est passé du monde graphique au monde du calcul. On arrive petit à petit ici à uniquement des calculs.

Donc la 2ème contrainte, c’est peut-être la plus facile à traduire, f(5)=0, là on n’a pas besoin du f'(x) et il suffit juste de remplacer dans f(x), x par 5 et donc dire à la fin que ça vaut 0.
Donc on va obtenir tout simplement :
« calcul mathématique »
peut-être que tu te rends compte que les calculs vont pas être évident ici mais on va y arriver quand même, il ne faut pas être effrayé par des calculs un petit peu difficiles en mathématique.
Tu peux sortir ta calculatrice si tu en as besoin. C’est ce qu’on fera si on en a besoin.
« calcul mathématique »
Voilà donc la traduction mathématique de cette équation ci.

Et enfin, dernière contrainte, et bien c’est un petit peu la même que celle-ci.
Là, on remplace en fait, dans f'(x) le x par 5 et on dit à la fin que ça rend -2 tout simplement. Donc on va obtenir :
« calcul mathématique »
Voilà.

Donc ce que je te propose de faire c est de réordonner un peu le système parce que là tu te rends compte qu’on a bel et bien un système.
un système de 3 équations à 3 inconnues qui sont a, b et c.
Et ça, c’est quelque chose qu’on peut résoudre et c’est ce qu’on va faire dans la prochaine vidéo mais déjà on va nettoyer un petit peu ce système.
Ce que je te propose de faire et bien c’est déjà mettre la première équation qui a 3 inconnues là en haut parce que tu vois ici que la 1ère et la 3ème équation, ce sont des équations avec uniquement du a et du b.
ça en fait, 2 équations avec du a et du b c’est un petit peu du pain béni parce qu’en fait ça va nous permettre directement de trouver le a et le b.
C’est un système de 2 équations, la 1ère et la 3ème, de deux équations à deux inconnues.
tu vois c’est plutôt bien en fait de ne pas avoir de c dans les 3 équations parce que là ça rendrait la résolution du système un petit peu plus longue.

Donc ce qu’on va faire c’est mettre en premier celle avec les 3 inconnues, donc on va obtenir :
« calcul mathématique »
Donc on ordonne, on essaie vraiment d’avoir, du a, du b, du c,

La 2ème ça va donner :
« calcul mathématique »
Donc tu te débarasses, c’est ça l’intérêt, de la fraction. Donc c’est plutôt pas mal, c’est pour ça que j’avais choisi une fraction ici et que je n’avais pas gardé le nombre décimal 3,5.
Tu vois, mais ça nécessite un petit peu de calcul derrière pour avoir que des nombres entiers.
Donc en fait le calcul c’est mettre au dénominateur commun et passer le dénominateur de l’aute côté. Et là c’est simple parce que le dénominateur quand tu le passes ça fait 0 fois 4
Donc voilà pour cette 2ème équation.

Et la 3ème et dernière ça va donner :
« calcul mathématique »
Tu vois bien que les deux dernières équations ne comportent que du a et du b
c est donc en soi, ce sous système-là, un petit système de 2 équations avec deux inconnues qui va nous livrer, c’est ce qu’on va résoudre en premier, le a et le b.
Et à la fin, on utilisera la 3ème équation pour trouver le c.

Donc voilà pour le système auquel on arrive.
Tu vois donc qu’avec la modélisation de fonctions à partir de contraintes géométriques et bien on arrive à un système qui va nous permettre de trouver le a, le b et le c.
C’est très fréquent ce type de problème.
D’ailleurs dans cet exercice, on nous avait proposé un polynôme du 3ème degré, d’ailleurs une forme un petit peu particulière parce que tu vois bien qu’on n’a pas de terme en x2, alors qu’on aurait pu proposer un terme en x2.
Mais là, ils ne l’ont pas fait.

Donc en fait, on aurait pu très bien choisir une autre fonction, une fonction avec des racines carrés par exemple.
Si c’est plus commun d’utiliser une fonction avec une racine carrée, si c’est plus intéressant par la suite, on aurait pu avoir ça.
Mais là, on nous propose un polynôme du 3ème degré sans terme x2 en plus, parce que c’est très simple à manipuler après tu vois, ça donne des choses assez simples au niveau du calcul.
Voilà, et ce que je voulais te dire c’est que vraiment tu pourrais choisir n’importe quel type de fonction.
Une fonction avec des sinus ou cosinus, une fonction si tu es en terminal, avec des exponentiels ou des logarithmes népériens, on pourrait très bien faire ça.
On peut modéliser n’importe quel type de fonction. Donc c’est ça qui est intéressant.
Donc là, ce qu’on va faire dans la prochaine vidéo c’est tout simplement résoudre ce système et donc trouver le petit a, le petit b et le petit c.

Après avoir traduit les différentes contraintes qui s’appliquent à la courbe de notre fonction dans la vidéo précédente, nous sommes arrivés à un système de trois équations à trois inconnues que tu vois ici en bleu.
Donc ce nous allons faire dans cette vidéo c’est tout simplement résoudre ce système.
Alors déjà, je tiens à te dire que si tu n’as jamais vraiment résolu un système par toi-même, si tu ne sais plus trop comment on fait, je t’encourage vraiment à aller voir l’autre vidéo que j’ai faite sur le sujet.
Notamment des systèmes plus simples de deux équations à deux inconnues qu’on résout, tu te souviens avec les deux méthodes, peut-être que tu as déjà entendu parler de ça :
La méthode par substitution ou la méthode par combinaison de lignes
Donc là je suppose vraiment que tu es à l’aise avec ces deux méthodes qui permettent de résoudre un système en général.
Je t’encourage vraiment, si tu n’avais pas trouvé ce système au début de l’exercice, et bien tout simplement à mettre en pause la vidéo, et à le faire, à essayer de mettre les mains un petit peu dans le cambouis comme on dit.
C’est-à-dire tout simplement à prendre une feuille de brouillon et à t’entrainer sur ce système et à le résoudre.

Donc là, je vais aller un petit vite pour les manipulations.
Tu vas voir que les nombres ne sont pas forcement simples à manipuler, tout simplement parce qu’il y a des grands nombres ici et ça va donner lieu à des fractions un petit peu difficiles.
Donc si on a besoin, à la fin, on prendra notre calculatrice parce que tout ne sera pas forcement simple à faire de tête.
Il est à noter aussi que tu peux tout à fait résoudre un tel système sur ta calculatrice, si tu veux aller vraiment très vite. Mais je t’encourage quand même à le faire à la main parce que ça t’entraine au niveau des calculs.
Ça fait vraiment partie de la philosophie que j’essaie de t’enseigner :
C’est très important que tu fasses des petits calculs à la main, que tu ne perdes pas l’habitude d’en faire, que tu ne prennes pas justement l’habitude de tout faire avec ta calculatrice parce qu’on perd un petit peu le sens des nombres, sinon tu vois.
Si on fait tout à la calculatrice, on ne sait plus trop quelle grandeur on a sous les yeux et ça, par la suite ça peut te poser problème parce que tu pourras faire des erreurs de calcul simples.
Donc je t’encourage vraiment à t’entrainer régulièrement à faire des petits calculs comme ceux-ci.

Donc là, c’est parti. On va résoudre ce système de trois équations à trois inconnues.
Il est assez gentil quand même ce système tout simplement parce qu’il nous présente ici, deux équations, les deux dernières avec les inconnues a et b.
Donc je tiens aussi à préciser, je l’ai pas dit, que là on est vraiment dans la résolution d’un sous problème de notre exercice total parce qu’on peut même dire qu’on a complètement oublié le contexte de notre système.

Là, ce qu’on fait, c’est qu’on est vraiment dans le monde du calcul, et on s’attelle à ça, on a presque oublié tout ce qu’il y avait avant.
Donc là, on s’attelle à la résolution du système ici, du sous système de ces deux équations-ci : la deuxième et la troisième.
Alors on a du a et du b. Là on a 4 b et b. Alors qu’est-ce qu’on pourrait faire ?
Et bien ce qu’on pourrait faire c’est tout simplement multiplier par 4 la troisième. À gauche et à droite : fois 4.
Bien sûr avec des parenthèses. D’accord?
Et comme ceci, on obtient notre 3ème équation, notre 3ème ligne, souvent on dit ligne dans les systèmes. Et bien on obtient une équation qui est équivalente, il n’y a pas de soucis, on peut la multiplier par 4.
Et bien on va obtenir surtout du 4b, tu vois quand tu vas développer à gauche.
Et donc, après ce qu’on pourra faire, c’est une combinaison de ligne avec la 2ème. Donc faire 3ème ligne, par exemple, moins 2ème ligne.

Donc là, ce que je te propose et bien c’est tout simplement de recopier tout ça.
Donc ça va donner :
C’est un petit peu long si tu décides de bien rédiger. On va essayer de faire ça jusqu’au bout.
« Calcul mathématique »

Tu remarques que j’essaie, autant que faire ce peut, de mettre les mêmes variables les unes en dessous des autres.
Tu vois je fais une colonne de a, une colonne de b, s’il n’y a pas de c je mets un vide.
Et bien ça, ça facilite vraiment la lisibilité de tout le système. C’est très important si tu peux le faire.
Donc :
« Calcul mathématique »

Donc maintenant ce qu’on va faire c’est tout simplement, juste faire une combinaison de lignes, on va faire la troisième moins la deuxième, membre à membre.
Donc là je ne vais pas tout recopier, on va juste avoir :
« Calcul mathématique »
Donc on obtient cette équation qui va ne comporter que du a et c’est ça le but,
Dans un système, je te rappelle que l’idée c’est petit à petit de te débarrasser des inconnues, et de revenir à des équations, si c’était à 3 au début, et bien à 2 et puis après à une inconnue et puis après, et bien tu trouves cette inconnue et tu remontes dans ton système.
C’est ça le principe général de résolution d’un système.

Donc là, on arrive à :
« Calcul mathématique »
Là les 4b vont s’enlever, c’était le but de la manœuvre.
« Calcul mathématique »
Donc ça y est, on va pouvoir obtenir notre petit a.
Donc le petit a va valoir -8 / 153
Donc ça c’est plutôt pas mal. C’est pas une fraction qui est simplifiable tout simplement parce que 8 c’est 2 fois 2 fois 2 et 153, il n’y a pas de 2 là-dedans puisque ce n’est pas un nombre pair.

On essaie, autant que faire ce peut, de réduire nos fractions.
C’est très important quand tu fais un calcul un peu long, il faut simplifier au fur et à mesure et pas à la toute fin.
Donc là maintenant, une fois que l’on est là, et bien on remonte pour trouver le b. On va remonter par exemple à cette équation-ci.
« Calcul mathématique »
On remplace le a par ce qu’on vient de trouver.
« Calcul mathématique »
Donc là je viens de vérifier sur ma calculatrice, cette fraction n’a pas l’air simplifiable. Donc on n’a qu’à la garder comme ça.
Donc ça, c’est notre petit b. Donc je vais remettre : b

Donc ça y est on s’achemine vers la résolution totale de notre système puisque là, on a trouvé 2 inconnues sur 3.
Il ne nous reste plus qu’à utiliser la dernière équation, celle qu’on n’a pas encore utilisée.
Il faut toujours utiliser tout ce qu’on a sous la main en mathématiques.
Donc là évidemment si tu n’as pas utilisé une des données, c’est-à-dire celle-ci, cette équation là, et bien il faut l’utiliser à un moment donné.
D’ailleurs tout simplement parce que c’est la seule à faire intervenir l’inconnue c, donc forcement il faut l’utiliser.

Donc le petit c va être égal à :
« Calcul mathématique »
Donc ce numérateur, je te propose d’en faire le calcul sur la calculatrice parce que ce n’est pas évident quand même à faire de tête. Donc on va obtenir :
« Calcul mathématique »
Donc voilà notre dernière inconnue : le c

Donc ça y est, on a trouvé, notre expression de petit f.
Le petit f finalement, tu reprends sa forme générale et tu remplaces le petit a, le petit b et le petit c par ce que tu as trouvé.
Et donc on va obtenir :
Vu que tout est sur 153 et bien on peut mettre 1/153 devant.
« Calcul mathématique »

Donc voilà l’expression de notre fonction petit f et ce qui est intéressant, je t’encourage vraiment à aller la dessiner sur ta calculatrice, cette fonction.
Donc, c’est très simple à dessiner, tu rentres ça dans ton menu graphique.
Et tu vas voir, si tu zoomes bien autour de cette zone là, et bien qu’elle satisfait les conditions qu’on avait, les contraintes.
C’est-à-dire qu’elle passe bien par B, au niveau de 3.5 elle a bien une tangente horizontale et aussi elle a bien une tangente de coefficient directeur -2 au niveau de 5.

D’ailleurs cette tangente pour le verifier tu peux la dessiner.
Cette tangente elle est très simple à avoir : la tangente, tu sais tout simplement que c’est (CB), cette droite (CB).
Son coefficient directeur on l’avait déjà déterminé c’est -2. Il reste plus que son ordonnée à l’origine. Donc pour l’avoir c’est très très simple.
Tu te souviens qu’une droite en général c’est y=ax+b et donc cette droite elle passe aussi par B.
Donc ça veut dire que là on a déjà y=ax, donc son a c’est -2 donc y=-2x+b et il manque juste son b pour pouvoir la dessiner sur ta calculatrice.
Pour avoir le b, tu remplaces le y et le x par 0 et 5 respectivement donc 0=-10+b donc b=10
Voilà

Donc si tu dessines la droite d’équation y=-2x+10 en fait c’est la droite (CB) et bien tu vas bien voir que c’est tout simplement la tangente au point d’abscisse 5 de la courbe f.
Je t’encourage vraiment à la dessiner. Donc tu zoomes bien, par exemple tu peux prendre une fenêtre qui est de 2 jusqu’à 6 au niveau des x.
Et sur l’axe des y tu n’as qu’à prendre de -1, pour voir un petit peu en dessous de l’axe des abscisses, jusqu’à par exemple 3 ou 2.5, quelque chose comme ça.
Je t’encourage vraiment à aller voir, tu rentres ces nombres un petit peu compliqués. N’oublie pas le 1/153 devant et n’oublie pas les parenthèses. Et tu verras normalement que ça devrait marcher.