Multiplication et Division par un nombre plus petit que 1

Bonjour et bienvenue à Star en Maths. Dans cette vidéo nous allons expliquer comment multiplier et diviser par des nombres plus petits que 1.

Alors, je pense que « ça ne mange pas de pain » de faire une vidéo dans laquelle j’explique quelque chose d’apparemment simple comme ça. Tu penses que ce n’est pas nécessaire d’expliquer comment diviser et de multiplier par un numéro plus petit que 1 et qu’il n’y a pas besoin d’explication supplémentaire là-dessus. Par contre, moi je pense que c’est important de le faire parce que ce sont des calculs que l’on fait très souvent en mathématiques, c’est très courant à avoir à multiplier par des nombres plus petits que 1, tu verras lesquels, je ne vais pas prendre n’importe quels nombres plus petits que 1. Ces petits calculs sont très fréquents et je pense que ça vaut le coup d’expliquer cela. Ca te demande aussi d’avoir, de développer un petit peu le sens du calcul, le sens des nombres, qui est important en mathématiques pour ne pas te tromper, dans les calculs justement.

Parce que souvent tu fais des erreurs de calcul, que tu peux penser que ce sont, entre guillemets, des erreurs bêtes. Mais les erreurs de calcul ce sont des erreurs comme des autres et sont évitables quand tu as un petit sens des nombres et l’habitude de faire un peu de calcul. Donc c’est pour cela que l’on va faire cette vidéo.

Dans un premier temps on va apprendre à multiplier par des nombres plus petits que 1. Donc si je prends un nombre, par exemple N, à la base, et que l’on multiplie par 0,5, 0, 25 ensuite. Et ensuite on va prendre trois autres nombres, plus petits que 1, en tout on va avoir 5 nombres: 0,1, 0,01 et 0,001. Alors, maintenant, à ton avis, si je multiplie N par un de ces nombres, est-ce que je vais obtenir un nombre plus grand ou plus petit que N? En fait, je vais obtenir un nombre plus petit car quand je multiplie par un nombre plus petit que 1 je diminue le premier nombre N. Alors, ça dépend vraiment si N est positif (si c’est négatif c’est un peu différent), car si N est positif tu transformes N en un nombre plus petit.

Alors, multiplier par 0, 5, qu’est-ce que c’est? Est-ce que tu me le pourrais transformer dans une fraction? On va faire exactement la même opération pour tous les autres nombres, on va les transformer dans une fraction. Tu vas voir que plutôt que multiplier par 0,5, on va multiplier par la fraction correspondante et peut-être que ça sera plus simple.

En fait, 0,5 c’est égal à 1/2.

Donc si je prends comme N 12, on va multiplier respectivement par ces 5 nombres plus petits que 1. 0,5, le premier nombre, c’est 1/2. Donc ça va être 12 fois 0,5, vu que 0,5 est 1/2, ça sera 12 fois 1/2. Maintenant, est-ce que tu te souviens de notre petite règle pour multiplier deux fractions? 12 n’est pas une fraction mais en fait c’est comme si c’était uns fraction un petit peu, c’est comme 12/1. Alors, on a 12/1 fois 1/2. Comme ça tu as la multiplication des deux fractions. Et comment on fait?
Alors, il suffit de multiplier les numérateurs entre eux et en bas les dénominateurs. En haut on aura 12 par 1 et en bas, 1 par 2, tout simplement. Attention, ça ne sert à rien de les passer au même dénominateur. Cela n’est nécessaire que quand on ajoute et on soustrait les fractions. Donc je pense qu’on est d’accord on obtient 12 dans le numérateur, le tout sur, en bas, 2. Et 12 sur 2, ça donne combien? 6. 6 sur 1 si tu préfères, donc, 6.

On a utilisé la règle, c’est celle-ci que je vais rappeler ici en noir: multiplication de a/b fois c/d alors, c’est égal à a fois c sur b fois d

Ca c’est vraiment une petite règle pour les fractions. Quand tu multiplies deux fractions tu multiplies les deux nombres en haut, c’est à dire, les deux numérateurs; entre eux et en bas, les deux nombres entre eux.

Donc là ce que l’on va faire c’est continuer et on va transformer 0,25, 0, 1 , etc. en fractions. Quand tu multiplies par une fraction, c’est plus simple, avec des nombres entiers, que par un nombre décimal, comme ceux-ci
Alors, au passage, tu as vu que l’on passé de 12 à 6 et c’est normal car on a multiplié par un nombre plus petit que 1, en occurrence 0,5, c’est à dire 1/2.

Donc rappelles-toi que lorsque tu multiplies par un numéro plus petit que 1- un nombre positif à la base- et bien, tu obtiens un nombre plus petit, toujours positif, mais plus petit que le premier. C’est une façon de vérifier quelque part ton calcul, ce n’est pas une façon exacte. Mais si tu étais tombé sur, disons, 24, ça ne serait pas possible puisque tu a multiplié par un numéro plus petit que 1 et tu serais tombé sur un numéro plus grand, car 24 ça serait plus grand que 12, et cela n’est pas possible. Donc 6 c’est cohérent donc a priori ton calcul est bon.

Maintenant, 0,25. 12 fois 0,25. 0,25 correspond à 1/4. Donc égal à 12/1 fois 1/4. Je te répète, que je transforme 12 en 12/1 pour pouvoir utiliser cette règle des fractions. Quand tu divises par 1, quand tu mets sur 1, cela ne change rien au nombre. Donc là on obtient tout simplement, 12 sur 4. Est-ce que tu peux simplifier cette fraction? Je pense que si. En fait 12 est 3 fois 4 et en bas, tu as toujours 4. Les 4 s’en vont et tu obtiens 3. En fait 12 sur 4 ça fait 3, et tu obtiens, bel et bien, un nombre plus petit que 12, donc 3.

Voilà le résultat de multiplier par 0,25. Maintenant on va continuer avec ces trois nombres-là. Je pense que tu as compris le principe. Le but c’est de comprendre que multiplier par une fraction c’est comme diviser. Et que pour multiplier par 0,25 il suffit de diviser par 2, pour multiplier par 0,25 de diviser par 4…Pour multiplier par 0,1, de diviser par 10 car 0,1 est 1/10. Donc, là tu vas obtenir 12 fois donc, 0,1, 12 fois 1/10
Donc ça va te donner tu simplement 12 sur 10. Comment peux-tu simplifier cette fraction, c’est aussi 6/5, cette fraction-là. Bon, peut-être cette fraction ne te dis rien, ça ne te parle pas vraiment, alors on peut tout simplement mettre une virgule et 12/10 est 1,2. La virgule était ici à droite du 2 et bien, tu la décales d’un rang, enfin, d’une unité, vers la gauche. Donc voilà 6/5 égal à 1,2.

Voilà, il suffisait de prendre 12 est de diviser par 10. Maintenant, on va faire la même chose. Tu as compris que multiplier par 0,01 équivaut à diviser, pas par 10 mais par 100. Donc tu vas obtenir, pas 1,2 mais, 0,12. Tu vois, ça décale encore la virgule d’un rang vers la gauche.
Et maintenant, multiplier par 0,0001 tu vas diviser par 100. Et bien pour cela on décale encore la virgule, il suffit de rajouter un 0 et tu obtiens 0,012.

Voilà, j’espère que tu as compris que lorsque on multiplie par des numéros plus petits que 1, tu peux tout à fait les transformer en fraction, il faut bien retenir cela:

0,25 est un quart
0,5 est un demi
0,1 est un dixième
0,010 est un centième
0,001 est un millième

Et en fait tu peux aussi retenir que lorsque l’on multiplie par un nombre plus petit que 1, je l’aurai bien répété pendant la première partie de cette vidéo, on obtient un numéro plus petit. Enfin, tous ces nombres-là, donc 6, 3, 1,2, 0,12, 0,012 ce sont des nombres, bien sûr, plus petits que 12 lui-même.

Et maintenant on va voir ce que l’on obtient lorsque l’on divise par ces nombres-là en utilisant une technique un petit peu similaire.

Division par un nombre plus petit que 1

Passons maintenant à la division par un nombre plus petit que 1.

Alors, tu te souviens que quand on multiplie un nombre N par un nombre plus petit que 1, à la fin on obtient un nombre plus petit. Donc si je multiplie 12 par un nombre plus petit que 1 comme on l’a vue, 0,5, 0, 25, 0, 1 on obtient à la fin donc un nombre plus petit.

Maintenant, si on divise 12 par un nombre plus petit que 1, on obtiendra un nombre plus grand ou plus petit? 12 c’est juste pour l’exemple. En fait on va diviser par 0, 5 dans un premier temps, on va diviser ensuite par 0,25, on va faire en fait pour les mêmes nombres que tout à l’heure – qui se transforment bien en fraction- c’est pour ça que je les prends. Donc, ensuite par 0,1, 0,01 et 0,001. En fait, quand tu divises un nombre positif par un nombre plus petit que 1 tu obtiens un nombre plus grand. C’est l’inverse en fait que la multiplication.

En fait, le principe que l’on va utiliser c’est exactement le même. On va transformer 0,5, 0,25, etc en fraction.

Et 0,5, si je le transforme c’est 1/2, je pense que tu est d’accord avec moi. C’est d’ailleurs un des objectives de ces vidéos. Je voulais te montrer que ces nombres-là, il ne faut pas que ce soient des nombres inconnus pour toi. Il faut que tu saches les transformer facilement en fraction, rapidement,

0,5 c’est 1/2
Je n’ai pas mis 0,2 mais c’est 1/5
0,1 c’est 1/10
0,01 c’est 1/100
0,001 c’est 1/1000

Donc c’est vraiment ça que l’on va utiliser quand on va diviser par 0,5, etc.
Donc en fait 12 divisé par 0,5; 12 sur 0,5 si tu préfères, 12 sur 1/2. Donc il faut faire attention quand on a des constructions comme ça. Il faut bien mettre 1/2 dessous. Il ne faut pas se tromper, ce n’est pas la même chose que 12 sur 1 demie, comme ça; ça c’est un calcul totalement différent). Donc il faut faire attention, lorsque tu arrives à des constructions en étage, ce qui n’est pas recommandée d’ailleurs, il faut faire attention où tu mets le trait de fraction par rapport au égal. Donc là c’était juste une petite précision. 12 sur 1/2

C’est que ça veut dire que multiplier par un nombre? Pas seulement par une fraction mais par un nombre en général. Et bien ça veut dire de multiplier par son inverse. Ca c’est quelque chose qu’il faut bien retenir.
Que c’est que c’est que l’inverse de 1/2? Car la on prend 12 et on le divise par 1/2 . En fait c’est 12 multiplié par l’inverse d’1/2 . Et l’inverse de 1/2 c’est 2. Je te rappelle que l’inverse d’un nombre ce n’est pas moins ce nombre, ça, c’est l’opposé, mais 1 sur ce nombre-là.
Donc c’est quoi 1 sur 1/2, c’est 1 sur 0,5, qui est 2.

L’inverse d’un nombre n, c’est 1 sur n

Donc l’inverse de 1/2 c’est 1 sur 1/2, encore une construction à étage pas très pratique, donc 1 sur 0,5, et ça vaut 2.

Donc 12 fois 2, et l’on obtient 24 à la fin.

Tu vois bien que l’obtient un nombre qui est plus grand que 12. Et bien je répète que diviser par un nombre plus petit que 1 ça te donne un nombre plus grand. Ca va?

Donc là on va continuer exactement sur le même principe. Diviser sur 0,25 c’est diviser sur 1/4.

Et bien 12 divisé par 1/4, ça fait 12 multiplié par l’inverse de 1/4,

Donc 12 fois l’inverse de 1/4

Et, qu’est-ce que l’inverse de 1/4, et bien c’est l’inverse de 0,25 qui est 4. En fait, l’inverse de 1 sur quelque chose c’est ce quelque chose.
L’inverse de 1 sur X, c’est X. C’est un peu la règle qui se cache derrière j’espère que tu as bien compris ça.

L’inverse de 1/2 c’est 2
L’inverse de 1/4 c’est 4
L’inverse de 1/9 c’est 9…
ETC

Donc 12 fois 4, et ça fait 48
Donc toujours on obtient un nombre plus grand que 12, donc c’est cohérent. Ca ne t’assure pas que ton résultat est absolument vrai, juste, mais au moins est cohérent.
Si tu étais tombé sur 10 ou 5, là c’est pas bon car c’est un nombre plus petit que 12. Tu comprends?.

Donc là, diviser par 0,1, c’est diviser par 1/10. Donc 12 sur 0,1 c’est 12 sur 1/10 qui est multiplier 12 par l’inverse de 1/10. Et l’inverse de 1/10 c’est 10.
Donc c’est 12 fois 10, on obtient 120.

Donc là je pense que tu a compris le principe et on va aller plus vite.
Donc diviser 0,01 ça revient à multiplier par 100, car 0, 01 c’est 1/100. Donc 12 fois 100, ce qui nous fait 1200

Et enfin, lorsque l’on divise par 0,001, en fait on multiplie par 1000. Donc 12 fois 1000, donc 12000.

Voilà comment on divise par nombre plus petit que 1

Si tu peux transformer ton nombre plus petit que 1 dans une fraction, alors il suffit de multiplier par l’inverse de cette fraction.

Là les fractions c’étaient 1/2, 1/4, 1/ 10, 1/ 100, 1/1000 et ses inverses 2, 4, 10, 100, 1000. Donc on a multiplié par 2, 4, 10, 100, 1000.
Tu vois bien, je répète, on obtient des nombres plus grands à la fin.

Ca c’est très important c’est petites multiplications et divisions par des nombres plus petits que 1. A mon avis, ce sont des petits calculs qu’il faut que tu fasses et que tu refasses pour t’entraîner parce que ça te donne un petit sens des nombres, ce qui fait que tu saches à la fin à quoi t’attendre. Donc si à la fin tu penses que tu n’as pas trouvé le bon résultat, tu vas le voir , ça te va faire un petit « tilt », un petit quelque chose, ce qui fait que tu va revenir sur ton calcul et le refaire. Tu ne vas pas faire ton calcul comme ça, trouver ton résultat et puis passer à la suite alors que peut-être tu t’es trompé.

Enfin, c’est important de faire ces calculs et de ne pas avoir toujours le réflexe de sortir ta calculatrice. Parce que sortir ta calculatrice c’est bien, ça va te donner le bon résultat, mais le problème c’est que ça tue un peu tes réflexes et ton bon sens des nombres. Le sens de nombre est important à développer, au moins un petit peu. Je ne te demande pas de développer un grand sens du nombre mais un petit peu; enfin savoir qu’est que ça donne de multiplier par certains nombres, diviser par d’autres nombres, etc. Comme ça tu auras beaucoup moins de chance de te tromper dans les petits calculs que tu feras dans les exercices.

Voilà c’était tout ce que je voulais te montrer. J’espère que tu as bien compris et je te dis au revoir et à la prochaine vidéo.