Comprendre le nombre dérivé graphiquement

Et bien, on me demande par lecture graphique: il combien c’est f'(-2)

En fait, c’est : comprendre ce qu’est le nombre dérivé

C’est à quoi ça correspond en vrai en fait.

Le nombre dérivé, en vrai, entre guillemets, ça correspond au coefficient directeur, c’est un petit peu compliqué, mais il faut écouter jusqu’au bout. Ça correspond au coefficient directeur de la droite tangente au point d’abscisse a.

Le nombre dérivé, on ne parle jamais de nombre dérivé tout seul, on parle de nombre dérivé en a de la fonction f.

Donc par exemple, le nombre dérivé si ton a, c’est toujours une abscisse quand on dit « en le point a », c’est toujours une abscisse en fait.

Donc, « en le point a », disons qu’il est là <cf. figure>, et bien le nombre dérivé en a, c’est en fait le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse a de f, de la courbe de f.

Donc, si je fais passer la tangente en ce point rouge, de la courbe de f, et bien la tangente c’est quasiment la courbe d’ailleurs. Et bien le nombre dérivé qui se note, rappelons-le, f’(a), c’est vraiment le coefficient directeur de cette droite verte. C’est tout !

D’accord.

Tu vois ?

Et en gros, à ton avis, quand ta droite verte elle est croissante comme ici, qu’est-ce que ça veut dire sur le nombre dérivé ? En l’occurrence f'(a).

Qu’est-ce que ça veut dire quand une droite est croissante sur son coefficient directeur ?

Elle est positive.

Oui. C’est ça, rappelle-toi une droite ça a  toujours la forme : y=ax+b, donc son coefficient directeur s’est toujours le a. Et donc en l’occurrence, c’est le f'(a).

On ne confond pas les « a » ici. Je vais les noter autrement, je vais noter :

-> y=mx+p

-> Le coefficient directeur c’est m

-> Le f'(x) c’est m>0

-> Et bien ta droite, elle monte, un peu comme la droite verte ici

Et donc continuer dans cette portion-là, par exemple c’est mon a qui est ici < graphe >, il est là.

À ton avis, le f'(a), le a Orange, comment il est au niveau de son signe ?

Négatif.

Oui, il est négatif. Et du coup, c’est ça le lien entre le signe de la dérivée et les variations de la fonction. C’est-à-dire que sur cette portion là, tu as la courbe bleue qui descend, et sur toute cette portion quand elle descend, et bien les tangentes, elles descendent aussi.

Tu vois, si je trace les droites vertes, elles descendent toutes. La droite verte tangente à ce point-là < graphe>, elle descend un peu, parce que c’est juste après le sommet. Là elle descend un peu < graphe>, enfin, elle descend même, là elle descend.

Quand la courbe bleue descend, les droites tangentes descendent aussi.

Tu d’accord avec ça ?

Oui oui.

Oui ? OK, donc quand la courbe bleue descend, je répète : les droites vertes tangentes elles descendent aussi. Et qu’est-ce que ça veut dire sur le nombre dérivé, qui est le coefficient directeur de ces droites vertes ? Et bien ça veut dire que le nombre dérivé est négatif.

Est-ce que tu as compris déjà ce qu’est le coefficient directeur de la droite tangente ? Est-ce que tu as compris que c’était le nombre dérivé ?

Oui.

Oui ? OK, donc maintenant, dans ton exercice on te demande quoi, quel nombre dérivé en particulier ?

f'(-2), c’est ça ? Ou f'(2) ?

Oui c’est ça, f'(-2)

D’accord. Alors là, où tu le situerais déjà sur ta courbe ?

Là tu vois tu as un f'(-2), donc tu te places sur la ligne des abscisses en -2

Voilà, tu te places en x=-2, est-ce que le  -2, on a une information sur ce point d’intersection ?

Oui, il est un peu à droite de la courbe.

< Graphe>

Et donc du coup, qu’est-ce que ça veut dire ce f'(-2).

Il est positif.

Voilà, déjà tu sais ça ! Et pourquoi il est positif ?

Parce que la droite de la tangente sera croissante, et donc ça a un coefficient directeur positif.

Voilà c’est ça, et la tangente c’est donc (on ne dit pas la droite de la tangente, ça ne veut pas dire grand-chose), la tangente c’est la droite, on va dire qui coupe ou plutôt qui touche la courbe bleue juste en ce point rouge là < graphe>, et donc cette tangente on peut la faire apparaître, c’est presque celle-ci < graphe> en fait.

Voilà, c’est celle-ci ! OK ? Et donc, cette droite comme tu le disais elle est croissante. Et pourquoi elle est croissante ?

Parce que la courbe croissante à ce niveau-là.

Voilà. Tu as tout compris. C’est ça. Et du coup, on peut demander autre chose sur le f'(-2)?

La consigne, c’est : donnez par lecture graphique f'(-2)

D’accord. C’est-ce que tu as d’autres informations sur ta courbe. Déjà, tu sais que f'(-2) est positif, ça c’est sûr.

Alors, si vraiment ton schéma est exact, tu traces la tangente et tu vois que ça passe par des points précis, tu vois?

Par exemple si tu traces la tangente, tu vois, que par exemple elle coupe ce point, et que tu as les coordonnées de ce point mauve, et bien là tu vois effectivement tu peux déterminer quel est le coefficient directeur de cette droite verte. C’est-à-dire quel est f'(-2).

Pour moi, tu peux juste dire soit le signe, soit si tu as le trait vert juste pour x=-2, c’est-à-dire le trait vert correspondant à la tangente elle-même en x=-2. Et bien là, peut-être que tu peux essayer de calculer son coefficient directeur, si tu as des quadrillages ou quelque chose comme ça.

Si tu a un quadrillage, tu peux peut-être le faire.

Et bien, je l’ai, mais ça ne coupait aucun point en fait.

Ce n’est pas net quoi. Oui.

Eh bien sinon, je vais le mettre sur papier millimétré et je vais tracer jusqu’à ce que ça croise l’axe.

Oui, à la limite. Sachant que tu n’es pas obligé d’aller jusqu’à l’axe. Tu peux prendre n’importe quel point de la droite verte. Prendre un point comme ça < graphe>, un point là. N’importe quel point, mais il faudrait avoir les coordonnées de deux points pour avoir le coefficient directeur. Sachant que, je pense que tu as compris le truc maintenant. Et souviens-toi, dès que tu as les coordonnées de deux points < graphe>.

Tu te souviens comment calcule le coefficient directeur de la droite passant par les deux points ?

C’est (Ya-Yb)/(Xb-Xa)

En fait, la démarche, c’est la même chose. Tu dois garder l’ordre. Tu commences par le point a en gros, tu commences par le point a en bas. Donc là, < calcul mathématique> si tu commences par le point b, il faut aussi le faire en bas. Mais toujours les Y en haut par contre. D’accord ?

Mais sinon, ça, c’est la formule pour calculer le coefficient directeur d’une droite, de la droite (AB) en gros, qui passe par des deux points A et B. OK Anne Laure, je pense que là tu as compris le principe.

Oui.

En tout cas, souviens-toi : le nombre dérivé c’est vraiment une pente, le coefficient directeur de la droite tangente, d’une tangente en fait. Voilà.

D’accord.

Et pour la question : donnez le nombre de solutions de l’équation f'(x) = 0 ?

D’accord.

Alors quand est-ce que f'(x) = 0 ?

Qu’est-ce que ça veut dire en français, lorsque f'(x) = 0 ?

Ah c’est quand la droite n’a pas de coefficient directeur, f'(x) = 0.

Et qu’est-ce que ça veut dire ?

Du coup, qui est parallèle à l’axe des abscisses.

C’est très bien. Une droite qui est quoi, verticale ou horizontale ?

Horizontale.

Voilà.

En gros, là où tu peux avoir une tangente horizontale à la courbe bleue, c’est la où f'(x) = 0.

Et où est-ce que tu peux avoir une tangente horizontale là-dessus ?

Au point (3,-2)

Voilà. Là, c’est clairement une tangente horizontale, et là aussi < graphe>.

Et qu’est-ce qu’il y a aussi l’autre point du bout qui décroît à gauche, qu’on n’a pas de coordonnées précises.

Ah non, parce que là, la fonction elle a l’air de descendre d’après ce que tu m’as décrit, elle a l’air de monter pardon.

Ah oui il ne faut pas que ça coupe. Oui d’accord.

En fait c’est juste en ces deux choses là. Deux endroits plutôt, précisément que la tangente peut être horizontale. C’est-à-dire dont le coefficient directeur égal à zéro. En gros, quel est ce x ? C’est ce x là < graphe>. Ça doit être entre -0,5 et 0. Tu peux l’appeler x1 et là c’est x2.

Et 3.

Voilà. f'(3) si tu veux. A priori, d’après ce que tu m’as montré sur le schéma.

Voilà ce que je peux te dire.