Comment ne pas confondre le Périmètre d’un cercle et l’Aire d’un disque ?

Comment ne pas confondre les deux formules suivantes : le périmètre d’un cercle et l’aire d’un disque ?

Bonjour à toi et bienvenue sur star-en-maths.tv. Ici Romain. Donc aujourd’hui on n’a pas un exercice. En fait j’aimerais te montrer comment tu peux retenir facilement ces deux fameuses formules : celle du périmètre d’un cercle et celle de l’aire d’un disque. Je n’ai pas rappelé ces formules ici, c’est un petit peu pour te tester, pour savoir si tu les connais ces deux formules et si tu ne les confonds pas.
Alors bien sûr ces formules je vais te les rappeler dans un instant mais ce que je voulais te demander dans un premier temps, c’est est-ce que tu connais la différence entre un cercle et un disque parce que tu as vu je n’ai pas écrit périmètre d’un cercle et aire d’un cercle (aire c’est la même chose que surface, tu te souviens). J’ai utilisé aire d’un disque.
En fait il y a juste une petite subtilité entre cercle et disque. Ici ce qu’on a à l’écran, c’est un cercle. En fait le cercle c’est juste la ligne. C’est juste le pourtour en fait. Et le disque c’est quelque chose de plein. Je peux hachurer ce que c’est que le disque. Le disque c’est non seulement le cercle mais c’est aussi ce qu’il y a à l’intérieur.
C’est pour ça qu’on parle plutôt de surface ou d’aire d’un disque et pas de périmètre. On parle plutôt du périmètre du cercle. Donc c’est juste ça un petit peu la subtilité entre les 2. Tu peux retenir que le disque il est plein et pas le cercle. Le cercle c’est juste la ligne si tu veux. Donc voilà la petite subtilité entre les 2, ce qui te permet aussi de bien distinguer ce que c’est que le périmètre, donc le tour, et l’aire, qui est pareille que la surface.

Et maintenant pour les formules, rappelons-les tout de suite. Donc le périmètre d’un cercle, j’espère que tu t’en souviens mais si tu t’en souviens pas ce n’est pas grave, cette vidéo est faite pour ça. Le périmètre d’un cercle c’est 2PiR, avec ce nombre Pi qui vaut environ 3,14…
Et R il faut que tu saches ce que c’est, c’est le rayon de ton cercle ou le rayon de ton disque. Donc ici tu as le centre de ton cercle et là, tu aurais le rayon. Le rayon tu en as plein partout, c’est cette longueur là. Tu en aurais un autre ici par exemple. Tu en as un petit peu partout, je pense que tu comprends que le rayon, tu pars du centre et tu traces un segment jusqu’au cercle en fait. Tout simplement.
Donc c’est très important de bien connaitre cette formule générale qui te donne le périmètre d’un cercle. Et c’est une formule qui, dans les exercices, doit être appliquée d’une façon rigoureuse parce que parfois dans les exercices on ne te donne pas le rayon mais on te donne le diamètre. Donc si on te donne le diamètre, tu ne peux pas utiliser directement cette formule; Il faut d’abord que tu connaisses le rayon de ton cercle dans ton exercice. Le diamètre c’est 2 fois le rayon. C’est ça qui te permet de revenir au rayon et ensuite d’appliquer tranquillement et rigoureusement cette petite formule.
Donc ensuite, la deuxième formule, c’est l’aire d’un disque. Donc l’aire d’un disque, ce n’est pas 2PiR, c’est PiR². Il faut bien comprendre ce que c’est comme petit calcul, c’est Pi*R*R sachant que le carré ici ne s’occupe que du nombre qu’il y a en-dessous du carré, et c’est juste le R ici. Ce n’est pas la même chose PiR² que (PiR)² et ça, ça ne correspond à aucune formule. Ça ne correspond pas à l’aire ni au périmètre. Donc c’est juste le R qui est au carré. Tu sais que mettre un nombre au carré, c’est le multiplier par lui-même. Donc Pi*R*R. Donc voilà la formule qui correspond à l’aire d’un disque.

Et maintenant comment tu peux les retenir plus facilement ? Parce que là, je viens de te les donner mais comment tu peux les retenir si ça fait longtemps que tu ne les as pas vues et que tu es en face d’un exercice qui te présente un cercle ou un disque et on te demande de calculer l’aire.
Alors pour ne pas te tromper, pour ne pas confondre ces deux formules, voici ce que je te propose dans un premier temps. Déjà, il y a un 2 dans les deux formules et il y en a un seul. Donc déjà il ne faut pas se tromper, tu n’as qu’un seul 2 dans chaque formule. Donc ne va pas écrire des formules comme par exemple 2PiR². Ce n’est pas ça, ça n’existe pas cette chose-là. Donc déjà, savoir qu’il n’y a qu’un deux c’est important.
Ensuite, qu’est-ce qui te permet de distinguer laquelle correspond au périmètre et laquelle correspond à l’aire. Pour savoir cela, tu peux utiliser ce qu’on utilise assez souvent en physique chimie, c’est la notion d’unité et la notion de dimension.
Souvent, une grandeur en physique ça a une dimension, c’est-à-dire une unité. Et à ton avis, un périmètre ça se mesure en quoi ? En grammes ? En mètres ? Je pense que tu es d’accord que ça se mesure en mètres parce qu’un périmètre c’est un pourtour, c’est une longueur. Donc ça il faut bien comprendre, ça se dit comme ça en physique, c’est homogène à une longueur, c’st-à-dire que ça a la même unité qu’une longueur. Donc je vais mettre comme ça : longueur. Un périmètre il faut bien comprendre que c’est une longueur. Donc ça se mesure en mètres et pas en mètres carrés, pas en grammes pas dans une autre unité.
Par contre une aire, une surface, tu sais bien que ça ne se mesure pas en mètres. Ça ne se mesure pas non plus en grammes ou en kilogrammes, ça se mesure en mètres carrés. Je pense que tu es d’accord avec moi. Donc ça, c’est homogène à une surface, qui se mesure bien sûr en mètres carrés.

Et donc ces choses là, à quoi ça sert ? Et bien tu les retrouves dans les formules. Ici tu n’as qu’un seul R. R ça correspond à une longueur, à une distance dans un exercice. Par exemple tu pourrais trouver un cercle qui a un rayon de 5 mètres. Donc R ça correspond bien à une longueur.
Le 2Pi devant, ok c’est un coefficient qui nous embête un petit peu mais le 2Pi ça n’a pas d’unité, c’est juste un coefficient qui est là, devant la longueur R. Donc ça c’est bien homogène (on dit ça), ça a la même unité qu’une longueur. C’est bien une longueur et ça ne peut pas être une surface. Donc tu vois, c’est pour ça que tu es obligé de coller cette formule au périmètre et pas à la surface.
ET ici, dans la deuxième, raison de plus encore pour ne pas te tromper, tu retrouves un R². Et R², c’est rayon fois rayon. Et rayon fois rayon, c’est homogène, ça a la même dimension qu’une surface, c’est des mètres fois des mètres. Donc ça ne peut pas être une longueur, clairement, donc c’est forcément une aire ou une surface.
Donc voilà comment tu distingues ces deux formules. Donc déjà tu sais que toi si tu ne te souviens plus, si tu es dans un D.S. face à un exercice où on te présente un cercle ou un disque, et tu ne te souviens plus quelle formule il faut utiliser pour calculer la surface de ton disque. Et bien déjà tu te souviens qu’il y a un seul 2 dans ta formule. Il faut avoir une petite idée de la formule mais vu qu’il n’y a qu’un 2, et bien c’est 2PiR (tu ne peux plus rajouter de 2 donc ça reste comme ça) ou PiR².
Et là, il faut trancher entre les 2. Toi tu cherches la formule de la surface, tu regardes la dimension de ça, en quelle unité ça se mesure; et ça, ça se mesure en mètres donc ça ne peut pas être une surface. Par contre ça, ça se mesure en mètres carrés. Donc c’est ça la bonne formule, la formule de l’aire de ton disque. Et après bien sûr il faut bien l’appliquer, je te rappelle qu’il faut que tu aies le rayon de ton disque. Si tu n’as pas le rayon mais que tu as le diamètre, il faut absolument que tu divises ton diamètre par 2 pour avoir le rayon de ton disque et donc bel et bien employer cette formule par la suite.

Voilà donc un petit moyen si tu veux de retrouver ces formules, première chose ; et ensuite de bien les distinguer, deuxième chose. C’est la notion de dimension que tu verras pas mal en physique parce que ça permet de ne pas te tromper et de retenir plusieurs formules en physique-chimie également.
Donc sinon, pour conclure, il y a un autre petit moyen mnémotechnique qui est sympa aussi à mon avis. En fait c’est une petite phrase qui te permet de retenir et de ne pas confondre ces 2 formules. C’est une petite phrase tirée d’un roman qui s’appelle « Le temps des amours », de Marcel Pagnol, et cette petite phrase c’est la suivante :
Si le cercle est fier d’être égal à deux pierres (tu vois ça rime, tu peux l’écrire comme ça ; 2 pierres ça correspond à 2PiR quand tu le prononces), le disque lui, est heureux d’être égal à Pierre II (un roi peut-être). Pierre II ça correspond à cette formule ici PiR². Au carré ça se dit aussi Pi R deux. Tout simplement.
Voilà donc comment tu peux retenir ces deux formules aussi grâce à cette petite phrase sympathique tirée du roman de Marcel Pagnol : Le temps des amours : « Si le cercle est fier d’être égal à deux pierres, le disque, lui, est heureux d’être égal à Pierre II. » ça rime et c’est ça le moyen mnémotechnique qu’il y a derrière.

Bon moi je préfère quand même ma façon parce que je trouve qu’elle est quand même plus exploitable et plus utilisable. Je pense que c’est un peu difficile de retenir cette petite phrase.
Mais bon peut-être que toi tu retiendras mieux cette phrase-là.
Voilà donc plusieurs petits moyens pour bien retenir ces formules et bien retenir en mathématiques et dans toutes les matières, ça commence déjà par bien distinguer les choses, c’est-à-dire bien faire la différence entre les deux formules ici présentes. Comment faire la différence ? Et bien comprendre qu’il y a derrière une notion d’unité : un périmètre ça se mesure en mètres et une surface ça se mesure en mètres carrés. Et ça, tu le retrouves dans les formules.
Et bien distinguer les formules, c’est très important et c’est ça qui te permet de les retenir, ça sert aussi pour les identités remarquables par exemple. Si les trois identités remarquables te semblent un peu toutes les mêmes, que tu les confonds et bien il faut que tu les reprennes et que tu regardes plus précisément et que tu vois bien leurs différences, que tu les distingues. C’est ça qui est important et qui va te permettre des les retenir sur le long terme.