Problème d’optimisation sur un rectangle de périmètre fixé

Bonjour à toi et bienvenu dans cette vidéo star en math. Ici Romain, j’espère que tu vas bien.
Alors aujourd’hui nous avons un exercice assez rigolo;
Imagine que tu aies un rectangle de périmètre p qui soit fixé, et en fait la question est la suivante :
On te demande les dimensions de ce rectangle pour avoir la plus grande aire.
Il faut que ton rectangle ait la plus grande aire et en fait on te demande quelles dimensions il doit avoir pour avoir cette plus grande aire;
C’est ce qu’on appelle en mathématiques un problème d’optimisation. Et en fait on peut en donner un exemple très concret de ce qu’est un problème d’optimisation, qui correspond à cet exercice;
Imagine que tu aies quelqu’un qui veut acquérir un terrain, et tu as déjà sous la main un certain nombre de mètres de clôture qui va te permettre d’entourer le terrain.
Tu as déjà p mètres de clôture qui correspond finalement au périmètre de ton terrain que tu cherches rectangulaire.
Et l’idée pour toi c’est d’avoir le plus grand terrain possible, en fait le terrain qui a la plus grande aire possible. Et donc qu’est-ce qu’il faut choisir comme terrain ?
Ce n’est pas évident comme ça comme question.

En fait la première chose qu’il faut faire dans un problème d’optimisation comme celui-ci, c’est déjà de traduire l’énoncé, parce que tu vois que quand tu lis l’énoncé ici, tout est exprimé en français.
Il n’y a rien de mathématique, pas de formule, pas de nombre, tu as juste un p ici qui est une notation qu’on nous donne.
La première chose qu’il faut faire, c’est tout traduire mathématiquement.
Alors ce n’est pas toujours évident de traduire mathématiquement les choses parce que ça demande d’inventer, de mettre en place des notations.
IL faut que tu précises des notations et donc il faut avoir l’idée de ça, ce n’est pas évident. Et qu’est-ce que tu vas noter comme étant l, L, x ?
IL faut avoir un petit peu des idées.

Alors déjà ce qu’on te demande de faire dans cette question, dans cet exercice, on te demande de trouver les dimensions;
Alors ça c’est important, on te demande de trouver les dimensions, ça va vraiment permettre de mettre en place notre système de notations.
Qu’est-ce que c’est que les dimensions ? Qu’est-ce que ça veut dire ? EN fait les dimensions, ça va être tout simplement les dimensions du rectangle. Ça parait bête de le dire mais il faut bien le préciser.
Alors qu’est-ce que c’est que les dimensions d’un rectangle ? Et bien c’est sa longueur et sa largeur tout simplement. Ce qu’on peut noter l et L.
Donc ça c’est important tu vois déjà, c’est une traduction de notre énoncé et là on se dirige vers une traduction mathématique parce qu’on va avoir des grandeurs littérales l et L.

Donc on va le dire :
L ça va être la longueur de notre rectangle et l sa largeur.
Alors je pense que tu es d’accord avec moi, dans cet exercice il faut trouver le L et le l. C’est-à-dire finalement il faut trouver 2 inconnues. Au début tu as 2 inconnues.
Alors là on continue à avancer dans la traduction mathématique de ce problème, on relit bien notre question :
Quelles dimensions faut-il qu’il ait notre rectangle, pour avoir la plus grande aire.
Là il y a un terme que tu peux traduire, c’est l’aire, ça va pouvoir se traduire mathématiquement à l’aide des notations qu’on a inventées, l et L.
L’aire, il faut se souvenir de la formule de l’aire d’un rectangle, c’est L*l.

Là on a traduit, on a mis en place des notations pour exprimer notre question. On ne l’a pas exprimée totalement, on n’a pas exprimé le fameux « la plus grande aire ». C’est quelque chose qu’on n’a pas encore traduit.
ON va y revenir après.
On va revenir au début de notre énoncé, on n’a pas encore exploité le p en fait, qui est le périmètre de ton rectangle.
Maintenant que tu as noté la longueur L et sa largeur l, je pense qu’on peut exprimer le périmètre p avec l et L. C’est quoi le périmètre d’un rectangle ?
C’est tout simple, je vais dessiner un petit rectangle ici, je pense que tu seras d’accord que le L, longueur, c’est le plus grand des cotés, que l’on retrouve ici, et l c’est le plus petit.
Donc le périmètre on l’a directement, c’est 2L+2l. Donc ça en fait c’est le p.
Donc on a exprimé le p grâce aux notations que l’on a mises en place.

Voila, donc là on a bien avancé dans la traduction mathématique de notre exercice. Et maintenant, ce que l’on va chercher, c’est à traduire « la plus grande » ici;
Alors là, c’est plutôt quelque chose qui s’adresse à toi si tu es en première, même si je pense qu’on peut aborder cet exercice en 2nde mais c’est quand même mieux si tu as vu l’outil dérivée, les fonctions dérivées qu’on voit dès la première.
La dérivée c’est vraiment un outil puisque c’est quelque chose qui te permet d’étudier une fonction.
Bon là on n’a toujours pas de fonction mais par contre ce qui va être intéressant dans une fonction dérivée, c’est que ça va te permettre d’étudier les variations d’une fonction, et ça va te permettre, une fois que tu auras obtenu le tableau de variation, de savoir si ta fonction elle a un maximum ou un minimum.
Tu as vu donc on se rapproche un petit peu de cette notion de « la plus grande » qui veut dire l’aire maximum.
On cherche les dimensions telles que notre rectangle ait l’aire maximale, la plus grande aire possible.

Donc en fait, ce serait pas mal, d’avoir une fonction f(x) qui exprime l’aire de ton rectangle.
Et ensuite on étudiera f(x), grâce à la dérivée et on verra peut-être que f(x) a un maximum ou un minimum, donc probablement un maximum puisque nous on cherche l’aire la plus grande.
Donc là, ce que je te propose de faire c’est d’exprimer cette aire sous la forme f(x).
Le problème c’est que l’aire pour l’instant c’est 2 inconnues qui sont l et L.
Alors oui il y a 2 inconnues mais peut-être que tu pourrais, grâce à ceci qui est une autre donnée de ton énoncé, exprimer l’une des inconnue en fonction de l’autre de façon à t’amener ici dans le calcul de l’aire à n’avoir que du L ou que du l.

Donc si tu exprimes le L en fonction de p et l, c’est très simple à partir de cette relation :
« Calcul mathématique »
Donc tu obtiens L en fonction du l et du périmètre. Donc ce qu’il faut bien comprendre c’est que le périmètre il est fixé.
Si tu remplaces ici dans Aire le L par ce qu’on vient de trouver, tu auras du p, mais ça c’est un nombre fixe, tu peux te dire dans ta tête que p ce serrait 9, ou 4, et tu vas aussi obtenir du l.
Donc en fait, l’aire ne va plus s’exprimer en fonction de l, il y aura du p, mais on le redit bien, c’est une constante.
Donc tu vas obtenir une fonction avec une seule variable, et ta variable x, ça va être en fait le l.

Donc là on avance un peu, tu vois dans la traduction mathématique. L’aire ça va devenir quoi ? C’est toujours l*L et ça va devenir, vu que le L on l’a exprimé comme ceci :
« Calcul mathématique »
Et on pourrait le noter f(l), la largeur, plutôt que de la noter l tu pourrais la noter x ce qui donnerait f(x). C’est ce qu’on va utiliser pour revenir à une notation classique avec du x. Donc on va se ramener à une fonction qui est celle-ci :
« Formule mathématique »
Donc là ça commence à être pas mal, on a une fonction, on a un objet qui est mathématique et on va pouvoir dériver cette fonction;
Je pense que tu vois que ça va donner une fonction polynôme du 2nd degré, et ensuite on va étudier cette fonction et voir si elle a un maximum.

Donc en tout cas dans cette première vidéo je voulais voir comment traduire cet exercice.
C’est quelque chose, la traduction mathématique, que tu auras à faire dans certains exercices, qui ne sont pas donnés de façon brute comme ça en math, qui ne sont pas donnés avec des équations directement à résoudre ou des fonctions.
C’est vraiment à toi de mettre en place le problème mathématique. C’est quelque chose qui n’est pas facile. Il faut s’attarder sur chaque mot de l’énoncé, et essayer de traduire chaque mot;
On a bien traduit les dimensions, le périmètre, l’aire et on va aussi traduire par la suite « la plus grande » qui va consister à déterminer le maximum de notre fonction. Déterminer le maximum d’une fonction, c’est presque une question mathématique.
Donc c’est comme ça qu’on traduit un énoncé.

Voilà donc pour cette première vidéo et maintenant, ce qu’on va faire c’est résoudre le problème mathématique.
on a basculé du monde français au monde mathématique et, dès qu’on est dans le monde mathématique, ce qui est plutôt bien, c’est qu’on va pouvoir résoudre les choses de manière exacte et donc trouver les dimensions de notre rectangle telles qu’on les veut.
Donc ça, pour résumer c’est ce qu’on appelle un problème d’optimisation. Optimiser, dans la vie courante c’est un terme qui existe, c’est plutôt un terme d’ingénieur quand même, ça veut dire qu’on cherche à rendre quelque chose le plus efficace possible pour satisfaire une condition.
Là on veut que notre rectangle avec la condition qui doit avoir un périmètre p fixé, et bien on veut qu’il ait la plus grande aire possible.
Donc c’est ça l’optimisation. ON veut qu’il ait la plus grande aire possible avec la condition p fixé.
Optimiser ça veut vraiment dire améliorer en vue de satisfaire une condition précise.

Voilà donc pour cette première vidéo, je te dis à tout de suite dans la 2ème.

Problème d’optimisation sur un rectangle de périmètre fixé
Vidéo 2/2

Dans la vidéo précédente nous avons expliqué comment traduire mathématiquement un tel énoncé d’exercice, donc ce n’est pas forcément une étape facile dans un exercice de mathématique, une traduction mathématique à faire.
Ce n’est pas toujours le cas, il n’y a pas toujours cette traduction à faire mais c’est le cas quand la question est posée comme ça, en français et sans notation qui sont définies pour toi;
Donc là, nous avions défini des notations et nous avons réussi à exprimer notre aire, l’aire de notre rectangle, qu’on ne connait pas encore vraiment, on sait juste qu’il a un périmètre p et on a réussi à exprimer son aire en fonction de x qui correspond à sa largeur.

Donc là ce qu’on va faire c’est relire la question, donc on cherche les dimensions, le l et le L, c’est à dire le x parce que tu te rappelles, qu’une fois qu’on a sa largeur, et bien on peut obtenir la longueur de ce rectangle tout simplement parce que la longueur s’exprime en fonction de la largeur.
Sa longueur elle est ici, c’est ça sa longueur, c’est L. Donc une fois qu’on aura trouvé le x, on va trouver aussi sa longueur;
Donc là il faut trouver les dimensions pour avoir la plus grande aire.
Ce que je te propose de faire c’est d’étudier les variations de cette fonction.
Cette fonction c’est ce qu’on appelle un polynôme du second degré. En effet, tu peux te rendre compte si tu le développes, tu vas obtenir :
« Calcul mathématique »

Donc ça c’est un polynôme du second degré parce que c’est tout à fait de la forme ax2+bx+c
Et ça c’est une fonction que tu connais bien parce qu’on l’étudie dès la seconde et on continue à l’étudier en 1ère S et tu te souviens que ça a un maximum ou un minimum.
Quand tu dessines la courbe d’une telle fonction ça te donne une parabole, tournée vers le haut ou vers le bas suivant le signe de a.
Si le a est négatif, comme ici, il vaut -1, la parabole est tournée vers le bas.
Donc la courbe de f ça va donner quelque chose comme ça, une sorte de montagne avec 2 branches qui vont vers moins l’infini.
Donc ça te donne bien un sommet, un maximum.

A partir du moment où tu sais ceci, il y a deux façons de faire une petit peu.
Soit tu sais étudier un polynôme du second degré sans dériver, si tu n’as pas encore vu les fonctions dérivées, si par exemple tu es en seconde, et bien tu peux très bien trouver le maximum en connaissant un petit peu comment étudier un tel polynôme du second degré.
Tu peux même utiliser la formule du alpha, tu te souviens c’est la coordonnée x, c’est à dire l’abscisse du sommet de parabole.
Et le alpha tu sais, c’est -b sur 2a. Tu as l’abscisse ici, et bien cet alpha, tu peux t en souvenir, c’est -b sur 2a.
Et donc en calculant ceci, tu peux remplacer pour obtenir le beta. Peut-être que tu as déjà vu ces notations qui interviennent dans la forme canonique d’un trinôme.
Le beta en fait c’est le f de alpha. Donc une fois que tu as calculé le alpha, tu peux remplacer directement le x par ce -b/2a.

Ça c’est vraiment des connaissances précises que tu n’as plus forcément, sur le polynôme du second degré.
Donc ce qu’on fait généralement, plutôt, pour étudier une fonction, pour savoir si elle a un maximum ou un minimum, et bien on la dérive, on utilise la dérivée de cette fonction.
Donc là, on va dériver notre fonction f, on va le faire assez rapidement, ça va donner (tu dérives chaque terme puisque c’est une somme de termes)
« Calcul mathématique »

Donc ça, comme type de fonction, c’est une fonction affine, c’est vraiment de la forme ax+b
Et en fait, je te rappelle que quand on dérive on veut obtenir le signe de la fonction dérivée, donc le signe de f'(x) et c’est facile d’obtenir le signe d’une fonction affine.
Tu te souviens ça dépend du signe du coefficient directeur de ta fonction affine. Là c’est -2 donc ta fonction affine elle est décroissante. Ça va donner une droite comme ça, pour toi.
Donc c’est forcément plus, puis moins quand tu avances sur l’axe des abscisses, ta droite passe sous l’axe des abscisses après.

Donc on peut dresser un tableau de signes de f’.
Là il y a quelque chose d’intéressant, on va étudier notre fonction f que pour x variant de 0 à plus l’infini puisque x c’est largeur, une largeur c’est positif.
Donc c’est important de préciser ça, même si tu pourrais étudier de manière générale, sans tenir compte du contexte de ton exercice, sur moins l’infini, plus l’infini.
Mais là on va étudier sur 0; plus l’infini. On va tenir compte de ce contexte.
Et donc là on va avoir f'(x), c’est parti on va obtenir le signe de cette fonction. Donc ce n’est pas très compliqué, on a dit que c’était plus, moins.
Mais le truc, c’est qu’avant de mettre le plus et le moins il faudrait calculer la valeur charnière, c’est-à-dire quand est-ce que le f'(x) s’annule.
Donc là, on résout tout simplement :
« Calcul mathématique »

Donc là on obtient p/4 et là on avait dit que le signe c’était plus, moins puisque c’est une fonction affine décroissante, c’est forcément positif d’abord puis négatif ensuite.
Et là on obtient les variations de notre fonction f, c’est-à-dire de l’aire de notre rectangle.
C’est donc croissant, c’est cohérent puisqu’on avait dit que c’est une parabole tournée vers le bas, puis décroissant.

Donc voilà, là on se rend compte d’une chose, on va pouvoir terminer notre exercice, c’est que f elle a un maximum qui est ici, qui est ce nombre là et qui est atteint pour x=p/4.
Ce maximum on peut le calculer facilement, il suffit de calculer f(p/4), c’est-à-dire l’image de p/4 par f.
On peut le calculer en remplaçant x par p/4 là-dedans par exemple, ça va faire :
« Calcul mathématique »
Tu vas obtenir p carré sur 16 ; voilà donc ton maximum, c’est le beta si tu veux retrouver la notation de la forme canonique d’un trinôme.
Donc là, c’est l’aire maximale p carré sur 16.

Nous ce n’est pas vraiment ça qu’on voulait trouver, c’était surtout les dimensions, quelles dimensions pour que ce rectangle ait l’aire maximale.
Et bien en tout cas on sait une chose c’est que sa largeur il faut que ce soit p/4, c’est le x en fait, tu vois on avait dit que c’était sa largeur.
Donc forcément sa longueur, ça va être quoi ? Et bien sa longueur c’est le L=p/2-x.
Donc le x pour lequel ça atteint l’aire maximale c’est p/4 et la longueur ça va être p/2-p/4 qu’on vient de calculer, c’est aussi p/4.

Donc ça y est on a trouvé le résultat de notre exercice, c’est-à-dire que notre rectangle doit être en fait un carré puisqu’il doit avoir la même longueur et la même largeur.
Et les dimensions : ça doit être un carré de côté p/4.
Donc quand ton rectangle est un carré de coté p/4, p/4 qu’on retrouve partout, et bien il possède, évidemment un périmètre de p, puisque là si tu additionnes tous ces cotés tu trouves bien p.
Et son aire, peu importe la valeur de son aire, mais ce sera une aire maximale.

Donc il n’y a pas d’autre configuration pour un rectangle, qui doit avoir un périmètre p fixé, dans laquelle il donnera une aire maximale.
C’est vraiment cette configuration de carré qui te donnera la plus grande aire pour ton rectangle. Puisqu’un carré c’est aussi un rectangle.
Donc voilà ce qui termine l’exercice, on a donc trouvé que c’était un carré finalement avec les dimensions qui sont le périmètre divisé par 4.
Donc si tu es un propriétaire et tu as déjà acheté par exemple 100 mètres de clôture, qui va entourer ton terrain rectangulaire, et que tu cherches à avoir le terrain le plus grand possible, c’est-à-dire d’aire la plus grande, et bien il faut que ton terrain soit un carré de coté 100/4 c’est-à-dire 25 mètres.
Voilà, c’est ça qui te donnera le terrain le plus grand.
Et si par hasard tu trouves un autre terrain de longueur 40m et de largeur 10 mètres et bien ça ne marchera pas.
Enfin ça marchera, il aura un périmètre de 100 mais ce ne sera pas le terrain le plus grand possible parce qu’une longueur de 40 et une largeur de 10, ça ne fera pas une aire plus grande qu’un carré de coté 25.

Voilà donc ce qui termine cet exercice, j’ai aussi voulu te montrer ce que ça donne concrètement avec quelqu’un qui a une clôture de 100 mètres et qui veut acheter le terrain le plus grand possible.
Donc c’est un exercice qui est rigolo et je dirais que la première étape, c’est-à-dire l’étape de traduction mathématique que nous avions faite dans la vidéo précédente, c’est presque ce qu’il y a de plus difficile.
Donc là, l’étude du maximum de cette fonction après, ça relève de tes connaissances mathématiques sur un polynôme du second degré ou tu dérives la fonction, c’est une autre façon de faire, tu regardes si elle a un maximum ou pas, c’est ce qu’on a fait ici.
Et ça, c’est relativement faisable à mon avis.
Voilà, je te dis à la prochaine dans un autre exercice.