Produit scalaire de deux vecteurs

Produit scalaire de deux vecteurs

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Nous allons calculer le produit scalaire de U et de V

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Nous allons utiliser la définition du produit scalaire utilisant le projeté orthogonal.

Pour ce faire nous allons faire un dessin avec des axes orthonormés, les axes x et y et nous allons placer de façon astucieuse les vecteurs u et v. on a bien sûr l’origine et on va placer le vecteur u suivant l’axe des abscisses. C’est un choix qu’on peut faire puisqu’on pourrait placer le vecteur u comme on veut. Ensuite le vecteur v par contre va dépendre du placement de u puisque l’angle entre u et v vaut

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Donc nous allons placer u de telle façon qu’il ait une norme de 5 et sur cet axe des abscisses. Qui ici c’est le vecteur u. et ensuite le vecteur v on sait qu’il va être porté par la droite qui forme en fait un angle de

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Avec l’axe des abscisses. A peu près ici on a un angle de

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Qui est la moitié de l’angle droit et ici de l’angle

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Et le vecteur v est porté par cette droite-là puisque l’angle formé par le vecteur u et le vecteur v est égal à

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Je place donc le vecteur v. Je pourrai donc me repérer en faisant ceci : si j’arrive ici la norme de ce vecteur là de l’origine jusqu’à ce point-là, eh bien la norme de ce vecteur vaudrait celle de u puisque j’ai tracé ici un arc de cercle de centre O et donc elle vaudrait 5. Mais nous on sait que dans l’énoncé, la norme de v est plus petite que 5 elle vaut 3. en fait on va placer à peu près v ici. De telle sorte que la norme de ce vecteur qui est le vecteur v est déjà plus petite que 5 ça c’est sûr pour les besoins du schémas mais en tout cas on sait exactement ce qu’elle vaut : elle vaut 3 la norme de ce vecteur là.

Donc voila là on a fait un schémas clair sur lequel on va pouvoir raisonner. Comme je disais nous allons utiliser la définition du produit scalaire des vecteurs u et v faisant intervenir le projeté orthogonal. Alors ici ce qu’on va faire c’est ajouter des annotations et notamment on va ajouter ce point là qu’on va noter a et ce point là qu’on va noter b. et nous on va ajouter le projeté orthogonal de a sur l’axe des abscisses. Alors rappelle-toi pour construire un projeté orthogonal de a sur l’axe des abscisses il faut construire une droite qui passe par a et qui coupe l’axe des abscisses en angle droit. C’est ça qui veut dire orthogonal.

Et on retrouve aussi le mot « ortho » pour un repère orthonormé ça veut dire en fait que les axes se coupent en angle droit. Ortho rappelle toi ça veut dire angle droit. Et donc ici voila une droite en pointillés coupant l’axe des abscisses en un angle droit et le projeté orthogonal oui ça va tout simplement être le point d’intersection entre cette droite et l’axe des abscisses. Projeté orthogonal de a sur l’axe des abscisses. Et ce point là on va le noter h. et d’après la définition du produit scalaire de u et de v, eh bien si u et v sont dans le même sens et c’est justement le cas dans cet exercice u et v sont dans le même sens parce qu’ils vont de façon générale dans le sens que je vais noter ici par une flèche, donc dans ce sens là, d’accord, or que si on avait eu un v qui allait dans ce sens là, eh bien on aurait eu une autre définition du produit scalaire. Mais là on a u et v qui sont dans le même sens. Alors ce que tu peux dire c’est que le produit scalaire de u et de v est égal à

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Oh c’est la longueur du segment oh et ob c’est la longueur du segment ob.

Une fois que tu as noté ceci, est-ce que pour autant on a fini l’exercice ? eh bien non puisque il faut bien sûr calculer oh et ob. Alors ob on a dit que c’était la longueur enttrre le point o et le point b. mais c’est aussi tout simplement la norme de u c’est-à-dire la longueur de ce vecteur u

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Et la norme du vecteur u on l’a dans l’énoncé puisqu’elle vaut 5. donc

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Il nous reste une chose à calculer et c’est oh. Oh comment on va le calculer ? Eh bien je te propose de faire apparaître sur ce schéma un triangle rectangle avec les points o, a et le point h qui rappelle toi le point h c’est le projeté orthogonal de a sur l’axe des abscisses donc orthogonal. Tout de suite on peut faire apparaître un angle droit ici, ce qui fait que ce triangle o a h est rectangle en h. et une autre chose importante qui est sur ce schéma mais que je vais faire montrer de façon plus claire c’est que cet angle là c’est l’angle

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Et une autre chose importante que tu peux mettre surt ton schémas c’est que

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Donc maintenant pour calculer oh eh bien vu qu’on a toutes ces informations-là ça va être facile puisque nous allons travailler sur le triangle oha qui est rectangle en h et dans un triangle rectangle, ce qui est vraiment magique c’est que dès que tu connais un angle, ici on connaît l’angle hoa et dès que tu connais la longueur d’un des côtés de ce triangle tu peux calculer toutes les autres longueurs et toutes les autres mesures des angles. Et nous ce qui va nous intéresser c’est de calculer cette longueur oh. Et cette longueur oh si tu regardes bien eh bien on va faire intervenir

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Donc une fois que tu as la longueur oh, et vu qu’on a la longueur ob, eh bien tu as la valeur du produit scalaire u et v. donc en conclusion :

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Voila pour le résultat de cet exercice, ici on a utilisé le projeté orthogonal donc la définition du produit scalaire de u et de v en utilisant le projeté orthogonal. On aurait pu tout aussi bien essayé de déterminer le projeté orthogonal de ce point b sur la droite ici en noir et de telle façon que le projeté orthogonal ça aurait été ce point-là qu’on aurait noté par exemple

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C’était une deuxième façon de faire en utilisant toujours le projeté orthogonal de l’un des points sur la droite portée par l’autre vecteur.

Voila je peux te recommander en conclusion quand tu as tes produits scalaires à calculer de placer l’un des vecteurs donc tu dois calculer le produit scalaire avec un autre vecteur sur l’axe des abscisses en le faisant partir de l’origine. Si tu remarques ici j’ai placé u qui part de l’origine et sur l’axe des abscisses. Comme ceci tu n’as plus qu’à placer les autres vecteurs

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Et de cette façon, quand tu as un repère orthonormé

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D’accord ? Et notamment pour trouver les coordonnées des vecteurs si tu as à trouver ces coordonnées dans l’exercice.