1ère S Propriété du losange

Propriété du losange

Comment démontrer qu’un quadrilatère ABCD est un losange à partir des coordonnées des points dans l’espace des 4 sommets de ce quadrilatère ?

Bonjour et bienvenue sur Star en Maths TV, alors cette vidéo fait suite à une précédente vidéo dans laquelle nous avons déjà démontré que le quadrilatère ABCD est un losange. J’avais rappelé également ce qu’était un losange puisqu’on n’a pas l’habitude de rencontrer ce quadrilatère très souvent.

Donc on avait utilisé une première façon qui consistait à montrer que les 4 côtés de notre quadrilatère ABCD sont égaux. Maintenant j’aimerai te montrer une deuxième façon de démontrer que ce quadrilatère est un losange en utilisant plusieurs notions.

Alors, comment on peut démontrer qu’un quadrilatère est un losange ? Une première façon comme on l’avait fait dans cette vidéo dont je te parle, c’est qu’on avait montré que les 4 côtés étaient égaux mais un losange est défini aussi de la façon suivante : ses diagonales se coupent en leur milieu et se coupent en un angle droit comme les droites ou plutôt comme les segments jaunes que j’ai dessiné. Du coup ce qu’on va faire c’est qu’on va essayer de démontrer que les diagonales de notre quadrilatère ABCD qui est quelconque, on ne sait pas du tout quelle tête il a. Donc nous on va s’intéresser à ses diagonales.

Ce qu’il va falloir étudier pour démontrer que ABCD est un losange c’est déjà savoir si les diagonales BD et AC se coupent en leur milieu. Donc ce qu’on va faire c’est qu’on va calculer les coordonnées du milieu du segment BD dans un premier temps puis ensuite les coordonnées du milieu du segment AC.

Pour calculer les coordonnées du milieu d’un segment tu connais la formule puisque cette formule tu l’as vu en seconde. Alors, c’est pas bien compliqué, ici on va calculer le milieu I.

<calcul mathématique>

On a donc trouvé les coordonnées du milieu I1 d’AC.

<calcul mathématique>

Et si on démontre que les coordonnées du milieu de BD, on va noter I2…

<calcul mathématique>

Et si on démontre que I1=I2, c’est-à-dire que leurs coordonnées sont les mêmes alors on aura démontré que les diagonales de notre quadrilatère se coupent en leur milieu.

Donc calculons tout de suite les coordonnées de notre point I2.

<calcul mathématique>

Alors une fois qu’on a démontré que les diagonales se coupent en leur milieu, en fait ça c’est caractéristique d’un parallélogramme. Donc on a démontré finalement que notre quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

Mais ce n’est pas fini, parce qu’un losange est bien sûr un parallélogramme, mais un losange à ceci de plus qu’un parallélogramme c’est que ses diagonales se coupent suivant un angle droit.

Alors comment on va faire pour démontrer que nos diagonales, ici, se coupent en angle droit ?

En fait se qu’on va faire, c’est qu’on va démontrer que les vecteurs BD et AC sont orthogonaux. 2 vecteurs orthogonaux se sont 2 vecteurs qui forment un angle droit si on les faits partir d’un même point.

Alors comment on va démontrer que 2 vecteurs sont orthogonaux ? Que les 2 vecteurs BD et AC qui sont les 2 vecteurs correspondants aux diagonales de notre quadrilatère. Eh bien on va utiliser le produit scalaire.

Deuxième chose qu’il nous faut démontrer pour ce quadrilatère ABCD c’est qu’AC et BD sont orthogonaux, alors je parle ici des vecteurs ou AC et BD, on pourrait aussi parler des droites et dans ce cas là on dirait perpendiculaires.

<calcul mathématique>

Donc on vient bien de démontrer que le produit scalaire de ces 2 vecteurs AC et BD est nul. Donc on a bien démontré finalement que les droites AC et BD sont perpendiculaires. C’est pour ça que c’est facile quand tu as les coordonnées des points de démontrer que 2 vecteurs sont orthogonaux. Il suffit d’utiliser le produit scalaire des vecteurs donc c’est pour ça que c’est toujours intéressant les vecteurs et notamment l’opération de produits scalaire sur les vecteurs. Ça te permet de démontrer que 2 droites sont perpendiculaires notamment. Donc une fois qu’on a démontré ça eh bien c’est fini puisque dans un premier temps, le temps de la démonstration on avait dit que les diagonales, donc ici les segments en jaune se coupaient en leurs milieu et ce milieu c’est I, on a calculé ses coordonnées et dans un deuxième temps on a démontré que les diagonales se coupent en angle droit. Donc le premier temps de la démonstration nous permettait de dire que le quadrilatère ABCD était un parallélogramme et le deuxième temps de la démonstration nous permet de conclure et de dire qu’ABCD est un losange. Donc voilà !