Puissance de 10

Bonjour à toi et bienvenu dans ce cours Star en maths. Ici Romain. J’espère que tu vas bien.
Alors dans cette courte vidéo nous allons expliquer les puissances de 10. En effet, tu connais surement certains termes comme dixièmes, centièmes, milliards etc. Et comment traduire ces termes français, en nombres mathématiques ?
En fait, le nombre caractéristique que nous allons utiliser, c’est 10 et 10 avec ses puissances va permettre de représenter la centaine, le millier, le million, le milliard, l’unité etc. et aussi les nombres plus petit que 1, donc le dixième, le centième, etc.
Donc ne fait, ce que je vais faire, c’est tout simplement un petit tableau dans lequel nous allons mettre la correspondance entre le mot en français, par exemple centaine, et la puissance de 10 correspondante.
Juste avant de faire ce petit tableau, j’aimerais te dire que dans une vidéo précédente, nous avons expliqué comment ça marchait les puissances d’un nombre. Et ici nous allons prendre non pas n’importe quelles puissances mais les puissances du nombre 10.

Alors tu te souviens qu’un nombre à la puissance avec une puissance positive, un nombre entier positif : par exemple 10 au carré, ou 10 puissance 2, ça se dit comme ça aussi, ou encore 10 exposant 2, et bien ceci est égal à 10*10. A surtout ne pas confondre avec 10*2. Souvent c’est l’erreur qu’on peut faire quand on n’a pas bien compris ce que c’était que les puissances.
10 au carré ce n’est absolument pas 10*2, c’est bien 10*10. Il faut écrire deux fois le nombre 10. Tu vois, là, il est écrit deux fois.
Ensuite, 10 exposant 0, c’était une convention, tu te souviens je l’ai expliqué dans la vidéo sur les puissances, et bien un nombre exposant 0, c’est valable pour tous les nombres et donc aussi pour 10, et bien ça vaut 1. Donc en fait, là, tu vois l’unité apparaitre.
Au passage, on n’a pas fait le calcul avant : 10*10, c’était juste pour te montrer ce que ça voulait dire la puissance, en l’occurrence la puissance 2, donc 10*10, bien sûr ça fait 100. On voit déjà apparaitre la centaine ici.

Ensuite, passons aux puissances négatives. Est-ce que tu te souviens ce que ça représente 10 exposant -3 par exemple, 10 puissance -3 ?
Et bien 10 puissance -3, d’après la définition d’une puissance négative, ça vaut l’inverse de 10 exposant 3. Donc en fait, le -3 est devenu 3. Par contre le 10 est passé en dessous, c’est-à-dire qu’on a pris l’inverse du nombre 10 exposant 3.
Je te rappelle que l’inverse d’un nombre -il ne faut pas confondre l’inverse et l’opposé- l’inverse de x c’est 1/x et l’opposé de x c’est -x. Il ne faut pas confondre l’inverse et l’opposé en mathématiques. C’est deux termes-là reviennent assez souvent, je voulais juste faire cette petit précision.
Donc une fois que tu as bien compris ceci, et bien on va pouvoir représenter tous les termes français comme centaines, dixièmes, etc. par leurs puissances de 10 correspondantes.
Au passage tu vas me demander : « à quoi ça sert ? » En fait c’est assez utile de savoir retranscrire une centaine en une puissance de 10 ou un millier etc. C’est notamment très utilisé en sciences physiques.
Par exemple pour écrire le nombre de kilomètres qu’il y a entre la terre et le soleil, tu ne vas pas écrire exactement le nombre de kilomètres qu’il y a, mais tu vas plutôt écrire le nombre de millions de kilomètres. C’est plus simple à écrire que le nombre de kilomètres. Je pense que tu comprends ce que je veux dire; Et donc comme ça tu auras le nombre de millions de km.
Et le nombre de millions de km c’est une puissance de 10, c’est 10 exposant 6.

Alors, là, tu as vu que 10 au carré c’était 100. Tu as vu que c’était 2 zéros et ça correspond à la puissance ici. On n’a qu’à prendre un autre exemple, on prend 10 puissance 3. Combien de 0 il va y avoir, quel résultat ça va donner 10 puissance 3 ? C’est 10*10*10. Donc 10*10 ça fait 100, fois 10 encore, ça fait 1000.
Et là tu remarques qu’il y a combien de 0 ? Je vais les compter en vert à chaque fois. Donc là, il y avait 2 zéros, ce qui correspond à cet exposant et là, il y a 3 Zéros ce qui correspond encore une fois à l’exposant.
Donc en fiat, quand tu prends un exposant positif ou nul (parce que là, on voit qu’il n’y a pas de 0, et là il y a une puissance 0), quand tu mets 10 à une puissance positive ou nulle, et bien à la fin tu obtiendras un 1 avec autant de 0 que la puissance te dit d’en mettre. Donc ça va, c’est tout simple comme moyen mnémotechnique. Je pense que tu peux retenir cette petite chose-là.
Donc ensuite, quand tu passes aux puissances négatives, par exemple 10 puissance -3, alors faisons le calcul, combien ça vaut ? 10 exposant 3 tu sais que ça vaut 1000 donc ça vaut 1/1000, ce qui se dit aussi un millième, tout simplement.
Et en nombre décimal, comment ça s’écrit ? Et bien là, il ne faut pas se tromper, il faut faire attention, un millième. Tu peux te dire que mille c’est la puissance 3, il faudra mettre un 1 quelque part derrière la virgule, et le 1 sera en troisième position. Ça correspond au 3 ici. Ça donne 0,001. Et le 1 est bien en troisième position après la virgule.
Donc là, on va bien le faire remarquer : la flèche et la troisième position qui était indiquée par la puissance.

Une fois que tu as bien compris que pour les puissances positives, la puissance indique le nombre de 0, donc on a des nombres au-dessus de 1 : 1, 10, 100, 1 000, 10 000, un million, un milliard.
Tous ces nombres comportent un certain nombre de 0 après le 1 et c’est la puissance qui te dit combien il faut en mettre. Ensuite, pour les puissances négatives : -1, -2, -3, -4, ça correspond à la position de 1 après la virgule.
Je peux donner un autre exemple si tu veux : 10 puissance -2, ça s’écrit 1/10 au carré, c’est vraiment la définition d’une puissance négative, ça vaut un centième. On a bien la représentation du centième : 10 puissance -2. On le voit apparaitre petit à petit notre tableau. Et un centième, en quelle position va être le 1 ? Et bien en 2ème. IL ne faut mettre que des 0. 0,01. Le 1 est en deuxième position.
Donc là, on va le refaire apparaitre avec une petite flèche, deuxième, et là, troisième.

Donc là on peut faire apparaitre le tableau qui fait correspondre les mots en français avec leurs puissances de 10 correspondantes parce que quand tu as bien compris que les puissances de 10, ça représente des nombres très concrets, des nombres décimaux quand les puissances sont négatifs, des nombres avec une virgule si tu veux : 0,01 ou 0,001.
Et quand la puissance est positive ça fait dix, cent, mille, un million etc. Et bien ces mots, quand on les dit en français, tu sais bien que ça correspond à l’unité, la dizaine, la centaine etc. donc tu peux tout à fait lier ça à la puissance de 10 correspondante.
Donc c’est parti, faisons le petit tableau. Le petit tableau c’est celui-ci. Donc l’unité, on va le mettre au milieu, c’est 10 exposant 0. Voilà pour l’unité. Ensuite on va faire augmenter le nombre. 10 exposant 1 : 10 puissance 1, c’est tout simplement 10. Je te rappelle qu’un nombre à la puissance 1, c’est le nombre en fait, ça ne change pas le nombre la puissance 1, tu peux l’enlever. Donc ici, c’est la dizaine.
Ensuite, on continue, 10 puissance 2, je pense que tu as compris le principe, c’est 10 fois 10, donc 100, donc c’est la centaine. On continue, 10 puissance 3, je pense que tu as compris que c’est mille donc c’est le millier.
On va représenter aussi le million. Est-ce que je vais avoir la place ? Oui, je vais faire tout petit. Donc le million, ça va être 10 exposant 6. Il va y avoir combien de 0 après le 1 ? Et bien justement 6. Donc quand tu vois 6 zéros -généralement on met un petit espace entre 3 chiffres. Donc un million, 10 exposant 6, on va plutôt l’écrire comme ça : le 1, on fait un espace, 000, un espace et 000 : 1 000 000.
Comme ça, c’est très lisible et quand tu as l’habitude, tu vois directement que c’est un million. Donc 10 puissance 6, c’est un million. Tu vois qu’on a passé pas mal de puissances, on est passé de 10 puissance 3 à 10 puissance 6. Entre les 2 il y a 10 puissance 4 qui est 10 000, 10 puissance 5 qui est 100 000.
Et après tu as le milliard, donc ce que tu gagneras plus tard je pense, le milliard d’euros par an… Donc un milliard c’est tout simplement 10 exposant 9. Il y a 9 zéros après le 1.

Donc ça c’était les nombre plus grands que 1, ça correspondait aux puissances positives. Et maintenant nous allons passer aux puissances négatives, ce qui va représenter les nombres plus petits que 1, les nombres décimaux, donc 0 virgule quelque chose.
Donc en dessous de l’unité, tu as comme premier terme qui te vient à l’esprit, le dixième, à ne pas confondre avec dizaine. C’est facile de les confondre mais ça ne s’écrit pas de la même façon. Dixième, il y a un x, et un i après le x. Le dixième c’est tout simplement 10 exposant -1. C’est 1 sur 10 exposant 1. Donc 1/10.
En fait, plutôt que de retenir directement ce tableau, tu peux coller les choses comme ça : dixième, c’est 1/10, centième, c’est 1/100, millième, c’est 1/1000, et une fois que tu as compris que 10, c’est 10 exposant 1, et bien tu as compris que dixième, c’est 10 exposant -1.
Centième, maintenant, vu que c’est 1/100 et bien c’est 1 sur 10 au carré puisque 100 c’est 10 au carré. Donc c’est 10 puissance -2. On va l’écrire tout de suite.
Tu vois, tu peux coller les choses comme ça dans ta tête pour ne pas retenir directement la correspondance : dixième je sais que c’est 10 puissance -1. Bien sur si tu as un peu d’expérience, tu retiendras ça mais au début ça peut être intéressant de se dire dixième c’est 1/10, centième c’est 1/100, donc 1 sur 10 au carré, donc 10 exposant -2.
On continue donc, millième, c’est tout simplement 10 exposant -3 puisque c’est 1/1000 et 1000 c’est 10 exposant 3.
On continue, un millionième, et on va aller jusqu’à milliardième. Un millionième, c’est 10 exposant -6. Tu as vu qu’on retrouve les mêmes puissances mais c’est l’opposé de la puissance de 10 qui correspond au million. Pour le million, c’est 10 exposant 6 et pour le millionième c’est 10 exposant -6. Il y a une certaine symétrie dans le tableau au niveau de l’unité ici.
Et enfin, milliardième, et bien je pense que tu as compris que c’est tout simplement 10 exposant -9.

10 exposant -6 on peut quand même l’écrire, ce n’est pas trop long. IL va y avoir 5 zéros et le 1 en 6ème position. Il ne faut pas se tromper ici, il ne faut pas mettre 6 zéros, c’est là qu’on peut se tromper parfois. Il faut mettre 5 zéros et le 1 en 6ème position. Et là, on a bel et bien un millionième.
Ensuite, 10 exposant -3, je peux écrire le nombre décimal qui correspond : c’est 0,001. Le 1 est en troisième position.
10 exposant -2 on l’avait écrit là. Et dixième c’est tout simplement 0,1. Ça va ?

Donc voilà pour les puissances de 10. Il faut avoir bien compris comment ça marche la puissance d’un nombre. Ça j’ai fait une autre vidéo que tu peux retrouver sur Star en maths TV, et que tu peux regarder pour comprendre comment marche les puissances et aussi voir les petites règles qu’il y a sur les puissances.
Et une fois que tu as bien compris comment marchent les puissances, à mon avis, tu comprendras parfaitement ce qu’on a fait dans cette vidéo, c’est-à-dire les puissances de 10 et à quels termes en français ça correspond.
Donc ces choses-là, c’est très utilisé en physiques, c’est commode pour les distances en astrophysique par exemple, c’est plus intéressant de compter les distances en millions de km et donc en quelque chose fois 10 exposant 6 kilomètres, donc en millions de kilomètres.
Voilà, donc cela termine la vidéo, j’espère que tu as bien compris et je te dis à la prochaine dans une autre vidéo.