Puissance d’un nombre

Bonjour à toi et bienvenu sur ce cours star en maths sur les puissances. Ici Romain, j’espère que tu vas bien.
Alors dans cette vidéo nous allons voir ce qu’est la puissance d’un nombre et les diverses petites règles de calcul qui existent sur les puissances.
J’ai remarqué que certains de mes élèves avaient du mal un petit peu avec les puissances.
Pourtant ce sont des choses qui interviennent dans beaucoup d’exercices de mathématiques et il te faut juste connaitre les petites règles de calculs qui font intervenir des puissances.
Bon alors c’est vrai, on peut s’embrouiller sur ces petites règles de calcul mais tu vas voir, on va essayer de les voir ensemble, et de bien clarifier les choses.

Avant tout, qu’est-ce que c’est que la puissance d’un nombre ? Qu’est-ce que c’est qu’un nombre à la puissance quelque chose ?
Alors, là ça va être une définition. Très important, en mathématiques, il y a des notions qui sont définies donc souvent dans les cours, tu verras le mot « définition ».
Et une définition, c’est quelque chose qu’il faut absolument comprendre, ça c’est sûr, c’est la bas en fait de la notion, c’est ce qui fait exister la notion;
La notion que nous sommes en train de voir ce sont bien sûr les puissances.
Et quand tu es dans un exercice, il ne faut rien inventer en mathématiques. Il faut juste aller piocher dans les définitions du cours.

Donc là, qu’est-ce que c’est qu’un nombre à la puissance quelque chose ? Nous allons prendre un nombre concret pour que ce soit plus concret pour toi.
Nous allons prendre 5 et nous allons le mettre par exemple à la puissance 2 et ensuite 3.
Qu’est-ce que c’est que 5 exposant 2 ? Alors déjà, ça se dit 5 puissance 2 ou 5 exposant 2 et quand la puissance elle vaut 2 ça se dit aussi 5 au carré.
Ça je pense que tu le savais.
5 au carré, par définition ça vaut 5 fois 5. C’est-à-dire qu’il faut écrire le nombre 5 deux fois. Et ça il ne faut absolument le confondre avec 2 fois 5. C’est vraiment différent de 2 fois 5.
Souvent, certains de mes élèves confondent deux fois cinq et cinq au carré ce qui n’est pas du tout la même chose.

Ensuite, je voulais aussi te donner l’exemple de 5 puissance 3. Alors des fois tu m’entendras dire 5 puissance 3 ou exposant 3 ou au cube quand c’est puissance 3 ça se dit aussi au cube.
Il y a des mots particuliers si tu veux pour la puissance 2 et la puissance 3, c’est carré et cube.
Donc 5 puissance 3. ET ça, je pense que tu as bien compris que ça vaut non pas 3 fois 5 mais 5 fois 5 fois 5.
Donc ça c’est vraiment la définition d’un nombre à la puissance « tant ». Si tu as N un nombre quelconque exposant ou puissance n, et bien il faut écrire le nombre N n fois. Avec des fois entre les N.
Ça va ? C’est comme on a fait ici.

Donc voilà ce que c’est que la définition d’une puissance, c’est vraiment à bien connaitre et maintenant rentrons dans le vif du sujet, sur les petites règles de calcul qui existent sur les puissances.
Donc la première petite règle de calcul qu’on peut voir, c’est quand tu multiplies par exemple 5 au carré avec 5 puissance 3.
Ça ça va être la première règle que nous voyons : Qu’est-ce que ça devient 5 au carré fois 5 puissance 3 ?
Je suis d’accord avec toi, on pourrait tout à fait le calculer, je vais mettre 5 au carré, je vais changer de couleur, fois 5 au cube. On va utiliser ce que ça vaut, chacune des ces choses là pour se rendre compte de cette petite règle.
5 au carré, ça vaut 5*5. Bon et bien écrivons-le et 5 au cube, c’est 5*5*5. Donc je remets le fois entre les 2 et j’écris 5 trois fois.
Et ça, combien ça vaut en termes de puissance ? 5*5*5*5*5. Et bien je pense que tu as compris que ça vaut 5 exposant, ou puissance, 5.
Donc en fait 5 au carré fois 5 au cube est devenu 5 puissance 5.

Donc en fait, quelle est la petite règle qui se cache derrière ? Si je prends un nombre en général. Ça c’était vraiment un exemple concret mais si je prends un nombre en général, par exemple N et que je le mets à la puissance a et ensuite je le multiplie par N à la puissance b. Qu’est-ce que ça devient à la fin ?
Ça devient N, je pense que tu seras d’accord, puissance combien ? Qu’est-ce que c’est que le 5 par rapport à 2 en orange et 3 en orange ici ? Et bien en fait c’est la somme, c’est 2+3.
Donc ici tu vas obtenir N exposant a+b. Donc ça c’est vraiment une première petite règle de calcul sur les puissances.
Quand tu multiplies un même nombre, ici N, attention, ça ne marche que quand tu as le même nombre N, à la puissance a et b, quand tu multiplies ces nombres, à la fin, tu as juste N à la puissance a+b, la somme des puissances.

On peut donner un autre exemple, par exemple 2 puissance 1. la puissance 1 tant qu’on y est on va en parler, la puissance 1 ça veut dire tout simplement le nombre, 2 puissance 1 c’est 2, tu pourrais même enlever le 1.
Donc 2 puissance 1 fois 2 puissance 4. Donc à ton avis, en utilisant cette règle, combien ça va valoir ?
Et bien ton N c’est 2, ton a c’est 1 et ton b c’est 4.
Donc ça vaut N, c’est-à-dire 2, exposant a+b, c’est-à-dire 1+4 et 1+4 ça fait 5 donc 2 exposant 5.
Voilà tout simplement. Après bien sûr tu pourras aller plus loin et calculer ce nombre-là, ce n’est pas vraiment l’intérêt de calculer ça, c’était vraiment pour te dire comment transformer une telle chose.
C’est vraiment quelque chose qu’on rencontre très souvent en maths, dans les exercices.
Donc voilà pour la première règle, j’en profite pour te dire que pour l’instant on n’a vu que des nombres entiers, des puissances entières, et positifs. C’est-à-dire 2, 3, 1, 4, 5, etc. bref tous les nombres entiers positifs, c’est-à-dire les nombres entiers naturels non nuls.

On n’a pas encore vu la puissance 0. Qu’est-ce que c’est qu’un nombre à la puissance 0 ? Et bien en fait on va le voir maintenant.
Un nombre à la puissance 0, en fait je vais m’appuyer sur un exemple. par exemple si je prends 3 exposant 2 fois 3 exposant 0.
On ne sait pas encore combien ça vaut 3 exposant 0, mais ça, en utilisant la règle en noir au-dessus, combien ça vaut cette chose-là ?
Quel est ton N, quel est ton a et quel est ton b ? Tu sais bien que pour appliquer une formule en mathématiques, il faut bien identifier ce que sont les lettres de la formule par rapport à ton cas concret que tu as dans ton exercice.
Donc là, ton N c’est 3, ton a c’est 2 et ton b c’est 0. Donc on utilise la règle et à la fin, ça, ça vaut N, c’est-à-dire 3, exposant a+b c’est-à-dire 2+0 et 2+0 ça vaut tout simplement 2. Donc tu vas obtenir 3 au carré.
Donc ça veut dire que tu as 3 au carré fois quelque chose et tu obtiens 3 au carré. Alors combien vaut le quelque chose ? Que vaut le 3 exposant 0 à ton avis ? Tout simplement, ça vaut 1.
Forcément puisque 3 au carré fois quelque chose égal 3 au carré, forcément le quelque chose il ne peut pas valoir autre chose que 1

Donc ce qu’on vient de démontrer, c’est une petit démonstrations rapide, ce n’est pas vraiment une démonstrations d’ailleurs, c’est une convention.
Tous les nombres à la puissance 0, donc N exposant 0, et bien ça vaut 1. Donc si je prends dix milliards à la puissance 0 ça vaut 1. Si je prends -4 à la puissance 0 ça vaut 1 etc.
Je n’ai pas parlé de nombres négatifs, qu’on peut mettre à une puissance mais là, on aurait pu le mettre quand j’ai parlé de la définition. Si je prends -4 à la puissance 2, tu vois je mets des parenthèses autour de -4.
Et bien ça vaut -4 fois -4. Et donc -4 fois -4, les moins s’en vont, ça nous fait 16.
Attention il ne faut pas confondre avec -4 au carré sans parenthèses. Le carré il s’occupe juste du nombre qui est en dessous, je vais faire une petite flèche, il ne s’occupe pas du moins.
S’il n’y a pas de parenthèses, le carré s’occupe juste du 4. Donc ça, ça vaut moins 4*4, donc -16, ce qui est différent de ça. Il faut faire très attention quand il y a des parenthèses ou pas de parenthèses.
Donc voilà, on retient bien qu’un nombre à la puissance 0 ça vaut tout simplement 1.

Maintenant, une autre règle qui existe, c’est quand tu mets par exemple un nombre au carré, par exemple 3 au carré et tu mets tout ça à la puissance 2 encore.
ça va être la deuxième règle. Il n’y a pas vraiment d’ordre dans les règles, je te les présente comme elles existent mais il n’y a pas vraiment d’ordre.
Il y en a plus ou moins 3 ou 4. Je vais t’en présenter une autre après. ça ce n’est pas vraiment une règle, c’est plutôt une définition, une convention, la puissance 0, le fait qu’un nombre à la puissance 0 ça vaut 1.

Donc l’autre règle, c’est celle-ci. Je voulais t’illustrer cette règle à l’aide d’un exemple. Si je prends 2 puissance 3 on va dire, et le tout au carré. Tu utilises la définition pour savoir ce que ça vaut dans la parenthèse, sans s’occuper du carré.
Donc je mets la parenthèse, 2 au cube, ça vaut 2*2*2. Et qu’est-ce que c’est que tout ça au carré ? tu utilises la définition. C’est le nombre fois lui-même.
Donc c’est (2*2*2), là tu l’as écrit une première fois le nombre, fois (2*2*2)
C’est un peu long à écrire tout ça mais je pense que tu comprends : là, le nombre apparait une première fois, et là une deuxième fois. Donc tu as bien mis 2*2*2 au carré. Tout ça c’est 2*2*2 au carré.
Et donc tout ça, ça s’exprime comment à l’aide d’une puissance de 2 ? combien de fois il y a écrit 2 ici ? Et bien 6 fois. Donc 2 exposant 6. Je vais l’écrire ici, ça vaut 2 exposant 6.
Donc finalement on est partis de 2 au cube, le tout puissance 2 et on arrive à la fin à 2 exposant 6. Qu’est-ce qui s’est passé ? On a toujours le nombre N, c’est 2 mais ici on a multiplié les puissances entre elles. Le 6 c’est en fait 3*2.

Plutôt que de les additionner comme on avait fait ici, on les a multipliées. Parce que là tu as un nombre à la puissance, encore à la puissance. Alors que là tu avais un nombre à la puissance fois le même nombre à la puissance.
C’est là que parfois on peut s’embrouiller et on peut ne pas retenir parfaitement les formules et s’emmêler un petit peu les pinceaux entre ces deux formules-là.
En fait il faut bien voir la différence entre les 2, en fait là tu as le nombre N à la puissance a et le même nombre N à la puissance b et là tu as juste un nombre N à la puissance a, le tout à la puissance b.
Donc en fait, là il faut absolument multiplier les puissances entre elles. Donc c’est ça la petite règle qui se cache derrière. Je vais l’écrire là :
N puissance a, le tout puissance b, c’est égal à N puissance a*b ou ab. Ce qui est égal aussi à N exposant b, le tout exposant a. tu pourrais tout à fait inverser l’ordre ici. ça vaut 2 exposant 2, le tout au cube. C’est la même chose.
C’est comme si j’écrivais dans la parenthèse 2*2, et là je mettrais puissance 3. Donc ça ferait 2*2 fois 2*2 fois 2*2.
Voilà j’espère que tu as compris la petite manipulation que j’ai faite. Donc voilà l’autre petite règle très importante qui intervient sur les puissances et qu’on rencontre très souvent dans les exercices.

2nde
Calcul de base
Puissance d’un nombre
vidéo 2/2
Autres règles sur les puissances.

Continuons maintenant avec la troisième règle que je souhaite te présenter.
Tu te souviens qu’on a vu le cas suivant, si je me souviens bien c’est 5 au cube fois 5 au carré. Tu te souviens que ça, ça vaut 5 puissance 3+2, c’est-à-dire exposant 5.
Donc ça, c’est un petit rappel de la petite règle qu’on a vue, quand on multiplie un même nombre à une puissance différente.

Donc maintenant si on fait le calcul suivant : on va prendre 5 toujours, on va dire 5 exposant 3 sur 5 au carré.
Ça, ça va vraiment être la troisième règle. Et bien à ton avis, combien ça peut valoir ? Comment on peut la simplifier cette chose-là ?
Et bien encore une fois utilisons la définition d’une puissance, qu’est-ce que c’est que 5 au cube ? C’est 5 fois 5 fois 5. On va l’écrire : 5 fois 5 fois 5.
On remet le trait de fraction. Sur 5 au carré, 5 puissance 2 ou exposant 2, ça vaut 5 fois 5.

Donc là, est-ce qu’on ne pourrait pas faire quelque chose sur cette fraction ? Tu sais que les fractions généralement tu peux les réduire. Tu peux simplifier haut et bas par un même nombre sinon tu es devant une fraction irréductible on appelle ça.
Mais là, est-ce que ta fraction est irréductible ? Et bien non puisque tu peux simplifier haut et bas par 5 et même par 5 au carré, 5*5, parce que tu le retrouves en haut et en bas.
Et quand tu retrouves un même nombre en haut et en bas -attention, il faut que ce soit des multiplications- et bien tu peux les simplifier.
Si tu avais eu un plus ici, tu n’aurais pas pu simplifier. Attention j’ai déjà vu cette erreur chez certains de mes élèves.
Donc là, 5*5 tu peux l’enlever du haut et du bas. Donc finalement il ne te reste plus que 5 tout seul.
Donc là il reste 5 mais en fait 5 tout seul, c’est aussi 5 puissance 1, exposant 1. Je te rappelle qu’un nombre tout seul, c’est le nombre à la puissance 1. Puissance 1 ça ne change rien en fait au nombre tout simplement.
Donc ça, je mets bien que c’est égal à 5. Voilà.

Donc finalement, tu es parti de 5 exposant 3 sur 5 au carré, et tu es arrivé à 5 exposant 1.
Finalement, qu’est-ce que c’est que cet exposant par rapport à 3 et à 2 ? Et bien en fait, c’est 3-2. 3-2 ça fait bel et bien 1.
Donc la petite règle qui se cache derrière c’est que N exposant a sur N exposant b, et bien c’est N exposant a-b.
Voilà la règle qui se cache derrière. Donc bien sûr elle a un lien avec la petite règle que je voulais te rappeler ici qui est : N exposant a fois N exposant b c’est non pas N exposant a-b mais N exposant a+b.
Si tu veux, le divisé, c’est une sorte de – en quelque sorte. Il reste -, c’est comme ça que tu peux le retenir. Et ici, ton fois, il devient un +. Ça va ?

Ce sont vraiment deux règles très importantes qu’il faut retenir et donc N exposant a, le tout exposant b. Je rappelle encore la petite règle qu’il faut retenir, N exposant a, le tout exposant b c’est égal à N exposant ab.
Je répète les petites règles au fur et à mesure mais je tiens vraiment à ce que tu les retiennes ces trois règles.
Et bien sûr avec le fait que N exposant 0 ça vaut 1 comme nombre. C’est par convention.
Donc voilà je pense qu’on a fait le tour.

Je peux aussi te parler des puissances négatives puisque là nous n’avons parlé que des puissances entières au dessus de 0, c’est-à-dire un nombre à la puissance 0,1, 2, 3, 4…
Mais tu peux définir aussi, quand tu vois ça, à partir de ça des nombres à la puissance -3 par exemple.
Donc si je te parle de 5 exposant -3 par exemple. Et bien en fait, je pense que tu seras d’accord avec moi, 5 exposant -3 c’est aussi 5 exposant 0-3. 0-3 ça fait -3.
Et pourquoi je fais ça ? Et bien pour utiliser cette petite règle. Et 5 exposant 0-3, si j’utilise cette règle, mon a il vaut 0, mon b il vaut -3 et mon N il vaut 5.
Donc N exposant a ça donne 5 exposant 0. Et ça tu te souviens combien ça vaut, ça vaut 1. Le tout sur N exposant b c’est-à-dire 5 exposant 3.
Donc ça je te disais que ça vaut 1 sur 5 exposant 3. Donc on est passé de 5 exposant -3, c’est de ça que je voulais te parler au tout début, ce sont vraiment les puissances négatives, tant que j’y suis je vais l’écrire.
Donc tu as vu qu’on est passé de 5 exposant -3 à 1 sur 5 exposant 3. Et ça c’est égal, ces deux choses là.

Donc la petite règle qui se cache derrière les puissances négatives, c’est que N exposant a par exemple -3 si a vaut -3, et bien c’est 1 sur N exposant à ton avis ? Et bien en fait exposant -a.
Parce que si ton a c’est -3, et bien là on a vu que 5 exposant -3 ça vaut 1 sur 5 exposant 3, donc ton -3 il est devenu 3 donc ton a il devient -a.
Voilà une autre règle encore que tu peux connaitre mais qui est tout à fait liée à celle-ci en fait.
Celle-ci, on peut dire qu’elle provient, je vais faire une flèche, de celle-ci.

Donc en fait, les principales règles à connaitre, ce sont ces trois-là que j’ai mises au milieu.
Voilà ce qui conclut cette vidéo, j’espère que tu as bien compris ces petites règles.
Les comprendre c’est une chose, les comprendre sur le coup, mais après, les retenir ce n’est pas forcément évident. Je pense qu’il faut les pratiquer un minimum pour que tu puisses les retenir facilement.
Donc essaie de ne pas t’embrouiller, de bien distinguer les différentes formules, ce ne sont pas les mêmes.
N exposant a-b, ce n’est pas la même chose que N exposant a+b qui n’est pas la même chose encore que N exposant a*b, N exposant ab. D’accord ?
Et là, je ne l’ai pas rappelé mais N exposant 0, ça vaut tout simplement 1.

Voilà donc là j’ai vraiment voulu te montrer ce que c’est que ces formules, comment elles marchent.
Maintenant c’est vraiment à toi de les pratiquer un minimum dans des exercices. Tu trouveras des exercices sur ce sujet sur Star-en-maths.tv à mon avis.
Il suffit juste d’aller sur le site et de taper par exemple « puissance », « calcul de base » ou ce genre de choses, donc sur mon site Star-en-maths.tv et tu tomberas sur quelques vidéos sur lesquelles tu pourras t’entrainer.
Donc à mon avis tu rencontreras ces petites règles assez souvent dans les exercices puisque les puissances sont fréquentes dans les exercices. Mais à mon avis ce ne sera pas très difficile de résoudre ces exercices si tu as bien compris ces quelques règles, tu as vu il n’y en a pas beaucoup.
Et en fait il faut bien les comprendre et les distinguer pour les retenir et si tu les as bien comprises, ces petits calculs sur les puissances ne te feront plus peur et tu ne fuiras pas devant tout nouvel exercice qui comportera une puissance.

Voilà donc je te dis à très bientôt pour une prochaine vidéo sur star-en-maths.