Quand faire un tableau de signe ?

Bonjour à toi et bienvenu dans ce cours star en math dans lequel je vais t’expliquer quand faire un tableau de signe.
Ici Romain. J’espère que tu vas bien. Donc dans cette vidéo je ne vais pas te présenter comment faire un tableau de signe, je suppose que tu sais déjà en faire un.
En fait je vais plutôt te présenter quand faire un tableau de signe. C’est deux questions différentes : comment faire un tableau de signe et quand est-ce que tu en as besoin ?
Donc là, je suppose vraiment que tu sais faire un tableau de signe. Je vais t’en redonner un exemple, un tableau de signe c’est quoi ? C’est tout simplement un tableau dans lequel la première ligne c’est x et dans la deuxième, c’est le signe d’une expression fonction de x.

Donc là, je vais te donner un exemple tout de suite pour te rappeler ce qu’est un tableau de signe. Je ne vais pas vraiment te rappeler comment en faire un. Ça ce sera l’objet d’autres vidéos que tu peux trouver sur star en maths TV.
Donc, un exemple de tableau c’est : alors la ligne des x. Ce n’est pas toujours de -l’infini à +l’infini, ça dépend de l’ensemble de définition de ton expression.
Donc x, il peut varier par exemple entre -1 et +l’infini imaginons.
Et la deuxième ligne ce sera le signe par exemple de cette expression imaginons : 1/(x+1). Et donc 1/(x+1) quand x se balade entre -1 et +l’infini, et bien c’est positif. Et on a une valeur interdite quand x vaut -1 puisque quand x vaut -1, 1/(x+1) c’est 1 sur 0 et 1 sur 0, ça n’existe pas en mathématiques.
Je te rappelle que quand un dénominateur est égal à 0, ce n’est pas possible, ça n’existe pas en mathématiques et c’est ça qui donne les valeurs interdites. Donc -1 est la valeur interdite de cette expression.
Donc voilà notre tableau de signe. Cette expression est clairement positive sur ]-1;+l’infini[. C’est comme ça qu’on le dit en français.

Et maintenant, quand est-ce que tu as besoin de faire un tableau de signe, véritablement ? Et bien c’est vraiment très simple, tu as besoin d’en faire un quand on te dit d’avoir le signe d’une expression.
Donc quand on te demande de connaitre le signe d’une fonction de x, de f(x) et bien dans ce cas-là tu fais un tableau de signe.
Alors maintenant, connaitre le signe d’une fonction en mathématiques, ça sert à d’autres choses souvent. Connaitre le signe en soi, c’est pas forcément le plus intéressant. Ça sert à d’autres choses plus concrètes. Notamment quoi ?
Alors je vais te présenter plusieurs situations.

Tu fais un tableau de signe, je répète, quand tu veux connaitre le signe d’une fonction. Donc la première situation dans laquelle tu peux avoir besoin d’un tableau de signe, c’est toujours pour connaitre le signe d’une expression, et d’une expression plus complète que f(x), qui utilise f(x) dans son expression.
Donc là, c’est signe de g(x) qui « contient » f(x). Donc je vais te donner tout de suite un exemple. Donc là tu me dis que ça se mord un peu la queue puisque là je te dis que faire un tableau de signe, ça sert à faire un autre tableau de signe.
C’est un petit vrai en fait puisque faire un tableau de signe ça sert à connaitre le signe d’une expression plus complète parce qu’en fait, là je te donne un exemple : imaginons que tu aies g(x) qui soit égal à (x-3)(x-1). Et bien là, tu ne vas pas connaitre tout de suite le signe d’une telle expression.
Et faire un tableau de signe, ça va être un outil pour connaitre le signe de g(x). Donc là, g(x) c ‘est un produit de facteur, et tu peux te dire que c’est d’abord (x-3) et ensuite (x-1). Et bien si tu connais le signe de (x-3) et le signe de (x-1), tu peux connaitre le signe du produit de (x-3)(x-1).
Il suffira de multiplier les signes entre eux. Je te rappelle que + par + ça donne +. + par – ça donne – et – par – ça donne +. C’est ça les petites règles sur les multiplications ou les divisions de signes.

Donc voilà une première situation où tu peux avoir besoin d’un tableau de signe. Parce que toi tu veux connaitre le signe de g(x) et donc tu vas faire un tableau de signe qui va te donner le signe de (x-3) et le signe de (x-1).
On peut le faire très rapidement dans le cadre de cet exemple. C’est ce tableau de signe-là :
x va varier de -l’infini à +l’infini puisqu’il n’y a pas de valeur interdite dans ton expression de g(x). Et ensuite, plutôt que de dire « je veux tout de suite le signe de g(x) dans la deuxième ligne ». Non. Tu vas d’abord passer par le signe de (x-3), par le tableau de signe de (x-3) et par le tableau de signe de (x-1).
Donc signe de (x-3). Tu pourrais mettre signe de (x-3) à la place de juste (x-3). Signe de (x-1). Et donc là, tu mets les valeurs caractéristiques. Donc là, je vais un petit peu vite pour savoir comment faire ce tableau. J’imagine que tu sais déjà le faire mais là je te présente les différentes situations dans lesquelles il faut faire un tableau de signe.
Donc là il va y avoir 1 et 3. x-3 ça s’annule pour 3, donc là tu vas mettre un 0. Donc la dernière ligne de notre tableau ce sera bien sûr pour le signe de g(x). Donc un 0 pour x-3 et c’est négatif et positif. Donc là, je remets une barre parce que x-1 ça s’annule pour x=1. C’est négatif ici et c’est positif ensuite.
Et sinon notre expression g(x) s’annule pour 1 et 3 et c’est +, – et +. Donc voilà le tableau de signe de notre expression g(x) qui était une expression plus complexe que (x-3) et (x-1). Donc il fallait d’abord faire un tableau de signe de x-3 et de x-1 pour avoir le signe de notre expression finale g(x).
Donc ça sert à ça de faire un tableau de signe, ça sert à connaitre le signe d’une expression plus complexe qui était ici g(x). Ça c’est la première situation dans laquelle tu peux avoir besoin d’un tableau de signe.

Donc une deuxième situation dans laquelle tu peux avoir besoin de faire un tableau de signe. Je te rappelle que faire un tableau de signe, c’est toujours pour avoir le signe d’une expression. C’est ça la première raison pour laquelle tu fais un tableau de signe. Il n’y a pas d’autres raisons que celle-ci.
Là ensuite, je t’explique des situations dans lesquelles tu as besoin du signe d’une expression et donc de faire un tableau de signe. Mais ce que je veux te dire c’est que tu fais un tableau de signe quand tu veux connaitre le signe. Donc là je vais mettre : signe de f(x), donc tu fais un tableau de signe. Dès que tu veux connaitre le signe de quelque chose.
Parce qu’en fait, un tableau de signe ça te permet de bien présenter le signe d’une expression. Tu vois ? Plutôt que de dire en français : quand x est dans l’intervalle [-1;2], f(x) est positive, quand x est dans l’intervalle [2;+l’infini[, f(x) est négative.
Plutôt que de dire ça en français, tu vas faire un tableau. Et le tableau te permet tout de suite de visualiser, de présenter le signe de f(x). C’est vraiment à ça que ça sert un tableau de signe.

Donc là, je suis en train de te détailler les situations dans lesquelles tu as besoin du signe d’une expression et donc de faire un tableau de signe. J’espère que tu as bien compris ce que je suis en train de te présenter.
Et donc maintenant la deuxième situation dans laquelle tu as besoin de faire un tableau de signe c’est-à-dire dans laquelle tu as besoin de connaitre le signe d’une expression, c’est dans le cas d’inéquations.
Alors ce n’est pas toujours utile pour les inéquations mais ça peut être utile parfois pour les inéquations de faire un tableau de signe. Notamment pour les inéquations suivantes : alors là, je vais noter « inéquations ».
Alors utiliser un tableau de signe pour résoudre une inéquation c’est quelque chose que tu peux toujours plus ou moins faire. C’est une technique pour résoudre une inéquation, que tu peux employer. Je te donne un exemple tout de suite :

Si tu veux résoudre par exemple, l’inéquation : x au carré supérieur à 9. Et bien plutôt que d’essayer de résoudre cette inéquation en la transformant petit à petit, et bien là, je t’encourage à réaliser plutôt un tableau de signe.
Alors pourquoi ? Parce qu’à un moment donné tu vas devoir connaitre le signe d’une expression mais quelle expression ? Et bien celle-ci : imagine que je passe le 9 de l’autre côté, ça fait x au carré moins 9 supérieur strictement à 0. J’ai enlevé un 9 à gauche et à droite.
Donc x au carré moins 9 supérieur à 0, c’est toujours une inéquation que tu souhaites résoudre, tu souhaites chercher le x, mais en fait pour résoudre cette inéquation, et bien tu peux tout à fait trouver le signe de x au carré moins 9 et plus particulièrement, quand est-ce que x au carré moins 9 est strictement positive.
Donc ça revient en fait à faire un tableau de signe et à la fin regarder dans ton tableau de signe pour quels x, x au carré moins 9 est strictement positive.
Donc voilà vraiment une autre situation dans laquelle tu peux avoir besoin de faire un tableau de signe. Et finalement c’est toujours pour connaitre le signe d’une expression.

Donc là, je vais continuer très rapidement pour te montrer comment ça marche. Ici, x au carré moins 9, pour en connaitre le signe, il faut factoriser à l’aide de l’identité remarquable différence de deux carrés : a carré – b carré.
Ça fait (x-3)(x+3) puisque 9, c’est le carré de 3. C’est un carré parfait en plus. Donc (x-3)(x+3) supérieur à 0. Tu cherches le signe de x-3. C’est négatif de -l’infini jusqu’à 3 et positif ensuite. x+3, son signe, c’est négatif de -l’infini jusqu’à -3 et c’est positif de -3 à +l’infini.
Et ensuite tu obtiens le signe de l’expression finale : x au carré moins 9. Et donc tu regardes dans ton tableau de signe quand est-ce que c’est strictement positif. Et tu auras résolu ton inéquation.
Voilà donc une situation très courante, les inéquations, dans laquelle tu as besoin de faire un tableau de signe.

Quand faire un tableau de signe ?
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Maintenant, je vais te présenter encore trois situations dans lesquelles tu as besoin de faire un tableau de signe.
Alors la troisième situation, c’est celle-ci, c’est quand tu veux savoir si la courbe d’une fonction est au-dessus ou en-dessous de l’axe des abscisses, tout simplement.
Donc en fait : position de la courbe de f par rapport à l’axe des abscisses. C’est quelque chose de très graphique finalement.
Donc effectivement quand tu étudies une fonction f(x), quand tu as l’expression de f(x), donc f(x) égal quelque chose, et que tu veux étudier cette fonction, connaitre un petit peu son comportement, quelle est sa courbe etc. et bien l’une des questions que l’on peut te poser dans un problème, c’est celle-ci :
Quelle est la position de la courbe de la fonction par rapport à l’axe des abscisses ? En gros, est-ce que la courbe est en dessus ou en-dessous de l’axe des abscisses ? Et si oui, pour quels x, pour quel intervalle ?
ET bien pour répondre à cette question, c’est assez simple en fait. Il suffit de chercher le signe de f(x). Quand f(x) est positif, la courbe est au-dessus de l’axe des abscisses, c’est-à-dire que les images de x, les f de x sont positifs. Et quand la courbe est en-dessous, et bien c’est équivalent au fait que f(x) est négatif.
Donc en fait il faut juste chercher le signe de f(x), donc faire un tableau de signe de f(x) pour répondre à cette question. C’est une des situations dans lesquelles tu as besoin de faire un tableau de signe. Tu comprends ?

Donc ensuite, une quatrième situation dans laquelle tu as besoin de faire un tableau de signe, c’est quand tu calcules une dérivée. Ça c’est une notion qui est valable pour la première ou la terminale. Je ne pense pas qu’on voie les dérivées en seconde.
Donc dérivée : dérivée, c’est quand tu calcules la fonction f'(x). Donc si on te donne l’expression d’une fonction, donc f(x) égal quelque chose, que ta fonction est dérivable, et bien parfois tu veux connaitre les variations de cette fonction f.
ET ça, c’est toujours dans le cadre d’une étude de fonction. Une étude de fonction c’est quelque chose de très global en mathématiques, qui te permet d’en savoir plus sur une fonction. Tu veux juste en savoir plus, donc tu fais une étude de fonction. On appelle ça comme ça.
Une étude de fonction, ça comprend pas mal de choses. Ça comprend l’étude de l’intervalle de définition, l’étude de la position relative de la courbe par rapport à l’axe des abscisses par exemple, l’étude des asymptotes, l’étude des variations etc.
Et pour avoir les variations d’une fonction en mathématiques, il y a un outil qui est très pratique pour ça, c’est l’outil dérivée. L’outil dérivée, tu calcules f'(x), après avoir vérifié que ta fonction est dérivable etc. Et quand tu calcules f'(x), tu ne calcules pas f'(x) comme ça. Tu veux juste connaitre le signe de f'(x).
Et le signe de f'(x) te fournira les variations de f. Donc ça, c’est vraiment la règle à connaitre jusqu’au BAC, puisque c’est vraiment une question typique du BAC. Donc en gros quand f'(x) est positive, f sera croissante, et quand f'(x) est négative, f est décroissante. Tout simplement.
Donc ça te permet, à partir du tableau de signe de f'(x), d’obtenir le tableau des variations de f, à ne pas confondre avec le tableau de signe d’ailleurs. Le tableau de variations, tu mets des flèches dedans. C’est pour dire si la fonction monte ou descend. Alors que le tableau de signe, tu mets des plus et des moins. C’est pour connaitre le signe, savoir si l’expression est plus grande ou plus petite que 0.

Donc dérivée : je peux te donner un exemple très rapidement : donc si on prend au hasard f(x)= x carré + 2x. Et toi tu veux savoir si cette fonction elle monte ou elle descend. Et sur quels intervalles.
Donc là, tu vas calculer f'(x). Donc là c’est un polynôme notre fonction. Tout polynôme est dérivable sur R. C’est ça qu’il faudrait écrire sur ta copie. Donc pas de problème, tu peux calculer f'(x).
f'(x), d’après les petites règles que tu connais sur les dérivées, et bien ça vaut 2x+2. Ensuite, pour connaitre le signe de ça, et bien c’est très simple parce que là, 2x+2 c’est une fonction affine, du type ax+b. C’est d’ailleurs le type de fonction qu’on a vu tout à l’heure avec x-3 et x-1. C
C’est une fonction affine et le signe d’une fonction affine tu sais tout à fait l’indiquer dans un tableau de signe directement. Tu n’as pas besoin de faire d’autres calculs, en fait il faut quand même savoir quand est-ce que ça s’annule. Ça, ça s’annule quand x vaut -1 parce que ça fait 2*(-1)+2, ça fait donc -2+2 donc 0.
Donc quand x vaut -1 ça s’annule. Quand x est inférieur à -1 c’est négatif et quand x est supérieur à -1, c’est positif parce que la fonction affine ici est croissante. Parce que son coefficient directeur, je rentre un petit peu dans les détails, c’est 2 et c’est positif donc la fonction affine que nous avons ici est croissante. Donc c’est forcément – puis + comme signes.
Donc voilà, tu ferais un tableau de signe de f'(x) en mettant bien dans la première ligne -l’infini, +l’infini pour les x et aussi -1, c’est-à-dire la valeur de x caractéristique, pour laquelle 2x+2 s’annule. Ensuite tu mettrais la barre avec le 0 dans la 2ème ligne. Signe de f'(x) : moins, plus.
Et ensuite, tu mettrais une troisième ligne. Mais là, ce n’est plus un tableau de signe, c’est le tableau des variations de f. Tu mettrais que la fonction f est décroissante de -l’infini jusqu’à -1 et ensuite, croissante sur -1;+l’infini.

Voilà donc un petit exemple de l’utilisation d’un tableau de signe quand tu viens de calculer une dérivée.
En gros, quand tu viens de calculer une dérivée, il faut toujours en connaitre le signe. Donc il faut en faire le tableau de signe.
Voilà donc une situation très fréquente que tu utiliseras jusqu’au Bac et ce sera même une question du Bac, c’est quasiment sûr, que tu auras, et qui te demande de faire un tableau de signe.

Enfin voici la dernière situation que je voulais te montrer et qui utilise encore le signe d’une expression, qui te demande de connaitre le signe d’une expression et donc de faire un tableau de signe.
C’est quand tu veux calculer ce genre de limites-là. Donc ce n’est pas pour tous les calculs de limites, c’est pour certains calculs de limites. Par exemple si on te demande de calculer la limite suivante : limite quand x tend vers 3+ (c’est-à-dire quand x tend vers 3 par valeurs supérieurs) de x/(x-3).
Donc, ça aussi, la notion de limite, c’est surtout une notion qu’on voit en terminale. Donc si tu n’es pas en terminale, ce n’est pas grave, oublie cette situation-là mais si tu es en terminale, je t’encourage à regarder ça parce que c’est une situation dans laquelle tu as besoin de faire un tableau de signe.
En effet, au numérateur, tu vois que x tend vers 3. Donc au numérateur pas de problème, ça tend vers 3, 3+ même. Et au dénominateur x-3. Donc x tend vers 3+ donc x-3 tend vers quoi ? Et bien il tend vers 3-3, et 3-3 c’est 0. Donc au dessus tu as 3 et au-dessous tu as 0. Donc en fait il faut savoir si c’est +l’infini ou -l’infini parce que 3 sur 0 c’est plus ou moins l’infini.
Et pour trouver trancher entre ces deux cas-là, +l’infini et -l’infini et bien il faut savoir si x-3 tend vers 0+, c’est-à-dire reste positif quand x tend vers 3+, ou est négatif, c’est-à-dire x-3 tend vers 0-. Tu comprends ?
Parce que dans le cas où x-3 tend vers 0+ et bien tu obtiens 3 non pas sur 0 mais sur 0+, tu vas préciser un petit peu le cas. Et 3 sur 0+ et bien c’est plus l’infini. Et si, à l’inverse, x-3 tend vers 0-, tu obtiens 3/0-. Et 3 sur 0-, ça tend vers -l’infini.

Et donc pour trancher entre ces deux cas, il faut absolument avoir le signe de x-3. Ici ce n’est pas très compliqué. Et donc, pour clarifier les choses, ce que je t’encourage à faire c’est un tableau de signe. Le tableau de signe de x-3.
Et donc le tableau de signe de x-3, c’est très simple. Tu as comme première ligne pour x de -l’infini jusqu’à +l’infini. Tu mets la valeur 3, c’est-à-dire la valeur pour laquelle x-3 s’annule et donc, la deuxième ligne c’est le signe de x-3. ET donc c’est forcément -, 0 et +.
Et donc quand x tend vers 3+, et bien c’est assez simple. Je peux quand même le dessiner ce tableau de signe. Je vais le faire ici même si je n’ai pas beaucoup de place. Donc x je te disais, -l’infini jusqu’à +l’infini. Ici tu mets 3.
La deuxième ligne ça va être le signe de x-3. Donc là, ça s’annule pour 3, c’est pour ça que j’ai mis la valeur 3. Donc tu mets la barre avec un 0. Et comme le coefficient directeur de ta fonction affine (puisque c’est une fonction affine x-3) vaut 1, la fonction est croissante, donc le signe c’est – puis +.
Donc quand x tend vers 3+, c’est-à-dire quand x va vers là en fait, et bien x-3 reste positif. Donc x-3 tend vers 0 c’est vrai mais vers 0+. Et donc tu arrives au résultat suivant, c’est que cette limite là, tu arrives à trancher entre -l’infini et +l’infini, et bien c’est tout simplement +l’infini.
Voilà donc une autre situation dans laquelle tu as besoin du signe d’une expression et donc pourquoi ne pas faire un tableau de signe. Donc là c’était assez évident, on ne doit pas forcément faire un tableau de signe pour ce cas-là, mais dans le cas où tu as une expression plus complexe au dénominateur, par exemple un polynôme du second degré, ça vaut le coup de faire un tableau de signe, à mon avis.

Donc en gros, dans cette vidéo, concluons maintenant, c’est tout simple. Quand faire un tableau de signe ? Et bien dès que tu veux avoir le signe d’une expression. Dès que tu veux avoir le signe d’une expression tu fais un tableau de signe.
Non seulement ça te sert à bien visualiser le signe final de ton expression puisque c’est la dernière ligne et donc tu vois très bien quand est-ce que c’est négatif et quand est-ce que c’est positif. C’est-à-dire pour quels x c’est positif ou négatif.
Et puis ça peut te servir aussi un tableau de signe comme outil, notamment comme outil qui te permet d’obtenir le signe d’une fonction plus complexe. A partir de plusieurs lignes dans un tableau de signe, tu peux obtenir la ligne finale qui te présente le signe d’une fonction plus complexe.
Donc voilà en gros les différentes situations. Il en existe bien sûr d’autres, des situations dans lesquelles tu as besoin du signe d’une expression. Mais là, je pense que je t’ai donné les principales.
Voilà quand faire un tableau de signe. Donc là, dans cette vidéo je ne t’ai pas expliqué comment faire un tableau de signe. Je suis allé un petit peu vite quand je t’ai donné les exemples en vert. Mais je pense que tu pourras trouver des vidéos qui expliquent comment faire un tableau de signe sur Star en maths TV. Il y a plein d’autres vidéos dans lesquelles j’explique ça en détails.