Rappels sur la différence entre courbe et fonction, rappels sur 3 types de fonctions classiques : linéaires, affines et du 2nd degré

Quelle est la différence entre une fonction et une courbe de fonction ?

Quelle est la différence entre une fonction linéaire, affine et du 2^nd degré ?

Alors ce que je te propose de faire déjà, un polynôme du 2^nd degré, donc déjà certifie-moi, vous l’avez bien appelé comme ça, polynôme du 2^nd degré.

Dans le chapitre c’est fonction du 2^nd degré.

Fonction ok, et sinon est-ce que tu as vu le terme trinôme ?

Tu ne penses pas, ok. Et bien tout ça, c’est tout simplement un polynôme du second degré, c’est une fonction aussi du second degré. Tout ça c’est la même chose. Maintenant, est-ce que tu peux me dire à quoi ça correspond ? En premier lieu, qu’est-ce que c’est pour toi ? Quel objet mathématique c’est ? Est-ce que c’est une droite, est-ce que c’est un triangle, est-ce que c’est un nombre ?

C’est une courbe.

C’est une courbe alors, moi je dirais, pas tout à fait. Ce n’est pas tout à fait une courbe. Tu vois ici on a le terme en fait. Comme on disait en mathématique, c’est avant tout une fonction. D’accord ? et donc c’est une fonction de x. Tu vois ? Donc si tu notes ta fonction f, comme d’habitude, et bien f(x) ça vaut quelque chose. Alors, qu’est-ce que tu connais toi comme type de fonction ? Tu es d’accord que déjà, avant de continuer, tu es d’accord, qu’une fonction c’est différent d’une courbe ?

Oui.

Même si on peut tracer la courbe d’une fonction. Mais une courbe et une fonction, enfin, quand on regarde précisément, ce n’est pas deux choses pareilles, pas tout à fait. Vraiment il faut distinguer ces deux choses-là. Ça c’est vraiment graphique, et une fonction c’est vraiment par lequel tu as f(x) qui vaut quelque chose. Ça, c’est la définition de ta fonction.

Qu’est-ce que tu connais toi comme autre type de fonction ?

Une fonction toute simple.

Une fonction affine, linéaire

Voilà, c’est ça. Tu te souviens de leurs formes, qu’est-ce qu’elles ont comme forme à peu près, la fonction linéaire par exemple, ou affine ?

C’est des droites.

Alors, tu as vu, quand tu me dis ça, tu as dit une fonction c’est une droite. Alors, ce n’est pas tout à fait vrai. Comme je te disais à l’instant, une fonction et une courbe, il faut bien distinguer ces deux choses-là, ce n’est pas tout à fait pareil. Par contre tu peux dire que ça correspond à une droite, ou à ce que tu veux dans le repère orthonormé. Mais ce que je veux te dire c’est que par exemple si tu as une fonction affine, g(x) ta fonction g, et bien qu’est-ce qu’il y a derrière le g(x), ça vaut quoi ça ?

Ça c’est la fonction du type affine, c’est-à-dire que tu as g(x) qui vaut ax+b

Maintenant si on te parle d’une fonction linéaire, qu’est-ce que ça veut dire ?

C’est ax.

Bon et bien c’est très bien. Déjà c’est un rappel très important. Ensuite oui, tu peux dire que, alors il ne faut pas dire que ce sont, tu ne peux pas utiliser le verbe être, par contre tu peux dire que ça correspond si tu veux à une droite. D’ailleurs une fonction affine ça correspond à une droite, n’importe laquelle dans ton repère. Et une fonction linéaire, ça correspond aussi à une droite, sa courbe, mais elle passe par quoi ?

Par l’origine.

Oui, c’est bien. Donc elle peut être comme ça par exemple. Il faut bien se souvenir de ça. Donc ça, c’est bien. Là tu connais finalement toutes les fonctions qui correspondent ou qui ont comme courbe, une droite. Donc une courbe il faut bien se rappeler que c’est une droite. Je sais que ça peut paraître bizarre de dire ça en français, une courbe c’est une droite. Et oui.

Une droite c’est vraiment un type de courbe

D’accord ? Donc là, maintenant tu vois une nouvelle fonction, dont la courbe n’est plus une droite, mais ça va être quoi finalement ? La courbe correspondant à ça ? A ces fonctions affines ?

Et donc pour toi ça ressemble à quoi une parabole ?

Une sorte de bol.

Voilà, un bol, une cloche, ce que vous voulez, une montagne m’avait dit Lisa une fois. Donc oui c’est ça. Maintenant quelle est la forme de la fonction. Ça ne va plus être ax ni ax+b, ça va être quoi ?

ax+bx+c

Alors, pas tout à fait, ax². Tu t’en souviens ? C’est le carré en fait qui joue tout le rôle, qui est nouveau un petit peu par rapport à ce qu’on connaissait. Là il n’y avait pas de carré. Mais là, maintenant il y a un carré, +bx, donc on ne peut pas les ajouter ensemble directement ces deux choses-là, donc on est obligé de les séparer en deux, plus la constante. Bon, voilà le nouveau type de fonction que vous voyez. Et là, tu m’as dit, ça a une courbe aussi cette chose, et la courbe ça correspond à un bol. Une parabole on appelle ça. De dire que c’est un bol je trouve que c’est une bonne façon de le retenir, parabole, bol, tout simplement c’est la même chose. Donc ton bol, il peut être tourné vers le haut, on fera rapidement une petite courbe dans un coin, comme ça, on le met très rapidement. Ça peut être ça ta parabole, ou ça peut être ça <Figure>. Ça peut être très large, ça peut être très fin, ça peut être ça. Et bien c’est n’importe où dans votre repère. Bon et en fait, ce qui fait bouger la parabole, et ce qui la fait tourner vers le haut, là c’est tourné vers le haut, et là c’est tourné vers le bas. C’est ça que j’appelle tourné vers le haut ou le bas, et bien ce sont les coefficients, a, b et c, ça dépend de ces nombres là. Ça va, tu me suis jusqu’ici ?

Oui.
Bon et bien c’est bien. Alors maintenant, là on a vu ce que c’était comme fonction à la base, alors, on a vu aussi que graphiquement ça correspondait à une parabole, donc on a rappelé aussi qu’une fonction c’est différent d’une courbe. C’est vraiment deux objets différents, mais bon, ils sont liés bien sûr.

Maintenant il existe d’autres façons d’écrire le ax²+bx+c et on va voir ça tout de suite.