Réciproque du théorème de Thalès

Comment utiliser le théorème de Thalès dans l’espace ?

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Aujourd’hui dans l’exercice nous avons un cube et trois points I,J, K qui sont respectivement sur les segments [AB],[AC] et [AD] et aussi de telle façon que les droites (IJ) et (BC) sont parallèles et la droite (JK) est parallèle à (CD).

Et enfin la question nous demande que peut-on dire des droites (IK) et (BD) ?

Alors première chose quand on voit un énoncé sans dessin, et qui parle justement d’un cube, de trois points, de droites parallèles, de segments, autant dessiner la figure.

Ce qu’on va faire c’est tout de suite un cube et ensuite nous allons placer les trois points. Maintenant intéressons-nous aux trois points. Premier point, on nous dit qu’il est placé sur le segment [AB]. On va choisir une position pour ce point. Disons qu’il est la. Ensuite, le point J est sur [AC]. Alors attention, puisqu’on nous dit que ces points sont quand même contraints par le fait que les droites (IJ) et (BC) sont parallèles, et les droites (JK) et (BD) sont parallèles aussi. Donc si je trace rapidement ici la diagonale (AC), donc le segment [AC], on nous dit que (IJ) est parallèle à (BC).

C’est cette droite-là. Il faut que (IJ) soit parallèle à (BC). Donc, ici, tu fais des pointillés parallèles à (BC). Tout ceci dans le plan de la base du cube ABCD. Et, cette droite-là, en pointillé, que j’ai commencé à tracer, coupe le segment [AC] en J justement. Donc, on a le point J ici, de telle façon que les deux droites soient parallèles. Voilà. Il nous reste le point K. Il est sur le segment [AD], donc ici, et aussi de telle façon que la droite (JK) est parallèle à (CD). D’accord ?

Donc (CD), c’est la droite au fond, et (JK) est parallèle. Et notre K est ici. Voilà, donc là on a placé nos trois points I,J,K. qu’est-ce qu’on nous demande ? que peut-on dire des droites (IK) et (BD) ?

Comme ceci, au premier abord, ça n’est pas évident. Parce que la droite (BD), ça correspond à la diagonale du carré ABCD, d’accord. Donc, a priori, on pourrait dire qu’elles sont parallèles.

Alors, ici, on est en géométrie dans l’espace, comme tu peux le voir bien sûr, puisqu’on a affaire à un cube, et, la première chose à faire quand tu as fait une figure qui est dans un plan seulement du cube, c’est de refaire la figure en 2D ! Puisqu’ici, dans ce cas particulier d’exercice de géométrie dans l’espace, tout se passe dans le plan ABCD.

D’accord ? donc, ce qu’on va faire, c’est qu’on va reproduire la base du cube ABCD et replacer les points I,J,K. donc, en fait, on va y voir beaucoup plus clair. Tu vas voir.

Alors, ici : je refais le dessin rapidement, donc, on va placer le point A. tu vois, c’est comme si j’avais la base du cube comme ça, et que je la relevais comme cela.

Donc, on a un autre point I, placé à peu près ici. Voilà, rappelle-toi que les droites (IJ) et (BC) sont parallèles. Sachant que le point J se balade sur ce segment ici. (La diagonale du carré ABCD).

Tu vois, c’est immédiat, on le voit très très bien ici. Ensuite, pour le point K : alors le point K, il est sur la droite (AD), et de telle façon que les droites (JK) et (CD) soient parallèles. Et ici, tout est beaucoup plus clair, puisqu’on a fait une figure dans le plan 2D, et tout ceci, on a pu le faire par ce que l’exercice se passe entre guillemets dans le plan ABCD. Alors, ça n’est pas toujours le cas en géométrie dans l’espace, autant en profiter. C’est pour ça que j’ai refait la figure, c’est pour y voir beaucoup plus clair.

On a aussi les hypothèses qui sont que les droites (IJ) et (BC) sont parallèles, donc immédiatement ce que tu as, c’est que, d’après le théorème de Thalès, tout de suite, il faut en rappeler dès que tu as des droites parallèles.

Nous allons appliquer le théorème de Thalès dans deux triangles, le triangle ABC sachant que les droites (IJ) et (BC) sont parallèles. Donc, nous, ce qu’on va faire, c’est que l’on va appliquer le théorème de Thalès. Puisque je te rappelle que la question est : qu’est-ce qu’on peut dire des deux droites (IK) et (BD), sachant que je vais les mettre en valeur très très rapidement sur la figure.

La droite (BD) et la diagonale du carré ABCD. Et, ici, on voit très très bien sur cette figure qu’il semble que les deux droites sont parallèles. On n’a rien démontré encore. Et c’est ce qu’on va faire, on voit le démontrer. Donc, moi je te dis, puisqu’on est dans le triangle ABC et que les droites (BC) et (IJ) sont parallèles, on va appliquer le théorème de Thalès.

Immédiatement, ce qu’on va avoir, ce sont les rapports égaux suivants : (calcul mathématique)

Rappelle-toi, quand on ne met pas de crochets, ni de parenthèses autour de deux points comme cela, cela signifie que l’on considère la longueur. Quand on met des parenthèses, ça signifie la droite. Et, quand on met des crochets, ce sont les segments. C’était un petit rappel. Peut-être que tu le sais déjà.

Donc, ça, c’était dans le triangle ABC.

Sauf qu’on a une information que l’on n’exploite pas, ici on a exploité le fait que la droite (IJ) est parallèle à la droite (BC). Il faut exploiter l’autre partie de l’énoncé de l’exercice, à savoir que la droite (JK) est parallèle à (CD). Et de la même façon, on va l’exploiter avec le terrain de Thalès. Parce que, ça, c’était une première égalité de rapport, une deuxième égalité de rapport, c’est que dans le triangle ACD ici, on a (calcul mathématique).

Sur ta copie, il faudrait mettre, il faudrait pas juste mettre théorème de Thalès, il faudrait dire : puisque, dans le triangle ABC, les droites (IJ) et (BC) sont parallèles, alors, d’après le théorème de Thalès, nous avons cette égalité de rapports-là…

Et, de la même façon, tu dirais : de façon analogue, on a dans le triangle ACD, puisque les droites (JK) et (CD) sont parallèles, on a d’après le théorème de Thalès le rapport suivant égaux.

Et là, tu vois déjà peut-être ce rapport égal ici et ici, on va avoir plein d’égalités. Tout ceci, c’est dans le triangle ACD. Voilà.

Et donc, vu qu’on ce rapport ici, on a tout de suite (calcul maths). Donc, notons ce rapport.

Et, on va exploiter encore une autre hypothèse de l’exercice. Les mathématiques, c’est ça, c’est exploiter au maximum les informations que l’on donne. Donc, les hypothèses, c’est qu’on a ABCDEFGH qui est un cube. Qu’est-ce que ça signifie un cube ? cela signifie que ses faces sont des carrés, et donc le quadrilatère ABCD, ici, est un carré. Et donc ses côtés sont égaux. Dans notre rapport, cela signifie que AI égal à AK !

Et donc, puisqu’on a un angle droit ici en A, je vais le mettre, puisque, toujours, ABCD est un carré, alors, tout de suite, tu peux déduire que AIJK est un carré aussi.

Notons encore une fois ce rapport. Ce rapport est vrai dans le triangle ABD. Et, puisque on a ce rapport dans le triangle ABD, eh bien, ça veut dire que les droites (IK) et (BD) sont parallèles d’après la réciproque du théorème de Thalès. Donc (IK), la droite cette fois-ci, est parallèle à (BD) d’après la réciproque du théorème de Thalès. Alors ici, c’est parce que j’ai pas beaucoup de place, mais, sur ta copie, il faudrait de noter. C’est indispensable. C’est parce qu’on avait cette égalité de rapport que les droites sont parallèles d’après la réciproque du théorème de Thalès.

Donc, as-tu compris, un petit peu, le cheminement du raisonnement ?

Donc, première chose qu’on a faite, c’est faire une figure en 3D. Ensuite, vu que tout se passait dans le plan ABCD, nous avons refait le dessin en 2D. et, nous avons raisonné ensuite dans ce dessin. À partir du fait que des droites étaient parallèles, nous avons utilisé le théorème de Thalès deux fois. Et, vu qu’on en avait cette égalité de rapport, alors dans le triangle ABD, on peut déduire que les deux droites étudiées sont parallèles d’après la réciproque du théorème de Thalès.