Résoudre l’équation x²=constante
Comment résoudre l’équation x²=constante ?
Bonjour à toi et bienvenue dans cette vidéo star-en-maths. J’espère que tu vas bien.
Alors dans cet exercice, nous allons résoudre une équation à priori simple, qui est la suivante : x²=5. Alors cette équation, tu la rencontreras à mon avis très souvent au lycée. Là je pense que c’est plutôt du niveau seconde. Donc si tu es en seconde, et que tu regardes cette vidéo, c’est parfait. Mais même si tu es en première ou terminale, je pense que ça vaut le coup de regarder cette vidéo parce que j’ai plusieurs de mes élèves de terminale S qui ne savaient pas exactement comment résoudre cette équation, même s’ils connaissaient directement les solutions.
EN effet, peut-être que tu peux connaitre directement les solutions de cette équation. Tu la regardes : x²=5 et tu te dis : x égal racine carrée de 5 ou x égal moins racine carré de 5. Peut-être que tu auras oublié la deuxième solution : moins racine carrée de 5. Ça veut dire que c’est dommage en fait de connaitre les solutions par cœur d’une équation que tu rencontres souvent et en plus de te tromper sur ces solutions, parce que tu en oublies une.
En fait, ce que je te recommande de faire quand tu as une équation comme celle-ci sous les yeux, sachant que ça peut être x²=36, x²=14, bref x² égal un nombre constant positif, et bien je t’encourage à savoir résoudre ce type d’équation.
Et comment résoudre ce type d’équation de façon rigoureuse ? En fait, ce qu’il ne faut pas faire, à mon avis, c’est « passer » le carré de l’autre côté et te dire : et bien c’est simple, ça devient racine carrée. Et tu te dis x²=5, c’est simple, moi je pense que c’est x égal racine de 5. Ça c’est la façon la plus « naturelle » de penser. Ça te donne une solution mais tu oublies la deuxième dont je te parlais précédemment qui est moins racine carrée de 5, qui est aussi une solution de cette équation.
Effectivement si tu remplaces x par moins racine de 5 et bien moins racine carrée de 5, entre parenthèses, le tout au carré, ça fait moins racine de 5 fois moins racine de 5, ça fait bien 5. Parce que les moins s’annulent et on trouve bien racine de 5 fois racine de 5 qui fait 5.
Donc là, quand tu « passes » le carré de l’autre côté qui devient racine carrée, tu te trompes en fait parce que tu oublies une solution. Donc ce n’est pas comme ça qu’il faut faire parce que ça c’est une façon trop rapide de résoudre cette équation.
Ce que je te recommande de faire pour résoudre cette équation, c’est la chose suivante : c’est de passer le 5 que tu as ici à droite, à gauche. Comme ça tu vas obtenir x²-5=0. Alors tu vas me dire ça sert à quoi de faire ça ? En fait, ça sert à faire apparaitre la fameuse identité remarquable a²-b². Tu te souviens, elle vaut (a-b)(a+b) : ça c’est sa forme factorisée. Sachant que ça, c’est sa forme développée. Il y a une égalité entre les deux. Souviens-toi que identité remarquable ça veut dire égalité remarquable. Identité en maths ça veut dire égalité.
A quoi ça sert de faire apparaitre cette identité remarquable a²-b² ? Et bien là, ton x² ça va être ton a². Par contre comment faire en sorte que le 5 soit le b² parce que ce n’est pas tout à fait un carré 5. Mais tu peux le transformer en un carré parce que 5 c’est tout simplement racine de 5 au carré. Donc en fait, cette équation bleue devient x² moins racine de 5 au carré égal 0.
Pourquoi j’ai fait ça ? Pour bien faire apparaitre les carrés. Comme ça tu as ton a. Le a c’est tout simplement x. Et comme ça tu as ton b aussi. Le b c’est tout simplement racine de 5. Et maintenant tu peux appliquer l’identité remarquable, c’est-à-dire écrire que a²-b² c’est (a-b)(a+b). Donc c’est ce qu’on fait. On va garder le =0 bien sûr qu’il ne faut pas oublier. Et donc on va obtenir :
« Calcul mathématique »
Et là tu commences peut-être à comprendre. Regarde, ici tu obtiens une nouvelle équation. Enfin c’est toujours la même équation, c’est toujours x²=5 mais c’est une équation qui est transformée. Et là tu obtiens une équation qu’on appelle équation produit nul c’est-à-dire produit égal à 0. EN effet, ici tu as bel et bien un produit de facteurs. Un produit en maths c’est un fois, tout simplement.
ET comment résoudre ce type d’équation ? Je pense que tu le sais. En fait ça provient d’une vieille règle de collège que tu connais : un produit de facteurs égal 0 si et seulement si l’un des facteurs au moins égal 0.
Donc là il suffit d’écrire : soit le premier facteur égal 0 c’est-à-dire soit x moins racine de 5 égal 0. Soit le deuxième facteur égal 0 c’est-à-dire x plus racine de 5 égal 0.
Le premier « soit » ici, x moins racine de 5 égal 0, qu’est-ce qu’il te fournit ? Et bien en passant le moins racine de 5 à droite, c’est-à-dire que tu ajoutes des deux côtés du égal racine de 5, et bien tu obtiens x égal racine de 5. C’est une première solution de ton équation. C’est celle que tu avais peut-être trouvée naturellement. Racine de 5, c’est vrai que ça parait évident que c’est une solution de cette équation.
Mais en fait, cette façon de faire va te fournir aussi la deuxième solution. C’est pour ça que c’est plus exact de faire comme ça. Donc la deuxième solution est fournie par le deuxième « soit ». Quand tu passes le plus racine de 5 à droite, en faisant moins racine de 5 des deux côtés du égal, tu obtiens x égal moins racine de 5. ET voilà ta deuxième solution. Je pense que tu as compris en fait. Voilà la deuxième solution de ton équation.
Et comment on a procédé ? Et bien je te recommande de toujours procéder comme ça quand tu as ce type d’équation : tu passes le 5 à gauche et ensuite tu utilises l’identité remarquable a²-b² en transformant bien ton 5 en un carré.
Si ça avait été 36, je pense que ça aurait été plus simple pour toi parce que 36 tu sais que c’est un carré parfait, tu sais que c’est 6² mais 5, il ne faut pas avoir peur de le transformer en un carré, c’est possible, c’est racine de 5 au carré. Ça marche ?
Donc voilà comment résoudre ce type d’équation. Tu te ramènes à (a-b)(a+b)=0. C’est ce que nous avions ici. Et à partir de ça, là tu as une équation bien connue qui est du type produit nul. Et là, tu sais que ça revient à : soit le premier facteur égal 0, soit le deuxième facteur égal 0, ce qui te fournit directement les deux solutions de ce type d’équation.
Alors je tiens à faire remarquer aussi que si tu avais un nombre négatif ici : par exemple x²=-3, et bien là, c’est très simple, tu n’as pas besoin de passer le -3 de l’autre côté, tout simplement parce qu’il n’y a pas de solution. x² est un nombre positif. Tu te souviens qu’un carré est un nombre positif donc ça ne peut jamais être égal à -3. Donc pas de solution dans le cas où le nombre ici à droite est négatif strictement.
ET si c’est égal à 0, et bien il n’y a qu’une solution : c’est x=0.
