Résoudre un système d’équations linéaires à 3 inconnues par substitution

Comment résoudre un système d’équations linéaires à 3 inconnues ?
Bonjour et bienvenu à toi dans cette vidéo star en maths. Ici Romain. J’espère que tu vas bien.
Alors dans cet exercice, nous allons résoudre le système d’équations suivant : x+y+z=5 ; y+2z=6 ; x+z=3
Alors ici, nous sommes en face d’un système de 3 équations à 3 inconnues. Un système souvent, il y a plusieurs équations, au moins 2 et il y a une accolade. Donc tu peux reconnaitre un système avec cette fameuse accolade.

Alors j’explique aussi ce que ça veut dire que résoudre un système. Résoudre un système, c’est un petit peu pareil que résoudre une équation, c’est trouver les inconnues x, y et z. Trouver leur valeur.
Peut-être qu’il y a plusieurs valeurs ou peut-être que x égal une certaine valeur, y égal une certaine valeur et z égal une certaine valeur. C’est ce qui va se passer dans ce système.
C’est ça que ça veut dire : trouver les inconnues, les valeurs des inconnues x, y et z. C’est ça que ça veut dire résoudre.
Pour résoudre un système, je pense que tu as déjà entendu parler de deux méthodes. La première méthode c’est la méthode par substitution. Substitution ça veut dire par remplacement en français. Et la deuxième méthode c’est la méthode par combinaison de lignes.

Ici, nous n’allons pas utiliser la deuxième méthode par combinaison.
Par exemple moi, quand j’étais au lycée, il n’y a pas si longtemps que ça, je n’utilisais qu’une seule méthode, la méthode par substitution. Pendant tout mon lycée je n’ai utilisé que ça. Et c’est vraiment qu’après, à partir de math sup, math spé, que j’ai commencé à utiliser la combinaison de lignes qui me semblait parfois plus pratique. Même si je continuais à utiliser la substitution pour résoudre des systèmes.
Alors, un système tu sais, il peut y avoir deux inconnues, trois inconnues, quatre inconnues. Ici on en a 3. Il peut arriver, dès la seconde que tu aies à résoudre ce type de système.
Je tiens aussi à signaler, tant qu’on y est, que si tu es en terminale, ce type de système représente quelque chose géométriquement puisque chaque équation ici peut être comprise comme une équation cartésienne de plan et donc résoudre ce système, ça revient à l’intersection entre les trois plans représentés par ces trois équations.
Même si tu es en seconde ou première tu peux réfléchir à ça. Comment trois plans, dans l’espace (un plan c’est juste une espèce de feuille infinie dans l’espace) peuvent se rencontrer dans l’espace ? Et bien en fait, il est probable que trois plans se rencontrent en un seul point dans l’espace.
Et donc en fait, il semblerait que le résultat d’un tel système, ce soit bien un point. Donc x égal un nombre, y égal un autre nombre et z égal un autre nombre encore. Donc ça représenterait un point dans l’espace, donc un point 3D avec ses 3 coordonnées. C’était juste un aparté pour te dire que ce système peut avoir une signification concrète, une signification géométrique dans l’espace que je viens de t’expliquer.

Donc là, on va résoudre ce petit système avec une méthode par substitution. Quel est le but de la méthode par substitution ? Qui est le même but d’ailleurs que pour une combinaison.
En fait, c’est de se ramener à un système plus simple à résoudre. En fait, ça consiste à essayer d’enlever une inconnue. C’est ça le but de la substitution, de la méthode que nous allons utiliser. On va essayer d’enlever une inconnue.
Et s’il ne te reste plus que 2 inconnues, parce que là, tu en as trois au début, et bien un système d’équations à 2 inconnues déjà ce sera plus simple à résoudre.
Et là, on réappliquera une substitution et tu verras qu’on s’acheminera vers un système à une inconnue, enfin une équation à une inconnue.

Mais imaginons qu’on soit arrivés à une équation à une inconnue. Par exemple x-3=-x+4. Et bien ça, c’est très facile à résoudre. Il suffit de regrouper les x ensemble. Tu passes le -x à gauche, ça va devenir +x. tu passes le -3 à droite, ça donne +3 à droite. Et donc tu vas avoir 2x=7. Tu passes le 2 de l’autre coté et tu obtiens x=7/2.
C’était juste un petit exemple pour te montrer que si on arrive à un moment donné dans ce système de trois lignes, si on arrive à une ligne qui contient une seule inconnue, et bien ce sera très simple de résoudre cette ligne, de trouver l’inconnue de cette ligne.
Donc ça va être ça le but en fait. On va essayer de se ramener à des lignes où il n’y a qu’une seule inconnue. ça marche ?

Résoudre un système d’équations linéaires à 3 inconnues par substitution
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Résolution du système avec la méthode par substitution

Donc c’est parti nous allons transformer notre système d’équations à 3 inconnues à l’aide de la méthode par substitution, sachant que substituer en français, je répète bien que ça veut dire remplacer.
Donc tu vas voir un petit peu à quoi ça correspond. Je tiens aussi à te dire qu’il y a plusieurs façons d’utiliser la méthode par substitution pour transformer notre système.
Donc là, on va choisir une voie mais tu pourrais très bien choisir une autre voie, la tienne, qui mènerait aussi au même résultat.
Donc là, ce que nous allons faire pour transformer notre système, c’est que l’on va prendre une inconnue et on va l’exprimer en fonction de l’une ou des deux autres qui restent.

Alors regardons un petit peu notre système. Première ligne, je pourrais très bien garder le x et passer le y et le z de l’autre coté, à droite. Ça fait que x serait exprimé en fonction de y et z.
Si je passe le x et le y à droite, tu aurais x=5-y-z. C’est une possibilité, on pourrait essayer de faire ça. Et après on pourrait remplacer le x qu’on vient de trouver, c’est-à-dire 5-y-z ici dans la dernière ligne. C’est vraiment une possibilité. On pourrait faire ça comme ça.
Mais là, je te propose une façon un petit peu différente de faire. Ce que je te propose de faire, c’est de prendre la deuxième ligne et de passer le 2z de l’autre coté, de façon à exprimer le y en fonction de z. Tu vois, tu auras juste y=6-2z. C’est pas mal.
Et la dernière ligne te permettra d’exprimer x en fonction de z parce que tu obtiendras x=3-z et donc tu auras y et x qui seront exprimés en fonction de z et tu pourras donc les remplacer dans la toute première ligne.

Regarde. Donc là, on va passer à l’action : x+y+z=5 ça on ne le change pas. ON transforme petit à petit notre système.
La deuxième ligne on prend y et on l’exprime en fonction de z donc ça donne : y=6-2z. Et on prend la dernière ligne et on passe le z ici à droite et on exprime x en fonction de z. On obtient x=3-z
Une fois que tu as ceci, tu gardes les lignes 2 et 3 et tu remplaces dans la première équation on remplace le x et le y par ce qu’on a trouvé à la ligne 2 et 3. C’est ça la substitution, tu vois, on va remplacer le x, on va le substituer par 3-z et le y on va le substituer par 6-2z.
Donc c’est parti, et on garde les lignes 2 et 3 :
« Calcul mathématique »

On remet une accolade et voici notre nouveau système. Si tu veux c’est un système qui est transformé par rapport au système mauve initial mais qui est équivalent. Les équations qu’on a obtenues sont équivalentes, c’est-à-dire qu’elles vont te livrer les mêmes solutions à la fin.
alors maintenant regarde bien, on arrive dans cette première équation à ce que je te disais tout à l’heure c’est-à-dire qu’on arrive à une équation à une seule inconnue et la seule inconnue qu’il nous reste dans cette première équation, c’est z.
ET ça c’est bien parce qu’on sait résoudre ce type d’équation; Donc là, on va pouvoir trouver le z. On va réussir à éliminer une des trois inconnues, c’est-à-dire à la trouver, à trouver une des trois inconnues; Et il ne restera plus que les 2 dernière, y et x, à trouver. Donc là on résout cette petite équation à une inconnue :
« Calcul mathématique »
Tu sais que quand on « passe » des nombres de l’autre coté, en fait, ce qu’on fait c’est qu’on fait la même opération des deux cotés (ici, -9). Je préfère que tu raisonnes comme ça plutôt que de dire que tu « passes » les nombres de l’autre côté. Ce qui est à la base de ça, c’est qu’on fait la même opération des deux cotés.
On obtient -2z=-4. Donc ensuite on enlève les moins puisque tu peux très bien multiplier à gauche et à droite par -1 et ça va enlever les moins. Tu as le droit de faire une même opération des deux côtés.
Donc ça fait 2z=4 et donc on passe le deux à droite. Et comment passer le 2 à droite ? ET bien ça revient à faire une division. Puisque le 2 est en facteur : c’est 2*z, donc pour l’enlever il faut faire diviser par 2 des 2 côtés. Donc là, si tu regardes notre fraction à gauche, les 2 s’en vont et il reste z=4/2. Donc z=2.

Bon je détaille un petit peu les calculs de cette façon, c’est vraiment pour les secondes. Si tu es en seconde, c’est vraiment de cette manière que je t’encourage à procéder pour « passer » des nombres de l’autre côté. Tu vois les petites opérations en rouge que j’ai faites.
Et si tu es en première ou terminale, je pense que tu auras été un petit peu plus vite dans ces calculs.
Donc là, c’est plutôt bien parce qu’on a trouvé notre première inconnue, on a trouvé le z, z=2. Et maintenant regarde ce qu’il suffit de faire : on avait le y, ici, en fonction de z, et le x aussi. Donc il suffit de remplacer le z par ce qu’on vient de trouver, puisque c’est 2.
Donc c’est ce qu’on fait. Je mets une virgule à coté de cette ligne et je remplace le z par 2. C’est de la substitution. On fonce vers le résultat, on vient de trouver z, on a y et x qui sont exprimés en fonction de z, donc on remplace le z par 2 : y=6-2*2=2. Voilà pour le y. On a trouvé, je vais le remettre ici y=2.
Et enfin on va trouver le x, notre dernière inconnue, donc là on remplace z par 2 et on obtient x=3-2 donc tout simplement x=1.

Et voilà, on a résolu notre système, on a obtenu x=1 ; y=2 et z=2. Pour vérifier tes solutions toujours ce que je t’encourage à faire, c’est remplacer dans le premier système les inconnues par ce que tu viens de trouver pour voir si ça marche bien. C’est vraiment une vérification, ça te permet de savoir si ce que tu as trouvé, ce n’est pas faux.
Donc là, tu remplaces dans la première ligne le x par 1, le y par 2, le z par 2 donc 1+2+2 est-ce que ça fait bien 5 ? Et bien oui.
Tu remplaces dans la deuxième ligne pour voir si c’est bon aussi : 2+2*2, ça fait 2+4, donc 6, donc ça marche bien. Et le x tu le remplaces par 1 et le z par 2 dans la troisième ligne. 1+2 ça fait bien 3.
Donc les égalités subsistent, ça veut dire que notre vérification marche et que notre solution est bonne, tout simplement;

Je tenais aussi à te dire, toujours en utilisant cette méthode par substitution, il y avait d’autres façons de faire. Je t’en ai exprimé une au début, tu pourrais très bien passer le y et le z ici dans la première ligne et ensuite, le x que tu vas trouver, c’est-à-dire 5-y-z, tu le remplaces dans la troisième ligne.
Et donc tu n’auras plus de x dans les deuxième et troisième lignes parce que là, tu n’as pas de x dans la deuxième ligne et vue que tu auras remplacé le x par 5-y-z dans la troisième ligne ici, et bien tu auras un système ici à deux inconnues représenté par les lignes 2 et 3.
ET un système à deux inconnues, et bien c’est plus simple à résoudre qu’un système à 3 inconnues et donc tu peux le résoudre avec la méthode par substitution. C’est vraiment une autre façon de faire, une autre façon d’aborder la résolution de ce système.
J’espère que tu as compris comment on a procédé. Le but d’une méthode par substitution, c’est d’exprimer l’une des inconnues en fonction d’une ou deux autres. C’est ce qu’on a fait ici, on a exprimé y en fonction de z en utilisant la deuxième ligne. On a exprimé x en fonction de z en utilisant la troisième ligne.
Et ensuite on a remplacé, c’est là qu’a opéré la substitution, on a remplacé ce qu’on avait trouvé dans l’autre ligne, la ligne restante.
Voilà comment on procède pour résoudre un système. C’est toujours la même façon de faire que ce soit un système à 2, 3, 4 inconnues ou plus.